Адрес e-mail:

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО ГАРМОНИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ:


Гармонический анализ 1. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье


Содержание лекции: 1:30 - Глава 12. Ряды Фурье. §1. Коэффициенты. 19:40 - Примеры ортогональных систем, многочлены Лежандра 33:10 - Стандартная тригонометрическая система 40:00 - Коэффициенты Фурье, ряд Фурье по системе 57:00 - Лемма 1 (о плотности множества непрерывных финитных функций)




Гармонический анализ 2. Теорема Римана об осцилляции. Сходимость тригонометрических рядов Фурье


Содержание лекции: 00:18 - Лемма 2 (о непрерывности в среднем суммируемых функций относительно сдвига) 15:33 - Теорема 1 (Римана об осцилляции) 36:58 - Ортогональные системы, связанные с классическими ортогональными многочленами 51:03 - Ряд Фурье в комплексной форме 1:01:49 - §2. Сходимость тригонометрических рядов Фурье 1:08:17 - Лемма 1 (о частичных суммах ряда Фурье)




Гармонический анализ 3. Сходимость тригонометрических рядов Фурье


Содержание лекции: 00:19 - Лемма 2 23:08 - Теорема 1 (Принцип локализации Римана) 38:50 - Теорема 2 (признак Дини) 54:47 - Условие Гёльдера 1:00:52 - Теорема 3 (признак Липшица) 1:09:36 - Теорема 4 (о почленном дифференцировании)




Гармонический анализ 4. Приближение функций полиномами


Содержание лекции: 00:47 - Теорема 5 (о равномерной сходимости рядов Фурье) 27:22 - Теорема 6 (об интегрировании рядов Фурье) 36:53 - §3. Приближение функций полиномами 41:35 - Теорема 1 (Коровкина, для непрерывных на отрезке функций) 54:55 - Теорема 2 (Вейерштрасса о приближении алгебраическими многочленами) 1:06:26 - Теорема 1' (Коровкина, для непрерывных 2π-периодичных функций)




Гармонический анализ 5. Пространства Lp. Неравенства Гёльдера и Минковского


Содержание лекции: 00:28 - Теорема 2 (Фейера) 22:31 - Суммы Валле-Пуссена 26:05 - §4. Пространства Lp 34:20 - Теорема 1 (неравенство Гёльдера) 39:49 - Теорема 2 (неравенство Минковского) 48:26 - Связь с линейными нормированными пространствами 53:07 - Теорема 3 (о банаховости пространства Lp([a,b]))




Гармонический анализ 6. Пространства Lp. Ряды Фурье в евклидовых пространствах


Содержание лекции: 00:29 - Утверждение о вложенности пространств Lp_i[a,b] 13:38 - Теорема 4 (о плотности множества непрерывных финитных функций в Lp(R)) 28:41 - Определение полной системы элементов в л.н.п. 32:44 - §5. Ряды Фурье в евклидовых пространствах 34:31 - Свойства коэффициентов фурье 45:31 - Теорема 1 (минимальность частичных сумм Фурье) 53:50 - Следствие (неравенство Бесселя) 57:46 - Теорема 2, равенство Парсеваля 1:06:24 - Следствие для полной системы 1:08:16 - Замечание для унитарных пространств 1:15:25 - Формулировка теормы 3 (Рисса-Фишера)




Гармонический анализ 7. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах. Интегралы, зависящие от параметра


Содержание лекции: 00:15 - Доказательство теоремы 3 (Рисса-Фишера) 05:20 - Следствие из теоремы Рисса-Фишера 11:02 - Определение замкнутой системы 12:38 - Теорема 4 (об эквивалентности полноты и замкнутости системы в гильбертовом пространстве) 19:25 - Гильбертовость пространства L2[-π, π] 24:49 - Равенство Парсеваля для тригонометрических рядов Фурье 28:11 - Теорема Рисса-Фишера для тригонометрической системы 31:55 - Теорема (Хаусдорфа-Юнга, б/д) Глава 13. Интегралы, зависящие от параметра 35:09 - §1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 35:49 - Теорема 1 41:10 - Следствие из теоремы 1 43:40 - Теорема 2 53:08 - Следствие из теоремы 2 (правило Лейбница 56:23 - Следствие из следствия 1:03:40 - §2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Мотивировка




Гармонический анализ 8. Несобственные интегралы Римана, зависящие от параметра


Содержание лекции: 03:01 - Определение равномерной сходимости несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра 05:19 - Теорема 1 (Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра) 11:01 - Теорема 2 (Признак сравнения для сходимости интеграла Римана, зависящего от параметра) 14:26 - Следствие (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла Римана, зависящего от параметра) 20:38 - Теорема 3 (Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра) 29:52 - Теорема 4 (Признак Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра) 36:09 - Теорема 5 (Предельный переход в несобственном интеграле Римана, зависящего от параметра) 50:31 - Следствие (Непрерывность несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра) 54:08 - Теорема 6 (Признак Дини равномерной сходимости несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра) 1:06:16 - Теорема 7 (Собственное интегрирование несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра)




Гармонический анализ 9. Примеры интегралов. Эйлеровы интегралы, Β- и Γ-функции


Содержание лекции: 00:28 - Теорема 8 (Несобственное интегрирование несобственных интегралов Римана, зависящих от параметра) 15:58 - Теорема 9 (Дифференцирование несобственных интегралов Римана, зависящих от параметра) 29:10 - Пример 1. Интеграл Пуассона 34:58 - Пример 2. Интеграл Дирихле 53:29 - §3. Эйлеровы интегралы 53:55 - Определение гамма-функции 57:38 - Теорема 1 (Основные свойства гамма-функции) 1:07:51 - Определение бета-функции 1:10:55 - Теорема 2 (Связь бета- и гамма-функций)




Гармонический анализ 10. Формула Эйлера-Пуассона. Интеграл Фурье


Содержание лекции: 00:17 - Теорема 3 (Формула Эйлера-Пуассона) 13:02 - Теорема 4 (Формула дополнения) 20:21 - Пример (Объем n-мерного шара в евклидовом пространстве) 30:34 - Следствие из формулы дополнения 35:08 - Характеризация Г-функции 37:53 - §4. Интеграл Фурье 47:46 - Определение интеграла Фурье 52:55 - Частные случаи (четные и нечетные функции) 56:45 - Теорема 1 (Признак Дини сходимости интеграла Фурье) 1:13:43 - Следствие (Признак Липшица сходимости интеграла Фурье)




Гармонический анализ 11. Преобразование Фурье


Содержание лекции: 00:07 - Пример вычисления интеграла Фурье 08:56 - Глава 14. Интегральные преобразования и обобщенные функцции. §1. Преобразование Фурье. 20:41 - Определение преобразования Фурье 21:45 - Определение обратного преобразования Фурье 30:15 - Теорема 1 (Основные свойства преобразования Фурье) 39:22 - Косинус- и синус-перобразования Фурье 42:44 - Теорема 2 (Преобразование Фурье производной) 52:10 - Следствие 54:16 - Теорема 3 (Производная преобразования Фурье) 58:57 - Определение свертки 1:01:34 - Коммутативность свертки 1:04:50 - Теорема 4 (Преобразование Фурье свертки) 1:11:44 - Преобразование Фурье в R^n




Гармонический анализ 12. Применение преобразования Фурье. Пространства Шварца S


Содержание лекции: 00:29 - Пример нахождения преобразования Фурье 13:17 - Замечание 1 (Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности) 23:52 - Замечние 2 (Теорема Котельникова (Найквиста-Шеннона, теорема отсчетов)) 38:06 - Отступление про конечность спектра 39:53 - Продолжение вычисления интеграла 41:32 - §2. Пространства Шварца S 42:03 - Определение пространства S 44:27 - Теорема 1 (О связи преобразования Фурье и пространства S) 52:43 - Теорема 2 (О равенстве Парсеваля для преобразования Фурье) 1:03:15 - Задание топологии 1:07:35 - Планы на будущее 1:10:43 - Обобщенные фунекции, δ-функция Дирака




Гармонический анализ 13. Обобщённые функции


Содержание лекции: 00:07 - §3. Обобщенные функции 01:09 - Определение носителя функции 05:48 - Определение полунормы в линейном пространстве 08:00 - Задание топологии 16:08 - Определение предела в топологии 20:07 - Определение функционала, линейного функционала, непрерывного функционала 23:47 - Определение обобщенной функции 25:39 - Пример 1 (Пример основной (пробной) функции) 29:17 - Пример 2 (Вложимость множества суммируемых на отрезках функций в множество обобщенных), определение регулярных и сингулярных функций 35:30 - Определение сингулярной обобщённой функции 36:15 - Пример 3 (δ-функция Дирака, ее сингулярность) 44:56 - Определение предела в пространстве обобщенных функций 46:35 - Пример 4 54:57 - Действия с обобщенными функциями 58:31 - Определение производной обобщенной функции 59:47 - Теорема 1 (Свойства дифференциирования обобщенных функций) 1:09:10 - Пример 5 (Функция Хевисайда) 1:11:46 - Пример 6 (Отсутствие ассоциативной коммутативной операции умножения обобщенных функций)




Гармонический анализ. Консультация перед экзаменом


Содержание лекции: Консультация перед экзаменом




Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2022 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Противодействие коррупции | Сведения о доходах

Политика обработки персональных данных МФТИ

Техподдержка сайта | API

Использование новостных материалов сайта возможно только при наличии активной ссылки на https://mipt.ru

МФТИ в социальных сетях