Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Введение в тензорный анализ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

Доц. Ю.И.Ханукаев

Для студентов 2-5 курсов.

 

Расписание на весенний семестр 2014: курс читается по средам 18-30, ауд. 432

 

В настоящее время без понятия тензор немыслимо освоение основ механики. Например, для описания состояния деформируемого элемента сплошной среды векторный аппарат оказывается недостаточным. Равновесие и кинематика элемента сплошной среды определяются соответственно тензором напряжений и тензором скоростей. В связи с этим уравнения динамики сплошной среды также носят тензорный характер. Многомерная дифференциальная геометрия, описывающая внутренние свойства многообразия,  это геометрия тензоров. Все физические поля, форминвариантные относительно преобразования Лоренца, имеют кватернионную природу. Кватернионы изоморфны матрицам. Следовательно, уравнениям электродинамики и гравитодинамики можно придать матричную форму аналогичную тензорной.                 

Рассмотрено возникновение понятия тензор в механике твёрдого тела, линейной теории упругости, гидроаэромеханике, дифференциальной геометрии поверхностей, теории поля, общей теории относительности.      

Систематическое использование диад, триад и т.д. для представления тензоров делает тензорный анализ аналогичным векторному анализу, а индексный формализм тензорного анализа естественным для восприятия.    

 

Тема 1. Одновалентные и многовалентные тензоры:

  тензор упругих напряжений;

  тензор инерции твёрдого тела;

  тензор поворота;

  инвариантные операции;

  инварианты тензора.

Тема 2. Тензорные поля:

  производная по направлению;

  поток вектора через поверхность;

  расхождение вектора; теорема Гаусса;

  циркуляция вектора вдоль контура;

  вихрь вектора; теорема Стокса.

Тема 3. Оператор Гамильтона:

  примеры;

  тензор скоростей деформаций;

  расхождение тензора;

  система уравнений гидромеханики;

  применение к теории упругости;

  применение к теории электромагнитного поля.

Тема 4. Криволинейные координаты:

  исходный и взаимный базисы;

  метрические тензоры;

  ковариантные и контравариантные преобразования тензора;

  ковариантное и контравариантное дифференцирование тензора;

  символы Кристоффеля;

  оператор набла в ортогональных криволинейных координатах.

Тема 5. Неевклидовы геометрии:

  внутренняя геометрия поверхностей, первая фундаментальная квадратичная форма;

  геодезические;

  тензорные производные;

  тензор Римана-Кристоффеля и гауссова кривизна.

Тема 6. Геометрия поверхностей:

  геометрия кривых, формулы Серре-Френе;

  вторая и третья фундаментальные квадратичные формы поверхности;

  уравнения Гаусса-Кодацци;

  кривые на поверхности;

  теорема Менье;

  параллельные векторные поля;

  теоремы Гаусса и Боне.

Тема 7 Элементы общей теории относительности:

  релятивистская динамика;

  принцип эквивалентности;

  решение Шварцшильда.

 

Основная литература.

  1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.
  2. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.: Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, М. 1963.
  3. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. : Изд-во «НАУКА» Главная ред. Физ-мат лит-ры, М. 1967.
  4. Сокольников И.С. Тензорный анализ. : Изд-во «НАУКА» Главная ред. физ-мат лит-ры, М. 1971.
  5. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. М.: Изд-во МФТИ. 1996.

Дополнительная литература.

  1. Валландер С.В. Лекции по гидромеханике. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005.
  2. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. : ФИЗМАТЛИТ, М. 2001.
  3. Кильчевский Н.А. Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике.: Гос. изд-во технико-теор. лит-ры, М. 1954.
  4. Ламб Г. Гидродинамика.: ОГИЗ, Гос.изд-во технико-теор. лит-ры, М.Л.1947.
  5. Лурье А.И. Теория упругости.: Изд-во «НАУКА», Главная ред. физ-мат лит-ры, М. 1970.
  6. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма.: ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теор. лит-ры, М.Л. 1948.
  7. Шефер Клеменс. Теоретическая физика. Механика сплошных сред.: Объединённое научно-техн. изд-во НКТП СССР. Главн. ред. общетехн. лит-ры и номографии М.Л.1936.

 

 

 

 

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика