Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Основы топологии и её приложения (2008-09)

Лектор — Г. Г. Гусев.

Спецкурс читался по средам в ауд. 308 с 13:00 до 15:00.

Программа курса

1. Графы.

Источники - Прасолов, "Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии"; Алгоритмы на графах - книга "Алгоритмы: построение и анализ".

1.1. Определение (чисто комбинаторное и геометрический образ). Основные понятия: путь, связность. Эйлеров цикл. Максимальное поддерево и примеры использования. Ориентированные графы.

1.2. Двудольные графы и теорема Холла о паросочетаниях. Теорема Кэли о числе поддеревьев в полном графе (лучше всего - на дом в виде серии задач).

1.3. Планарность графов, доказательство непланарности K5 и K3,3, критерий Понтрягина-Куратовского без доказательства, формула Эйлера В-Р+Г=2.

1.4. Примеры алгоритмов на графах. Поиск кратчайшего пути во взвешенном графе. Алгоритмы Дейкстры и Форда-Беллмана.

2. Многогранники.

Источник - Бухштабер, Панов, "Торические действия в топологии и комбинаторике" (глава 1).

2.1. Задача: дать определение выпуклого многогранника. 2 решения: геометрическое (выпуклая оболочка конечного множества точек) и алгебраическое (ограниченное множество, заданное линейными неравенствами). Равносильность 2-х определений. Грани многогранника. Симплициальные и простые многогранники. Двойственные многогранники.

2.2. Определение правильного многогранника. Формула Эйлера. Классификация трехмерных правильных многогранников: доказательство полноты ("их не более пяти").

2.3. Комбинаторные многогранники. F-вектор, H-вектор комбинаторного многогранника. Соотношение Дена-Соммервилля: H-вектор простого многогранника симметричен. Циклический многогранник на кривой моментов.

3. Симплициальные комплексы.

Источник - Бухштабер, Панов, глава 2.

3.1. Определение комбинаторного и геометрического комплексов. Геометрическая реализация комбинаторного комплекса. Простейшие примеры: граф, тетраэдр, сфера. Симплициальные отображения комбинаторных и геометрических комплексов, эквивалентность этих понятий. Изоморфность комплексов с комбинаторной и геометрической точек зрения. Двумерные поверхности.

3.2. Операции над симплициальными комплексами: конус, надстройка, джоинт. Замена комплекса гомеоморфным. Пример: конус над сферой гомеоморфен симплексу. Вложение n-мерного комплекса в R2n (с помощью кривой моментов). Вложимость графа в R3.

4. Топология и непрерывность.

Источники - Васильев, "Введение в топологию"; Фукс, Фоменко, Гутеммахер, "Гомотопическая топология".

4.1. Понятия топологического пространства и непрерывного отображения.
Пример гомеоморфности: интервал и прямая. Примеры негомеоморфных пространств: интервал и отрезок. Топология как внутренняя структура. Определения топологического пространства: аксиоматическое и конструктивное (через базу). Открытые и замкнутые множества. Примеры топологических пространств и отображений (вещественные числа и непрерывность функций-многочленов), пространства с дискретной топологией, непрерывные функции со значениями в дискретном пространстве.

4.2. Простые применения идей непрерывности - "Дама с собачкой" (задача 11.5 Всероссийской олимпиады школьников 2001 года). Топология, индуцированная на подмножестве. Топология на симплициальном комплексе: множество замкнуто, если все пересечения с симплексами замкнуты. Непрерывность симплициального отображения.

4.3. Двумерные поверхности как триангуляции. Классификация поверхностей без края с точностью до гомеоморфизма. Классификация поверхностей с краем (возможно, как задача для студентов).

5. Гомологии симплициальных комплексов.

Источники - Зейферт, Трельфалль, "Топология";
Васильев, "Введение в топологию".

5.1. Векторное пространство цепей (с коэффициентами в Z2). Дифференциал. Проверка равенства d2=0. Определение групп гомологий. Интерпретация: гомологии графа. Связность и односвязность графа в терминах его групп гомологий.

5.2. Гомологии тетраэдра. Гомологии поверхности: односвязность и примеры.

5.3. Инвариантность гомологий при гомеоморфизме. Независимость гомологий от триангуляции: постановка задачи. Независимость от подразбиений ребра (квазиизоморфизм). Примеры полиэдров. Гомологии полиэдров как обобщение понятия симплициальных гомологий.

5.4. Доказательство равенства групп гомологий для двух триангуляций, пересечения которых являются "хорошими" - например, многогранниками. Идея доказательства в общем случае. Понятие о Hauptvermutung (верно, ли, что если два комплекса гомеоморфны, то они симплициально изоморфны?)

5.5. Гомологии с коэффициентами в Z, в произвольной абелевой группе и поле. Эйлерова характеристика комплекса. Эйлерова характеристика поверхности: аналогия с формулой Эйлера. Немного алгебры: выражение гомологий с коэффициентами в поле или Zp через Z-гомологии (упрощенный вариант "формулы универсальных коэффициентов", можно без доказательства).

5.6. Гомологии сферы, тора и произвольной двумерной поверхности.

*Триангуляция касательного расслоения над поверхностью. Старший класс Штиффеля-Уитни и ориентируемость.

6. Многообразия и гладкость.

Источники - Милнор, Уоллес, "Дифференциальная топология - начальный курс";
Васильев, "Введение в топологию";
Фукс, Фоменко "Курс гомотопической топологии";
Милнор, "Теория Морса".

6.1. Определение гладкого многообразия. Примеры: евклидово пространство, сфера, двумерные поверхности. Гладкие функции и гладкие отображения, диффеоморфность. Существование диффеоморфных, но не гомеоморфных многообразий.

6.2. Вложение произвольного многообразия в R2 с использованием разбиения единицы. Теорема о триангуляции (без доказательства) и фундаментальный класс. Степень отображения.

6.3. Теорема Уитни о вложимости n-мерного компактного многообразия в 2n+1-мерное. Функции Морса. Концепция "общего положения" в доказательстве существования функции Морса.

6.4. Функции высоты как вариант функции Морса. Векторные поля на многообразии, градиентные поля функции Морса. Исследование топологии многообразия: перестройки, приклейки ручек. *Определение комплекса Морса.

6.5. Векторные поля на поверхностях и индексы особых точек. Вездесущесть эйлеровой характеристики: индекс векторного поля на многообразии, число критических точек функции (со знаками), знакопеременная сумма рангов гомологий.

6.6**. Возможные дальнейшие направления: когомологии де Рама, их связь с симплициальными, двойственность Пуанкаре (например, с коэффициентами в поле).

...............

7*. Узлы и зацепления.

Источник - Сосинский, "Узлы. Хронология одной математической теории."

7.1. Определение: гладкие кривые в R3. Понятие диаграммы узла и общности проекции. Инварианты узлов.

7.2. Теорема Рейдемейстера об эквивалентности узлов и диаграмм (доказательство можно привести, если гладкие многообразия уже подробно разобраны).

7.3. Определение инвариантов узлов (многочлен Александера, Джонса, HOMFLY) и доказательство их инвариантости. Примеры нетривиальных и неэквивалентных между собою узлов.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика