Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Межпредметный семинар N2

Геометрия и тригонометрия на плоскости Минковского

Специальная теория относительности (СТО) — очень геометрическая теория. Сегодня мы обсудим часть этой геометричности рассмотрев аналогию между обычной (круговой)  гиперболической тригонометрией. Ведь даже в обычной кинематике, прежде чем рассмативать повороты в пространстве изучают плоские повороты, а геометрия в учебниках обычно предшествует стереометрии, так и мы прежде чем переходить к пространству-времени Минковского начнём с рассмотрения плоскости Минковского.

Алгебраическая часть

Итак, у нас есть замечательная функция экспонента, производная от которой совпадает с саой экспонентой.

Чётная часть экспоненты — гиперболический косинус

chT=(exp(T)+exp(-T))/2 >=1.

Нечёная — гиперболический синус

shT=(exp(T)-exp(-T))/2.

Как мы знаем

d(chT)/dT=shT,

d(shT)/dT=chT.

Легко проверить основное тождество гиперболической тригонометрии

ch2T-sh2T=1.

Аналогично могут быть введены и обычные тригонометрические функции:

cosF=(exp(iF)+exp(-iF))/2,

sinF=(exp(iF)-exp(-iF))/2i,

d(cosF)/dF=-sinF,

d(sinF)/dF=cosF,

cos2F+sin2F=1.

Кинематика

Окружность и гипербола

Сравним теперь две параметрические кривые:

1) на плоскости x-y с параметром F

x=cosF,

y=sinF,

2) на плоскости t-x с параметром T

t=shT,

x=chT.

Очевидно, что первая кривая — окружность с уравнением

x2+y2=1,

а вторая (на рисунке - красная кривая) — правая ветвь гиперболы с уравнением

x2-t2=1,   x >= 1.

Когда параметр F пробегает от минус бесконечности до плюс бесконечности точка на окружности совершает бесконечное число оборотов против часовой стрелки.

Когда параметр T пробегает от минус бесконечности до плюс бесконечности точка на гиперболе пробегает гиперболу один раз снизу вверх.

При записи уравнения окружности удобно считать, что на плоскости (x,y) задано расстояние, такое что расстояние dl между бесконечноблизкими точками координаты которых различаются на (dx,dy) задаётся формулой

dl2=dx2+dy2.

При записи уравнения гиперболы удобно считать, что на плоскости (t,x) задан интервал (метрика Минковского), такой что интервал ds между бесконечноблизкими точками координаты которых различаются на (dt,dx) задаётся формулой

ds2=dt2-dx2.

Базисные векторы

Обозначим на рисунках радиус-векторы и производные от радиус векторов по параметрам F и T.

Эти векторы имеют компоненты

R=(cosF,sinF), V=(-sinF,cosF)   и   X=(shT,chT),  U=(chT,shT).

Т.е. векторы R и V являются единичными (в обычном евклидовом смысле), причём V повёрнут относительно R на 90 градусов против часовой стрелки, векторы X и U являются единичными (в смысле метрики Минковского U 2=1, а X 2= -1), причём U связан с X отражением относительно прямой t=x.

Таким образом, по мере того, как конец вектора R движется по единичной окружности, конец вектора V движется по той же окружности с опережением на 90 градусов (т.е. годограф совпадает с самой единичной окружностью); по мере того как конец вектора X движется по красной гиперболе снизу вверх, конец вектора U симметрично движется по синей гиперболе слева направо. Уравнение синий гиперболы (годографа)

t2-x2=1,   t >= 1.

Поворот

Если взять векторы R и V в качестве базисных векторов новой системы координат, то новая система координат будет повёрнута относительно системы (x,y) на угол F.

Обратная матрица поворота оказывается составлена из компонент единичных векторов R и V

/ x \ = / cosF -sinF \ / x' \
\ y / \ sinF cosF / \ y' /

Если мы возьмём (x',y')=(1,0), то получим, что первый столбец матрицы образован компонентами вектора R, если мы возьмём (x',y')=(0,1), то получим, что второй столбец матрицы образован компонентами вектора V.

Круговой угол

Величина угла F может быть геометрически интерпретирована как удвоенная площадь жёлтого сектора или длина дуги окружности, ограничивающей этот сектор (выделена зелёным). Хотя эти факты и очевидны, докажем их (чтобы потом можно было сравнить это доказательство, с аналогичным доказательством в гиперболическом случае).

Рассмотрим бесконечномалое приращение dF аргумента F. Вектор R при этом получит приращение VdF (маленький красный вектор). Площадь выделенного сектора созрастёт на площадь бесконечномалого треулогьника (нарисован серым цветом). Приращение длины дуги равно dF умноженному на длину вектора V (т.е. на 1). Приращение пллощади сектора равно половине векторного произведения векторов  R и V dF (определителя составленного из компонент этих векторов).

| cosF -sinF dF | = | cosF -sinF | dF
| sinF cosF dF | | sinF cosF |

Т.е. получился определитель обратной матрицы поворота умноженный на dF. Определитель матрицы поворота равен cos2F+sin2F= 1 (площадь квадрата натянутого на векторы R и V ), это связано с тем, что поворот сохраняет площадь.

Буст

Проделаем теперь аналогичные выкладки в гиперболическом случае.

Если взять векторы U и X в качестве базисных векторов новой системы координат, то новая система координат будет связана с системой (t,x) преобразованием Лоренца (бустом), аналог угла — T называется быстротой.

Обратная матрица буста оказывается составлена из компонент единичных векторов U и X

/ t \ = / chT shT \ / t' \
\ x / \ shT chT / \ x' /

Если мы возьмём (t',x')=(1,0), то получим, что первый столбец матрицы образован компонентами вектора U, если мы возьмём (t',x')=(0,1), то получим, что второй столбец матрицы образован компонентами вектора X.

Как определить, какой скорости соответствует это преобразование? Скорость системы отстчёта — это скорость точки, которая во все моменты времени имеет в этой (движущейся) системе отсчёта нулевые пространственные координаты. Т.е. траектория этой точки в пространстве-времени (мировая линия) — ось времени движущейся системы отсчёта. Дифференцируя вдоль направления новой оси времени (вдоль вектора U) dx/dt получаем скорость

v=shT/chT=thT.

Отсюда легко найти, что

chT=(1-v2)-1/ 2, shT=v(1-v2)-1/ 2 ,

и записать преобразование Лоренца в более привычном виде

x=(x'+vt')(1-v2)-1/ 2,  t=(t'+vx')(1-v2)-1/ 2.

Гиперболический угол

Величина угла T может быть геометрически интерпретирована как удвоенная площадь жёлтого сектора или интервал вдоль дуги гиперболы, ограничивающей этот сектор (выделена толстой красной линией). Эти факты уже не столь привычны, как в круговом случае.

Рассмотрим бесконечномалое приращение dT аргумента T. Вектор X при этом получит приращение UdT (маленький синий вектор). Площадь выделенного сектора созрастёт на площадь бесконечномалого треулогьника (нарисован серым цветом). Приращение интервала вдоль дуги равно dT умноженному на интервал вдоль вектора U (т.е. на 1). Приращение пллощади сектора равно половине векторного произведения векторов X и U dT (определителя составленного из компонент этих векторов).

| chT shT dT | = | chT shT | dT
| shT chT dT | | shT chT |

Т.е. получился определитель обратной матрицы буста умноженный на dT. Определитель матрицы, буста равен ch2T-sh2T= 1 (площадь ромба натянутого на векторы U и X ), это связано с тем, что буст сохраняет площадь.

Динамика

 

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика