В 1988 г. окончил Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана.
1995 г.: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (тема диссертации «Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа и родственных задач динамики твердого тела»), защищена на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова.
2001 г.: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (тема диссертации «Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике»), защищена на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова.
1996–2001 гг.: заведующий Лабораторией динамического хаоса и нелинейности Удмуртского государственного университета, г. Ижевск.
С 1998г.: директор Научно-издательского центра «Регулярная и хаотическая динамика».
С 2002 г.: заведующий Лабораторией нелинейной динамики Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва.
2002–2009 г.: директор Института компьютерных исследований, г. Ижевск.
С 2003 г.: заведующий Отделом математических методов нелинейной динамики Института математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург.
С 2007 г.: профессор кафедры вычислительной механики математического факультета УдГУ.
2010–2012 г.: проректор по информационным и компьютерным технологиям УдГУ, заведующий сектором неголономной механики лаборатории «Нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения», созданной в рамках гранта Правительства РФ для господдержки научных исследований под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования № 11.G34.31.0039.
С 2012 г.: директор научно-образовательного центра "Регулярная и хаотическая динамика".
С 2013 г.: заведующий лабораторией "Нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения" УдГУ.
С 2014 г.: главный научный сотрудник кафедры теоретической механики МФТИ. Профессор НИЯУ МИФИ. Профессор кафедры информатики и математики Института математики, информационных технологий и физики УдГУ
С 2015 г.: ведущий научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН.
С 2017 г.: заведующий Лабораторией мехатроники и робототехники Физтех-школы прикладной математики и информатики
Член Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике (2001 г.)
Член-корреспондент Российской академии естественных наук (2006 г.)
В 2012 году за серию монографий, посвященных интегрируемым системам гамильтоновой механики А.В. Борисову и И.С. Мамаеву была присуждена премия им. С.В. Ковалевской.
В 2014 году присвоено почетное звание «Заслуженный деятель науки Удмуртской республики».
Лауреат награды «Самые влиятельные исследователи по версии Thomson Reuters в 2015 году» в области математики.