Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Разработка и практическая реализация методов повышенной точности для гиперболических законов сохранения.

Разработка и практическая реализация методов повышенной точности для гиперболических законов сохранения.

Ответственный за направление В.А. Титарев

Направление связанно с разработкой высокоточных методов решения задач механики разреженного газа и аэродинамики с применением неструктурированных сеток и высокопроизводительных компьютеров.

Основные результаты опубликованы в ведущих российских  и западных  журналах и могут быть разбиты на четыре группы

1. Схемы для гиперболических законов сохранения

В настоящее время наиболее популярным методом решения уравнений сохранения гиперболического типа являются схемы ТВД второго порядка аппроксимации, основанные на схеме Годунова-Колгана. Данный тип методов отлично зарекомендовал себя для большого класса течений с ударными волнами, однако он не очень хорошо применим для решения нестационарных задач с большими временами эволюции, сложной структурой и большими перепадами амплитуд. Примерами таких практически важных классов задач являются аэроакустика, моделирование турбулентности, сейсмика. Ограничитель наклонов, использующийся в ТВД схемах, приводит к высокой ошибке счета и неприемлемым затратам машинного времени.

В последние годы в Европе и США активно ведется разработка квазимонотонных численных методов равномерно высокого порядка аппроксимации. В отличие от ТВД схем, данные методы не снижают порядок аппроксимации на гладких экстремумах решения и идеально подходят для решения нестационарных задач аэроакустики и моделирования турбулентности. В 2002-2007 годах В.А. Титаревым в соавторстве с Э.Ф. Торо, М. Думсером (Университет Тренто) и рядом других ученых разработан специальный класс таких схем [1-7], получивший название ADER (Advection-Diffusion-Reaction). Схемы ADER основаны на приближенном решении задачи о распаде разрыва с произвольными начальными условиями. В результате схемы ADER используют  одношаговую аппроксимацию конвективных, источниковых и диффузионных членов с произвольным порядком по времени и пространству. Данный класс схем,  разработан как для декартовых, так и для неструктурированных  сеток в двух- и трехмерной постановках.

Основными преимуществом методов типа ADER по сравнению с другими методами данных классов является их одношаговость и произвольный порядок аппроксимации при сохранении свойства квазимонотонности, позволяющего вести  сквозной счет ударных волн. В частности, одношаговость метода дает несомненные преимущества при его реализации на современных суперкомпьютерах, помогает достичь свойства сбалансированности для некоторых классов задач, позволяет вести решение нестационарных задач с шагом по времени, зависящим от шага пространственной ячейки, а также обладает рядом других преимуществ.

Разработанный способ дискретизации типа ADER был обобщён другими учеными на т.н. разрывной метод Галеркина, с сохранением всех преимуществ, что доказывает его практическую значимость.

В последние годы В.А. Титарев занимался дальнейшим обобщением на неструктурированные схемы другого класса квазимонотонных схем высокого порядка [8-10], использующих методы Рунге-Кутты для дискретизации по времени. Данные схемы уступают методам типа ADER в эффективности, однако выигрывают в простоте.

2. Многошаговые решатели задачи типа MUSTA

Наиболее популярные в настоящее время противопоточные схемы типа Годунова существенным образом используют решение задачи о распаде разрыва, точное либо приближенное. Однако для ряда систем уравнений, таких как нелинейная упругость и современные  модели многофазных течений, построение и/или программная реализация такого решения являются очень нетривиальной задачей. Для таких уравнений удобны противопоточные  схемы, основанные на многошаговом решателе задачи о распаде разрыва типа MUSTA. Оригинальная идея схемы была предложена Э.Ф. Торо и являлась центрированной схемой, со всеми типичными недостатками. В совместных работах Титарева и Торо схема была переработана в противопоточную, а также был проведен анализ ее свойств [11-12]. В процессе разработки схем MUSTA было построено точное решение задачи о распаде разрыва для уравнений нелинейной упругости, которое используется для проверки численных методов [13-14]. Схемы MUSTA находят свое применение для решения сложных систем уравнений, таких как магнитогидродинамика, многофазные течения или нелинейная упругость.

3. Численные методы в механике разреженных газов

Течения газов в различных микроустройствах описываются основным уравнением механики разреженных газов -  кинетическим уравнением Больцмана. Другим важным приложением данного уравнения является внешняя аэродинамика спускаемых и космических аппаратов. В последние годы в работах Аристова,  Черемисина, Забелка, Фроловой и ряда других авторов получили развитие прямые методы решения кинетического  уравнения в сложных трехмерных областях с использованием неструктурированных сеток. Тем не менее, ни один из этих методов не отвечает в полной мере всем требованиям, необходимых для успешного решениях инженерных задач.

В 2007-2011 годах В.А. Титаревым  был разработан и реализован новый эффективный метод решения уравнения Больцмана с модельным интегралом столкновения [15-20]. Ключевыми свойствами данного метода являются использование разностной схемы на произвольных неструктурированных сетках, неявной одношаговой дискретизации по времени и хорошая масштабируемость на современных суперкомпьютерах. По сравнению с известными в литературе подходами, новый метод обладает следующими преимуществами:

  • Использование неструктурированных сеток, состоящих из элементов произвольной формы, позволяет эффективно и малыми трудозатратами строить решение трехмерных задач, отличающихся сложной геометрией и сложной структурой течения.
  • Эффективная схема высокого порядка дискретизации по пространству обеспечивает высокую точность счета на грубых расчетных сетках.
  • Неявный метод дискретизации по времени обеспечивает быструю сходимость в стационарных задачах и позволяет вести счет с более крупным шагом по времени в нестационарных задачах. Получаемое по сравнению с явными методами ускорение может достигать 5-10 раз.
  • Реализованные алгоритмы распараллеливания обеспечивают хорошую масштабируемость метода на системах из сотен процессоров, что позволяет решать большие задачи. Подтверждающие это расчеты проводились на вычислительных системах университетов Кренфилда (Великобритания), МГУ им. М.В. Ломоносова и МФТИ (Россия).

4. Практическая реализация разработанных методов

На основе численных методов, упомянутых выше, в 2008-2011 годах В.А. Титаревым был разработан прикладной пакет программ ``Несветай'', позволяющий решать пространственные задачи аэродинамики,  аэроакустики и механики разреженных газов на современных многопроцессорных системах. В настоящее время ведется дальнейшая работа над пакетом “Несветай” по следующим направлениям:

  • В Вычислительном центре РАН - для решения стационарных и нестационарных задач механики разреженных газов.
  • В Московском филиале ФГУП ЦАГИ - для задач аэроакустики.
  • В Лаборатории математического моделирования нелинейных процессов в газовых средах, МФТИ  - для задач гиперзвуковой аэродинамики спускаемых аппаратов.  

Основные публикации

  1. E.F. Toro and V.A. Titarev. Solution of the generalised Riemann problem for advection-reaction equations. Proc. Roy. Soc. London, 458(2018):271--281, 2002.
  2. V.A. Titarev and E.F. Toro. ADER: Arbitrary High Order Godunov Approach. J. Sci. Comput., 17:609--618, 2002.
  3. V.A. Titarev and E.F. Toro. Finite-volume WENO schemes for three-dimensional conservation laws. J. Comput. Phys., 201(1):238--260, 2004.
  4. V.A. Titarev and E.F. Toro.  ADER schemes for three-dimensional nonlinear hyperbolic systems., 204(2):715--736, 2005.
  5. E.F. Toro and V.A. Titarev. Derivative Riemann solvers for systems of conservation laws and ADER  methods. J. Comput. Phys., 212(1):150--165, 2006.
  6. M. Dumbser, M. Kaser, V.A. Titarev, and E.F. Toro. Quadrature-free non-oscillatory finite volume schemes on unstructured meshes for nonlinear hyperbolic systems. J. Comput. Phys., 226:204--243, 2007.
  7. G. Vignoli, E.F. Toro, and V.Titarev. ADER schemes for the shallow water equations in channel with   irregular bottom elevation. J. Comput. Phys. 227:2463--2480, 2008.
  8. V.A. Titarev, P. Tsoutsanis, and D. Drikakis. WENO schemes for mixed-element unstructured meshes. Communications in Computational Physics, 8(3):585--609, 2010.
  9. P. Tsoutsanis, V.A. Titarev, and D. Drikakis. WENO schemes on arbitrary mixed-element unstructured meshes in three space dimensions. J. Comput. Phys., 230:1585 -- 1601, 2011.
  10. V.A. Titarev and D.Drikakis. Uniformly high-order schemes on arbitrary unstructured meshes for   advection-diffusion equations. Computers and Fluids, 46(1):467--471, 2011. 10th ICFD Conference Series on Numerical Methods for Fluid Dynamics (ICFD 2010).
  11. V.A. Titarev and E.F. Toro. MUSTA schemes for multi-dimensional hyperbolic systems: analysis and   improvements.  International Journal for Numerical Methods in Fluids,  49(2):117--147, 2005.
  12. E.F. Toro and V.A. Titarev. MUSTA schemes for systems of conservation laws. J. Comput. Phys., 216(2):403--429, 2006.
  13. V.A. Titarev, E.I. Romenski, and E.F. Toro. MUSTA-type upwind fluxes for non-inear elasticity. Int. J. Num. Methods in Eng., 73:897--926, 2008.
  14. P.T. Barton, D. Drikakis, E. Romenski, and V.A. Titarev. Exact and approximate solutions of Riemann problems in non-linear elasticity. J. Comput. Phys., 228:7046 -- 7068, 2009.
  15. V.A. Titarev Conservative numerical methods for model kinetic equations. Computers and Fluids, 36(9):1446 -- 1459, 2007.
  16. В.А. Титарев. Численный метод расчета двухмерных нестационарных течений  разреженного газа в областях произвольной формы. Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 49(7):1255--1270, 2009.
  17. V.A. Titarev. Implicit unstructured-mesh method for calculating Poiseuille flows of rarefied gas. Communications in Computational Physics, 8(2):427--444, 2010.
  18. В.А. Титарев. Неявный численный метод расчета пространственных течений  разреженного газа на неструктурированных сетках. Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 50(10):1811--1826, 2010.
  19. V.A. Titarev. Rarefied flow in a long planar microchannel of finite length. J. Comput. Phys., 231(1):109--134, 2012.
  20. V.A. Titarev. Efficient deterministic modelling of three-dimensional rarefied gas  flows. Communications in Computational Physics, V. 12, N.  1, p. 161-192, 2012.
Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика