Адрес e-mail:

Физтех-семинар "Современная математика"

В осеннем семестре 2019/2020 года заседания семинара проходят в Долгопрудном по четвергам с 11-00 до 15-30 в ауд. 302 КПМ.

Описания задач

Анонсы будущих докладов:


22.10 (11-00 - 12-50)  - О концентрации значений хроматического числа случайных графов и гиперграфов (Д. Шабанов)

В 90-х годах был открыт феномен асимптотической концентрации значений хроматического числа случайного графа в двух соседних числах, которые, однако, оставались неизвестны. С тех пор было получено много продвижений в поиске точных значений, которые принимает хроматическое число случайного графа. В докладе мы сделаем обзор последних достижений в этой задаче, а также обсудим аналогичные результаты для случайных гиперграфов.    


22.10 (13-00 - 14-50)  - О вполне интегрируемых бигамильтоновых системах на алгебре матриц (А. Гаража)


Одной из основных задач гамильтоновой механики является поиск вполне интегрируемых систем (когда первых интегралов достаточно много, чтобы система оказалась интегрируема в квадратурах). Особый интерес представляет поиск таких систем на пространствах, двойственных к алгебрам Ли. Главная причина этого интереса заключается в том, что появляются глубокие взаимосвязи между геометрическими и алгебраическими структурами, которые приводят к значительным результатам.

Примером такого результата может служить метод сдвига аргумента Мищенко-Фоменко, который позволяет по набору инвариантов алгебры Ли построить вполне интегрируемую систему следующим изящным способом: в каждом инварианте надо заменить переменную Xна X-tA(сдвинуть аргумент на регулярный элемент Aалгебры Ли). Тогда все коэффициенты перед степенями tобразуют вполне интегрируемую систему.

Оказалось, что этот метод является частным случаем более общего подхода: грубо говоря, путем дифференцирования можно перейти с языка пуассоновой геометрии на язык линейной алгебры (при этом скобки Пуассона превратятся просто в кососимметрические билинейные формы), решить задачу методами линейной алгебры и обратно проинтегрировать.  В рамках этого подхода можно обобщать метод сдвига аргумента и на сингулярные элементы A, причём обобщение логично начинать с простых алгебр Ли, для которых есть полная классификация. 

В докладе будет рассказано как обобщить метод сдвига аргумента в случае алгебры Ли gl_n(C) (алгебры всех комплексных матриц). 



Архив докладов:



2019 год


8.10 (11-00 - 13-00) - О последних продвижениях в задаче описания свойства содержать подграф, изоморфный заданному (М. Жуковский)


Речь пойдет об оценивании параметров формул первого порядка, записывающих свойство содержать подграф, изоморфный заданному. Расскажу как о новых результатах (которых, к сожалению, не много), так и об открытых вопросах, количество которых растет быстрее чем количество ответов.


1.10 (11-00 - 13-00) - Цветная версия гипотезы Эрдёша о паросочетаниях (С. Киселев)

В гипотезе Эрдёша о паросочетаниях оценивается наибольший размер подмножества вершин кнезеровского графа такого, что в нём нет s-клик. В своей недавней работе Аарони и Ховард сформулировали цветную версию гипотезы для r-дольных гиперграфов и доказали в некоторых частных случаях. Я расскажу, как получаются некоторые результаты, связанные с этими гипотезами, и про продвижения, которые нам удалось получить с Купавским.


10.09 (11-00 - 13-00) - О самосборке апериодических замощений (И. Галанов)

Апериодические замощения служат математической моделью для квазикристаллов — кристаллов, которые обладают симметрией, запрещённой в классической кристаллографии. Одна из задач — разработать алгоритм локального роста для апериодических замощений, который имитируют рост квазикристаллов: плитки должны добавляться по одной и на каждом шаге алгоритму разрешается пользоваться только локальной информацией. В этом докладе мы предлагаем алгоритм для специального класса апериодических замощений — октагональных замощений конечного типа, а также дадим краткую историческую справку об открытии квазикристаллов и о том, как появились первые апериодические замощения.


   

02.05 (12-30 - 14-00) - Bootstrap percolation or weak saturation (М. Жуковский)

Речь пойдет о процессе на графах, рассмотренном Боллобашем в 1968 году. В недавней статье Судакова был рассмотрен этот процесс на случайном графе G(n,p), где p - константа. В конце работы (https://arxiv.org/pdf/1510.09187.pdf, первый абзац страницы 12) сформулирован вопрос, на который очень хочется ответить, но пока не получается. На докладе будет рассказано о попытках ответить на этот вопрос, о том, что уже удалось доказать, и о том, как хорошо в Иране.

25.04 (12-20 - 15-20) - Последовательности Сомоса и их приложения (В.А. Быковский) (аудитория 418/419 Арктики!)

Пусть k = 2,3,4,... и {αi |1≤i≤k/2}, {xj | −k/2<j≤k/2} - множества независимых формальных переменных. Положив в качестве начальных значений Sk(j) = xj (−k/2 < j ≤ k/2), с помощью квадратичного рекуррентного соотношения 

Sk(n + [(k + 1)/2])Sk(n − [k/2]) = Σ1ik/2αiSk(n+[(k+1)/2]−i)Sk(n−[k/2]+i)

строится последовательность рациональных функций Сомос-k

{Sk(n) | n ∈ Z}.

В докладе будет рассказана история появления этого математического объекта и то, что мы знаем о нём на сегодняшний день.




28.03 
(13-00 - 15-00) - Вопросы о полосках (А. Полянский)

Теорема Тарского утверждает, что если круг покрыт полосками, то их суммарная ширина по крайней мере диаметр круга. Здесь полоска - область между двумя параллельными прямыми, а ее ширина расстояние между ними. Я расскажу о задачах, возникших из этой теоремы. Большинство из них остаётся нерешёнными, но тем не менее есть несколько идей, которые неоднократно применялись; мы тоже обсудим. Большая часть открытых вопросов комбинаторно-геометрическая, но есть задачи из функционального анализа и выпуклой геометрии, также есть одно приложение в геометрии чисел.




21.03 
(13-00 - 15-00) - The forbidden poset problem (G. O.H. Katona)

The family of all subsets of an n-element set forms a poset for the binary relation “subset”. This is the Boolean lattice Bn, but we disregard the lattice operations here. Take a “small” poset P with the binary relation (order) ≺. An embedding of P into Bn is a mapping φ : P → Bn where a ≺ b implies φ(a) ⊂ φ(b). Since a family F is a subset of Bn one can speak about the embedding of P into a family F as well. We say in this case F contains a copy of P. The general problem is to determine max|F| where F ⊂ 2[n] is a family without a copy of P. This maximum is denoted by La(n, P). If P has two comparable elements, the poset is denoted by I. La(n, I) is the maximum number of subsets without inclusion. This was determined by Sperner’s theorem (1928) (the largest binomial coefficient of order n). In 1938 Paul Erd ̋os generalized this result for the complete order of size k + 1 (in terms of subsets the condition is that there are no k + 1 sets forming a chain by inclusion). The answer says that the largest family is the union of the k largest levels. The new round started by a paper of the author and Tarján in which they considered the poset V (one element is smaller than the two other ones which are incomparable) and proved that La(n, V ) is asymptotically equal to the size of the largest binomial coefficient of order n. There are many posets P for which La(n, P) has been either exactly or asymptotically determined. The goal of the lecture is to give account on the huge progress of the area in the last 10 years. The area is far fr om being “completed” as the following example shows. The diamond D is a poset of 4 elements with one minimal and one maximal element a and b wh ere a ≺ c, d ≺ b (c and d are incomparable). The value of La(n, D) is not even asymptotically determined.



14.03
 (12-00 - 14-00) - Дробная гладкость плотностей распределений многочленов от гауссовских случайных векторов (Е. Косов)

В докладе будет рассказано о недавних результатах связанных с принадлежностью классическим пространствам Никольского-Бесова плотностей распределений многочленов от 
N независимых стандартных нормальных случайных величин. Также будут обсуждаться приложения этих результатов к вопросам оценки расстояний между распределениями двух таких многочленов. Основная особенность всех результатов заключается в их независимости от количества случайных величин N.
   

7.03 
(13-00 - 15-00) - Глобальная теорема об обратной функции (А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский)  

Рассматривается вопрос о существовании непрерывного правого обратного отображения к гладкому отображению, действующему из R^n в R^k, k не превосходит n. Приводятся достаточные условия  существования непрерывного правого обратного отображения. Устанавливается взаимосвязь полученного результата с теоремой Адамара о глобальном гомеоморфизме.



28.02
 (13-00 - 15-00) - Батч-коды (Илья Воробьев).

Примитивный k-батч код сопоставляет бинарной строке x длины n бинарную строку y длины N таким образом, что любое мультимножество q из k символов из x имеет k взаимно непересекающихся восстанавливающих множеств из y, т.е. сумма элементов i-го множества равна i-ому элементу мультимножества q. Такие коды применяются в системах распределенного хранения данных, а также для конфиденциальной обработки информации. Нам интересует параметр r=N-n, называемый избыточностью кода. Я расскажу об известных оценках на минимальную избыточность и о некоторых конструкциях батч-кодов.



14.02 (13-00 - 15-00) - On-line раскраски гиперграфов в два цвета (Маргарита Ахмеджанова).

В этот четверг я планирую рассказать об еще одном интересном обобщении задачи Эрдеша-Хайнала о поиске величины m(n). Обобщение заключается в том, что вершины анонсируются онлайн, одна за другой, и цвет для каждой вершины должен быть назначен сразу после ее анонсирования и не может быть изменен. Цель состоит в том, чтобы раскрасить вершины так, чтобы не было одноцветных ребер.

Формально, постановка данной задачи для гиперграфов формулируется в терминах игры, а именно, есть два игрока-Listerи Painter и изначально задаются два параметра: мощность ребра k и количество ребер N. Значения этих параметровизвестны обоим игрокам перед игрой. В каждом раунде, Lister анонсирует одну вершина и номера инцидентных ей ребер (Lister создает гиперграф в процессе игры). Painter должен немедленно назначить цвет 0 или 1 к представленной вершине.

Lister побеждает, когда существует одноцветное ребро. 

Painter побеждает, когда все вершины анонсированы (то есть все N ребра содержат по k вершин), и ни одно ребро не является одноцветным. 

Величина m_ol_(k)-это наименьшее N, для которого Lister имеет выигрышную стратегию в On-line раскраске. Задача - оценить данную величину.



2018 год


6.12 (14-00 - 16-00) - Число независимости случайного графа G(n,c/n) (Маргарита Ахмеджанова). 

В этот четверг я сделаю доклад по статье Карпа-Сипсера ''Максимальное паросочетание в разреженном случайном графе". 

Нас интерес к теме паросочетаний объясняется тем, что задача о  максимальном паросочетании связана с задачей о наибольшем независимом множестве. В случае неслучайных графов, это утверждение очевидно, путем перехода от графа G к реберному графe G*, в котором вершинами стали ребра графа G. В случае случайных графов алгоритмы для поиска  максимального парасочетания могут быть успешно переделаны для поиска наибольшего независимого множества. 

Мой доклад будет состоять из нескольких разделов.
1) Алгоритм поиска максимального парасочетания в неслучайном графе. Его оптимальность на первой фазе.
2) интерпретация работы алгоритма в виде марковской  цепи с дискретным, а потом и с непрерывным временем
3) анализ марковской цепи при помощи дифференциальных уравнений
4) проверка выполнения условий теоремы Kurtz. Пуассоновский процесс.


15.11 (14-00 - 16-00) - Задачи о котангенсых суммах (Никита Деревянко).

В этот четверг, я расскажу об изучении котангенсных сумм, связанных с
критерием Нимана-Бёрлинга для гипотезы Римана.
А именно мы:
- введем котангенсные суммы с_0
- рассмотрим как перейти к критерию Нимана-Бёрлинга для гипотезы Римана
- проследим где именно возникают котангенсные суммы, при рассмотрении гипотезы
Римана в подходе Нимана-Бёрлинга
- обсудим результаты полученые Майклом Рассиасом, Хельмутом Майером и другими
А в конце я приведу пару примеров задач, над которыми мне предложил подумать
Майкл Рассиас.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях