Математический анализ

Абитуриентам
Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.
Студентам
Аспирантам
Выпускникам

Карта сайта

Личный кабинет

Сервисы IT

Тел. справочник

Поддержать МФТИ

О Физтехе
МФТИ является одним из ведущих технических вузов России. Институт по праву занимает лидирующее место по качественному приему абитуриентов и квалифицированной подготовке выпускников. Студенты и выпускники МФТИ являются представителями узкого круга лиц, которые, благодаря окружающим их возможностям междисциплинарного научного образования, могут в полной мере реализовать свой потенциал.
Образование
Уникальная «Система обучения Физтеха» является одним из лучших подходов к образованию, что доказывает ее существование почти в неизменном виде уже более 60 лет. Получение фундаментального образования в области математики и физики, предварительное знакомство с избранной специализацией наряду с приобретением навыков самостоятельной работы уже на 4м курсе обеспечивают каждого студента объемом знаний и опыта полноценного ученого. Таким образом, к окончанию обучения студенты уже имеют значительные достижения в избранном ими направлении деятельности.
Наука и инновации
Исследования в МФТИ охватывают широкий круг областей теоретической и экспериментальной физики, энергетики и биомедицины, химии и прикладной математики. Поддержка ряда государственных и частных научных и инвестиционных фондов позволяет нашим ученым каждый день вести разработки на переднем крае науки, чтобы сделать мир более совершенным, удобным и безопасным.
Новости науки

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ:

Лекция 1. Матрицы

Содержание лекции: 2:37 - определение линейная комбинация 7:04 - определение матрицы 12:18 - подматрица 14:46 - операции с матрицами 20:34 - умножение матриц 29:39 - свойства операций (+, λ) 37:23 - транспонирование 43:35 - свойства умножения 1:02:56 - единичная матрица 1:06:27 - связь матрицы и линейной комбинации 1:18:49 - аналитическая геометрия, векторы

Математический анализ 1. О числах

Содержание лекции: Определение отношения порядка 2:51 - Основные свойства натуральных чисел 9:00 - N - вполне упорядоченное 11:00 - Определение вполне упорядоченного линейного множества 15:25 - Целые числа 18:00 - Основные свойства целых чисел 23:00 - Рациональные числа. Отношение эквивалентности рациональных чисел 30:50 - Определение положительного рационального числа 34:07 - Основные свойства рациональных чисел 41:25 - Представление рациональных чисел в виде десятичных дробей 57:30 - Действительные числа 58:06 - Определение рационального отрезка 59:14 - Определение системы вложенных рациональных отрезков 1:00:24 - Определение стягивающейся системы вложенных рациональных отрезков 1:02:38 - Отношение эквивалентности систем стягивающихся рациональных отрезков 1:04:46 - Доказательство отношения эквивалентности на множестве всех систем стягивающихся отрезков 1:16:40 - Определение действительного числа

Математический анализ 2. Операции на действительных числах

Содержание лекции: 0:12 - Анекдот о пифагорейцах и числах 4:16 - О представлении действительных чисел в виде систем стягивающихся отрезков 6:35 - О представлении действительных чисел в виде бесконечных десятичных дробей 13:18 - Определение сложения на действительных числах 15:25 - Теорема 1. Свойства сложения 17:43 - Доказательство корректности определения сложения 26:33 - Определение положительного действительного числа 28:05 - Определение отношения порядка на действительных числах 29:23 - Теорема 2. Множество действительных чисел - линейно упорядоченное множество относительно введенного отношения порядка 30:03 - Доказательство корректности определения отношения порядка 41:50 - Доказательство того, что введенное отношение - отношение порядка 1:02:35 - О равенстве a0,a1..ak(9) и a0,a1...[ak+1] 1:04:29 - Определение операции умножения на действительных числах 1:06:38 - Теорема 3.Свойства умножения 1:08:29 - Доказательство корректности определения операции умножения

Математический анализ 3. Действительные числа. Комплексные числа

Содержание лекции: 00:33 - Замечание об определении положительных действительных чисел 07:15 - Уточнение доказательства корректности умножения 11:43 - Определение обратного числа на действительных числах 12:57 - Теорема 4. Свойства действительных чисел 17:33 - Лемма о том, что действительное число, представимое системой стягивающихся отрезков, лежит внутри каждого отрезка 25:24 - Определение ограниченного множества 28:04 - Теорема 5. Дедекиндово сечение 53:17 - Параграф 5. Комплексные числа 57:10 - Обратное комплексное число 59:49 - Геометрическая интерпретация комплексных чисел 1:06:30 - Формула Муавра 1:08:30 - Многочлены Чебышёва

Математический анализ 4. Предел последовательности

Содержание лекции: 0:19 - Глава 2. Пределы Параграф 1. Дополнительные свойства действительных чисел 1:00 - Теорема 1. О плотности множества рациональных чисел в действительных 5:53 - Определение равномощных множеств 9:12 - Теорема 2. Теорема Кантора 27:02 - Определение верхней (нижней) грани ограниченного множества 28:16 - Определение точной верхней (нижней) грани ограниченного множества 30:31 - Теорема 3. О существовании точной верхней (нижней) грани 43:10 - Параграф 2. Предел последовательности 45:06 - Определение предела последовательности 50:08 - Теорема 1. Единственность предела последовательности 55:30 - Теорема 2. Свойства предела последовательности, связанные с неравенствами

Математический анализ 5. Свойства пределов

Содержание лекции: 00:06 -Теорема 3. Арифметические операции со сходящимися последовательностями 15:14 - Определение бесконечно малой последовательности 16:10 - Теорема 4. О произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную 18:05 - Эпсилон-окрестность 25:26 - Определение бесконечно большой последовательности 26:18 - Теорема 5. 29:45 - Определение монотонной последовательности 31:58 - Теорема 6. Теорема Вейерштрасса 39:36 - Теорема 7. Теорема Кантора о вложенных отрезках 47:37 - Лемма. Неравенство Бернулли 51:20 - Теорема 8. О числе е 57:40 - Определение подпоследовательности и частичного предела 1:02:02 - Теорема 9. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Математический анализ 6. Критерий Коши. Предел функции

Содержание лекции: 01:18 - Определение верхнего (нижнего) предела последовательности 02:15 - Теорема 10. Три определения верхнего и нижнего пределов 31:38 - Определение фундаментальной последовательности 34:40 - Теорема 11. Критерий Коши сходимости числовых последовательностей 48:25 - Параграф 3. Предел функции 48:42 - Определение проколотой дельта-окрестности точки 50:42 - Определение предела функции 53:02 - 1) по Коши 53:50 -- 2) по Гейне 54:51 - Теорема 1. Эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне

Математический анализ 7. Свойства пределов функций

Содержание лекции: Звук с 1:38 00:07 - Доказательство свойств пределов функций, связанных с неравенствами 12:31 - Теорема 3. Свойства пределов функций, связанные с арифметическими операциями 21:14 - Теорема 4. Критерий Коши существования предела функции 34:03 - Определение левостороннего и правостороннего пределов 38:34 - Теорема 5. Связь предела и односторонних пределов 47:50 - Определение не\убывающей (не\возрастающей) 51:28 - Теорема 6. Существование пределов монотонной функци

Математический анализ 8. Непрерывность функций

Содержание лекции: 0:00:07 - Параграф 4. Непрерывность Определение функции, непрерывной в точке 0:03:52 - Классификация точек разрыва 0:21:18 - Теорема 1. Критерии непрерывности 0:23:40 - Следствия из свойств предела функции 0:27:18 - Теорема 2. Переход к пределу в сложной функции 0:39:10 - Теорема 3. О точках разрыва монотонной функции 0:49:14 - Непрерывность на множествах 0:53:48 - Теорема 4. Первая теорема Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях 0:59:13 - Теорема 5. Вторая теорема Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях 1:06:27 - Теорема 6. Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях

Математический анализ 9. Непрерывность элементарных функций

Содержание лекции: 0:00:07 - Определение промежутка 0:01:30 - Лемма 1. О невырожденном промежутке 0:07:40 - Лемма 2. О непрерывности функции на промежутке 0:15:35 - Лемма 3. О монотонной непостоянной функции 0:31:51 - Теорема 6. Об обратной функции 0:40:25 - Параграф 5. Непрерывность элементарных функций 0:50:50 - Теорема 1. Первый замечательный предел 1:02:09 - Лемма 1. Предел корня n-степени 1:04:53 - Лемма 2. Предел показательной функции

Математический анализ 10. Сравнение функций. Производная

Содержание лекции: 0:00:07 - Теорема 2. Непрерывность функции y = a ^ x 0:06:30 - Теорема 3. Второй замечательный предел 0:33:53 - Параграф 6. Сравнение функций. Символы О и о 0:37:17 - Теорема 1. Связь предела частного функций с отношением функций 0:42:49 - Теорема 2. Свойство эквивалентных функций 0:45:14 - Теорема 3. О замене функции на эквивалентную в пределе 0:54:16 - Теорема 4. Действия с О и о 0:59:15 - Глава 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Параграф 1. Производная 1:04:17 - Теорема 1. Связь непрерывности в точке и существования производной

Математический анализ 11. Свойства производных и дифференцируемость

Содержание лекции: 00:00:07 - Теорема 2. Арифметические операции с производными 00:12:23 - Теорема 3. Производные основных элементарных функций 00:29:20 - Теорема 4. Производная обратной функции 00:57:31 - Параграф 2. Дифференцируемость 01:02:18 - Теорема 1. Дифференцируемость и производная 01:09:40 - Теорема 2. Дифференцируемость сложной функции

Математический анализ 12. Геометрический смысл производной. Производные высших порядков

Содержание лекции: 00:00:07 - Следствие 1. Инвариантность формы первого дифференциала 00:05:05 - Следствие 2. Производная функции, заданной параметрически 00:10:38 - Определение графика функции, секущей, касательной 00:16:16 - Определение функции, имеющей бесконечную производную 00:17:37 - Теорема 3. Геометрический смысл производной 00:28:04 - Определения левой и правой производной 00:35:57 - Параграф 3. Производные и дифференциалы высших порядков 00:39:12 - Лемма 1. Треугольник Паскаля 00:44:37 - Теорема 1. Правило Лейбница 00:55:35 - Теорема 2. Производные n-го порядка элементарных функций 01:02:46 - Следствие. Бином Ньютона 01:07:28 - Следствие. Многочлены Чебышёва

Математический анализ 13. Дифференциалы высших порядков. Теоремы о среднем

Содержание лекции: 00:01:34 - Определение дифференциала высшего порядка 00:13:22 - Теорема 3. Формула Фаа-ди-Бруно 00:49:49 - Параграф 4. Теоремы о свойствах производных Определение точек локального (строгого) минимума и максимума 00:53:36 - Теорема 1 (Ферма) 00:57:50 - Теорема 2 (Ролля) 01:03:25 - Теорема 3. Обобщенная теорема о среднем 01:07:31 - Следствие 1. Теорема Лагранжа о среднем 01:10:54 - Следствие 2. Теорема Коши о среднем

Математический анализ 14. Правила Лопиталя. Равномерная непрерывность

Содержание лекции: 00:01:13 - Теорема (4) Дарбу 00:11:01 - Следствие. Производная дифференцируемой на интервале функции не может иметь точек разрыва первого рода 00:18:56 - Теорема 5. Правило Лопиталя для 0/0 00:30:55 - Теорема 6. Правило Лопиталя для ∞/∞ 00:48:25 - Следствие. Признак дифференцируемости 00:54:27 - Параграф 5. Равномерная непрерывность 01:04:05 - Теорема (1) Кантора о равномерной непрерывности 01:10:39 - Теорема 2. Признак равномерной непрерывности

Математический анализ 15. Формула Тейлора

Содержание лекции: 00:01:13 - Теорема (4) Дарбу 00:00:07 - Лемма 1. О существовании многочлена Тейлора 00:10:13 - Лемма 2. Об отношении 00:17:14 - Теорема 1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 00:25:50 - Теорема 2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 00:33:50 - Теорема 3. Единственность представления формулой Тейлора 00:44:10 - Формулы Тейлора для основных элементарных функций

Математический анализ 17. Исследование функций

Содержание лекции: 00:00:14 - Теорема 4. Необходимые и достаточные условия (строгой) выпуклости 00:20:34 - Определение точки перегиба (см 00:40:43) 00:24:02 - Теорема 5. Необходимые и достаточные условия точки перегиба 00:27:36 - Теорема 6. Необходимое геометрическое условие точки перегиба 00:40:43 - Исправление в определение точки перегиба 00:41:44 - Определение вертикальной асимптоты графика функции 00:43:04 - Определение (невертикальной) асимптоты 00:45:43 - Теорема 7. Необходимое и достаточное условие существования асимптоты 00:49:57 - Алгоритм исследования функций и построения графиков 00:54:11 - Пример применения алгоритма

Математический анализ 18. Линейные пространства

Содержание лекции: 00:00:07 - Глава 4. Вектор-функции и топология пространства R^n 00:02:10 - Параграф 1. Пространство R^n 00:04:20 - Определение вещественного линейного пространства 00:16:39 - Определение комплексного линейного пространства 00:17:49 - Лемма 1. R^n - вещественное линейное пространство, C^n - комплексное 00:18:53 - Определение линейного отображения 00:21:42 - Определение изоморфизма линейных пространств 00:23:13 - Утверждение. О задании комплексной структуры 00:29:43 - Лемма 2. О матрице оператора комплексной структуры на R^2n 00:31:34 - Определение вещественного евклидова пространства 00:35:34 - Лемма 3. R^n - вещественное евклидово 00:36:38 - Теорема 1. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца 00:46:27 - Определение комплексного евклидова (унитарного) пространства 00:52:32 - Теорема 2. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца для унитарных пространств 01:11:23 - Определение линейного нормированного пространства 01:14:39 - Теорема 3. Евклидово пространство над R(C) - нормированное 01:23:04 - Лемма 5. R^n - нормированное 01:24:09 - Лемма 6. С^n - нормированное

Математический анализ 19. Метрические пространства

Содержание лекции: 00:01:00 - Определение метрического пространства 00:03:33 - Теорема 4. ЛН пространство является метрическим 00:08:02 - Определение открытого шара, внутренности множества, замыкания множества 00:14:09 - Лемма 7. Об отношении внутренности и замыкания с множеством 00:17:15 - Лемма 8. Переход по операции взятия внутренности и замыкания 00:19:57 - Лемма 9. Открытый шар - открытое множество 00:24:28 - Определение замкнутого шара 00:25:18 - Лемма 10. Замкнутый шар - замкнутое множество 00:34:55 - Лемма 11. int E - открытое, cl E - замкнутое 00:43:11 - Лемма 12. О дополнении внутренности и замыкания 00:47:06 - Определение граничной точки, границы множества 00:49:25 - Лемма 13. Граница, выраженная через внутренность и замыкание 00:54:46 - Теорема 5. Основные свойства совокупности открытых множеств 01:02:39 - Определение топологического пространства 01:06:07 - Определения предела последовательности 01:12:09 - Хаусдорфово топологическое пространство

Математический анализ 20. Топология пространства ℝ^n

Содержание лекции: По техническим причинам лекция не была записана полностью. Приносим свои извинения Звук с 00:43 00:00:07 -- Теорема 1. Свойства предела последовательности в ℝ^n 00:31:31 -- Лемма 1. Критерий сходимости последовательности в ℝ^n 00:38:22 -- Теорема 2. Больцано-Вейерштрасса в ℝ^n 00:45:38 -- Определение фундаментальной последовательности 00:46:54 -- Теорема 3. Критерий Коши сходимости последовательности в ℝ^n

Математический анализ 21. Компактность. Вектор-функции

Содержание лекции: 00:00:07 - исправление в доказательстве Леммы 11 параграфа 1 00:02:46 - Теорема 6. Каждое компактное подмножество компактного множества компактно 00:07:53 - Определение n-мерного куба 00:08:40 - Теорема 7. n-мерный куб компактен 00:25:29 - Теорема 8. Критерий компактности в R^n 00:42:02 - Определение изолированной точки множества 00:44:14 - Определение предельной точки множества 00:46:33 - Определение предела функции в точке по Коши 00:51:53 - Определение предела функции в точке по Гейне 00:54:03 - Теорема 9. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны 01:00:48 - Вектор-функции 01:02:38 - Лемма 2. О пределе вектор-функции 01:10:02 - Теорема 10. Свойства предела вектор-функции

Математический анализ 22. Свойства пределов вектор-функций. Кривые в R^n

Содержание лекции: 00:00:07 - Теорема 10. Свойства пределов вектор-функций 00:11:45 - Лемма 3. Предел модуля вектор-функции равен модулю предела 00:16:45 - Определение непрерывного в точке отображения 00:18:16 - Два определения отображения, непрерывного на множестве 00:22:46 - Теорема 11. Данные определения эквивалентны 00:38:41 - Теорема 12. Непрерывный образ компактного множества компактен 00:48:05 - Следствие. Теорема Вейерштрасса в R^n 00:56:01 - Параграф 3. Геометрия кривой в R^n 00:57:10 - Определение кривой в R^n 01:00:48 - Определение простой кривой, замкнутой кривой - жордановой кривой 01:04:04 - Определение производной вектор-функции в точке (см. 01:10:15) 01:05:33 - Лемма 1. Необходимое и достаточное условие существования вектор-функции 01:09:56 - Определение дифференцируемой в точке вектор-функции 01:12:25 - Лемма 2. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости в точке 01:15:27 - Лемма 3. Из дифференцируемости следует непрерывность вектор-функции 01:16:44 - Замечание. Теорема Лагранжа не переносится на случай вектор-функций

Математический анализ 23. Свойства кривых

Содержание лекции: 0:00:07 - О применении правил Лопиталя для комплекснозначных функций 0:05:55 - Лемма 4. Арифметические свойства дифференцируемости вектор-функций 0:13:39 - Теорема 1. Теорема Лагранжа для вектор-функций 0:19:13 - Определение производной высших порядков вектор-функции 0:20:55 - Теорема 2. Формула Тейлора для вектор-функций 0:24:12 - О разнице между вектор-функциями и кривыми 0:26:45 - Определение дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой и гладкой кривой (см. 0:40:04) 0:32:54 - Определение секущей кривой 0:37:52 - Определение касательной 0:40:37 - Лемма 5. Необходимое условие существования касательной 0:49:42 - О кусочно-гладких, кусочно-дифференцируемых кривых 0:51:02 - О длине кривой 0:52:56 - Определения ограниченной вариации, спрямляемой кривой, длины кривой 0:57:25 - Лемма 6. Связь ограниченной вариации и ограниченности кривой 1:01:12 - Лемма 7. Связь монотонности и ограниченной вариации 1:04:44 - Лемма 8. Арифметические свойства кривых ограниченной вариации 1:12:32 - Лемма 9. Признак спрямляемости

Математический анализ 24. Вариации функций

Содержание лекции: Звук с 0:00:32 0:00:07 - Лемма 10. Необходимое и достаточное условие вектор-функции ограниченной вариации 0:02:41 - Лемма 11. Критерий неубывающей функции полной вариации 0:16:09 - Лемма 12. Критерий непрерывности функции полной вариации (см 0:36:10) 0:42:05 - Теорема 3. Критерий ограниченности вариации 0:52:50 - Следствие. Критерий спрямляемости кривой 0:55:02 - Определение допустимой замены параметра для кривой заданного класса 0:59:08 - Теорема 4. О длине кривой 1:11:45 - Определение натурального параметра для гладкой кривой 1:13:40 - Лемма 13. О задании кривой в натуральной параметризации

Математический анализ 25. Натуральная параметризация кривой. Сопровождающий трёхгранник

Содержание лекции: 0:00:07 - Лемма 13. 0:01:54 - Определение. Ориентация кривой задается увеличением параметра 0:03:11 - Лемма 14. О допустимой замене параметра 0:10:51 - Лемма 15. 0:13:27 - Теорема 5. О соприкасающейся окружности 0:34:31 - Теорема 6. О вычислении кривизны 0:42:47 - Следствия из Теоремы 6 0:50:30 - Определение бинормали 0:51:18 - Уравнения плоскостей сопровождающего трёхгранника

Математический анализ 26. Эволюта, эвольвента. Неопределённый интеграл

Содержание лекции: 0:00:07 - Формулы Френе 0:01:45 - Лемма 16. Физический смысл кривизны и кручения 0:10:00 - Определение эволюты и эвольвенты плоской кривой кривой 0:11:33 - Теорема 7. Основное свойство эволют и эвольвент 0:27:08 - Уравнения эволюты 0:47:08 - Глава 5. Неопределённый интеграл. Параграф 1. Определения и простейшие приёмы интегрирования 0:48:29 - Определение первообразной функции. 0:49:28 - Лемма 1. 0:52:54 - Теорема 1. Об общем виде первообразной 0:55:13 - Определение неопределённого интеграла 0:56:28 - Следствия из Теоремы 1 0:58:32 - Теорема 2. Линейность и однородность неопределённого интеграла 1:02:59 - Теорема 3. Замена переменной или подстановка 1:07:45 - Теорема 4. Интегрирование по частям 1:11:29 - Таблица неопределённых интегралов