Диффузия и взаимопроникновение параметров различных народнохозяйственных систем

А.С. Зарубкин, М.А. Галахов

Московский физико-технический институт

Народнохозяйственная система с физической точки зрения, оказывается, подчиняется тем же уравнениям, что и некоторые системы, обычно рассматриваемые в физике. Например, одна из основных характеристик, капитал, перемещается по планете согласно следующему уравнению:

\frac{{\partial K}} {{\partial t}} = k\Delta K - \mu \Delta , где P_b –рентабельность.В стационарном случае получается \Delta \left( {kK - \mu } \right) = 0 . Здесь \Delta = divgrad , на сфере имеет вид \Delta = \frac{1} {{R^2 }}\frac{{\partial ^2 }} {{\partial \theta ^2 }} + \frac{1} {{R^2 \cos ^2 \theta }}\frac{{\partial ^2 }} {{\partial \varphi ^2 }} - \frac{{tg\theta }} {{R^2 }}\frac{\partial } {{\partial \theta }} . Одно решение видно сразу: K = \frac{{\mu P_b }} {k} . Рентабельность по планете меняется, как и \mu , и k . Внутри каждой страны числа \mu и k свои, а на границах стран получаются скачки значений. Глобализация экономи-ки приведёт к выравниванию этих чисел по всей планете, и, так как P_b в России минимальна [1] , то и капитал K также будет иметь минимум.

Аналогичное уравнение описывает динамику плотности населения \rho : \frac{{\partial \rho }} {{\partial t}} = k\Delta \rho - \mu \Delta .

Здесь УЖ – уровень жизни. В стационарном случае, так же, как и для капитала K , \rho = \frac{{\mu УЖ}} {k} . Это «иллюстрирует» известную пословицу: «Рыба ищет, где глубже, а человек – где лучше». Для рассмотрения нескольких параметров в целом, запишем другое уравнение: \frac{{\partial u}} {{\partial t}} = \kappa \Delta \bar u + \nabla U .

Здесь \bar u – вектор параметров системы, а U – функция полезности, зависящая от тех же параметров.

Пример:

U = u = УЖ . Тогда \kappa \Delta u = - 1 (стационарный случай). Граничное условие (например): \left. U \right|_{} = 0 (оазис среди пустыни). Решение имеет вид: в одномерном случае U\left| {_{x = \pm a} } \right. = 0 U = - x^2 + a^2 (считаем k=1/2).

Наконец, можно рассмотреть взаимодействие двух культур: \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\mathop {u_1 }\limits^ \bullet = \kappa _1 \Delta u_1 + \alpha _1 u_1 + \beta _1 u_2 u_1 } \\ {\mathop {u_2 }\limits^ \bullet = \kappa _2 \Delta u_2 + \alpha _2 u_2 - \beta u_2 u_1 } \\ \end{array} } \right. .

Здесь u_1 – интенсивность (мера) культуры, \alpha _i – «производство» культуры. В данном случае первая культура «пожирает» вторую.

Литература