Адрес e-mail:

Темы для студентов старших курсов

1. Квантовые вычисления
Сейчас про квантовый компьютер слышал кто угодно. Но что это такое, какие задачи на нем реально можно эффективно решать - знают далеко не все. В лучшем случае, все ограничивается "практическими" алгоритмами типа Шора или Гровера. Мы будем интересоваться более фундаментальными вопросами - а именно, полиномиальными инвариантами в теории узлов. Задача данной НИР не столько разобраться в классах сложности алгоритмов, сколько составить реальные программы для квантового компьютера интересные с точки зрения теории узлов. Основная цель - определить насколько эффективно задачи из теории узлов могут быть решены на квантовом компьютере или арифмометре (что это такое мы выясним, а при удаче, даже потрогаем один). Например, полином Джонса для трилистника на квантовом арифмометре.

2. Обобщенные тождества Макдональда
Задача состоит в построении комбинаторных тождеств, связывающих произведения и суммы. В частности, придется разобраться в теории классических и афинных алгебр Ли, а также их представлений, изучить, что такое характер представления, а также формулу Вейля (Вейля-Каца). Например, вывести формулу тройного произведения для тэта-функции.

3. Теория Хорндески
Одним из современных направлений в космологии и гравитации является изучение теории Хорндески. В данной области сейчас много нерешенных задач, причем доступных для студентов различных курсов. Задачи формулируются как в рамках квантовой теории поля, так и в рамках классической. Необходимым знанием является ОТО, ну, или, готовность с ней быстро разобраться. Задачи могут формулироваться приблизительно следующим образом

4. Цветные полиномы ХОМФЛИ
5. Цветные полиномы Александера и иерархия КП
  • Рассмотреть 2-солитонные тау-функции и их связь с полиномами Александера зацеплений
  • Рассмотреть некоммутативную иерархию КП и ее связь с 2-крюковыми диаграммами Юнга
  • Изучить симметрии полинома Александера, см. arXiv:1805.02761

6. Интегрируемость
  • τT oda=PR,R0χR(p)χR0( ̄p)fR,R0, fR,R0=?for seriesAn, Bn, Cnetc.In the case of KP hierarchy same problem is solved: Plucker relations forAnand theircounterparts for other series. See arXiv:1405.1395 and references therein.
  • τ= det (μ1F1+μ2F2)⇒Hirota + string equations⇒Painleve VIF=Rdxix2a1i(1−xi)2a2(q−xi)2a3∆2(x)describes Liouville conformal blocks and instantonpartition function ofN= 2SYM due to AGT relation. See arXiv:1708.07479

7.Матричные модели
<character>=character
For example, in Hermitian matrix modelhχR[M]i=χR{N} ·χR{δk,2}χR{δk,1}. Study same properties for:
  • trigonometric matrix model (colored HOMFLY for torus knots)
  • MacMahon matrix model
  • non-Gaussian matrix model (e.g. Dijkgraaf-Vafa)See arXiv:1807.02409.

8. Альтернативная топологическая рекурсия по чистой фазе
  • starting from cubic monomial MM (and its 2 pure phases) understand, how to deform the TR construction so that it accounts for nonN2−2g−n-terms.
  • study non-zero-core partition function and Ward identities that arise there.
Результат: generalization of everything related to TR (Givental, Frobenius, CohFT)

9. "Удобная" Суперсимметрия
  • Look at works of Jacob Winding and Johan Kallen for examples of supersymmetry transformations
  • Write a Mathematica package that does these supersymmetry transformations symbolically (both symbolic Einstein summation of indices, treatment of Gamma-matrices and fermions/anions)
Результат:
  • The world-class toolkit for looking at supersymmetry. Lots of new problems become accessible.
  • Solid understanding of Mathematica's more arcane parts (like pattern matching and symbolattributes, maybe even macroexpander).

10.(q, t)-Топологическая рекурсия и связанные вопросы
  • study correlators in q-deformed Gaussian MM at β= 1(then β= 2 and so on)
  • figure out how to split them into contributions of different colored surfaces.
  • deduce an analog of Wick's theorem and rethink integration over quantum groups.
Результат: cutting edge understanding of quantum groups

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2022 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Противодействие коррупции | Сведения о доходах

Политика обработки персональных данных МФТИ

Техподдержка сайта | API

Использование новостных материалов сайта возможно только при наличии активной ссылки на https://mipt.ru

МФТИ в социальных сетях