О математическом моделировании народнохозяйственной системы
И.В. Клеев, студент IV курса
М.А. Галахов, профессор
Московский физико-технический институт
В основе данного доклада лежит простая мысль: сколько продукции производится,
столько и идет на потребление и развитие, а именно - (E-A)B.
Здесь A - матрица Леонтьева, элементы которой
a_{ij}
- необходимые количества
i
- го продукта для производства единицы
j
- го,
E
- единичная матрица, а
B
- вектор выпуска продукции. Отметим, что нельзя путать
B
и
(E-A)B
, т. к. часть
B
уйдет на производство каких – то других товаров, входящих в
B
.
На что можно (нужно) потратить эту продукцию. Конечно, на личное потребление людей
П^1
, затем на финансирование «общих» расходов
П_{b0}
(армия, образование, гос. аппарат, но за исключением зарплат бюджетникам) и на инвестирование в производственные мощности
I
. В результате получим уравнение:
(E-A)B = П^1 + П_{b0} + I
\left( 1 \right)
Очевидно, что
B= lП_{{\rm T}}
. Здесь
l
- число работающих людей, а
П_{{\rm T}}
- производительность труда (вектор). Обозначим за
{П_{b0}}^1
- личную потребность одного человека (не учитываем её изменение во времени).
Тогда гарантированное потребление
П_\Gamma = \bar П_\Gamma {П_{b0}}^1
, где
\bar П_\Gamma
- обезразмеренное гарантированное потребление. Значит,
П^1 = \left( {lk + l^0 } \right)\bar П_\Gamma {П _{b0}}^1
, где
{Пl}^0
- население всей системы и
k + 1
- сколько
\bar П_\Gamma
получает работающий человек. А
П_0 = l^0 {П_{b0}}^0
, где
{П_0}^0
- средняя «общественная» нагрузка на одного человека.
Введем новые обозначения:
(E-A)^{ - 1} {П_{b0}}^1 = {B_0}^1
и
(E-A)^{ - 1} {П_{b0}}^0 = {B_0}^0
есть выпуски продукции, необходимые для удовлетворения личной
и «средней общественной» потребностей,
(E-A)^{ - 1} I = J
- выпуск продукции, нужный для направления на инвестиции величины
I
. Подставим все эти выражение в уравнение :
l = \left( {lk + l^0 } \right)\bar П_\Gamma \frac{{{П_{b0}}^1 }}
{{П_{\rm T} }} + l^0 \frac{{{П_{b0}}^0 }}
{{П_{\rm T} }} + \frac{J}
{{П_{\rm T} }}
\left( 2 \right)
Теперь приближенно опишем зависимость
l
от остальных параметров формулой
l = \frac{{l^0 }}
{2}\frac{k}
{{k + \bar П_\Gamma }}
. Подставив это выражение в уравнение
\left( 2 \right)
, мы получим
\frac{k}
{{k + \bar П_\Gamma }} = \left( {\frac{{k^2 }}
{{k + \bar П_\Gamma }} + 2} \right)\bar П_\Gamma \frac{{{B_0}^1 }}
{{П_{\rm T} }} + 2\frac{{{B_0}^0 }}
{{П_{\rm T} }} + \frac{J}
{{l^0 П_{\rm T} }}
\left( 3 \right)
Исследованию поведения решения этого уравнения посвящен доклад
\left[ 2 \right]
.
Литература
- М.А. Галахов, Ю.Н. Орлов «Математические модели
жизнеустройства» ИПМ Препринт №33 за 2000 г.
- И. Клеев. Исследование основного уравнения
народнохозяйственной системы. Настоящий сборник.