Адрес e-mail:

Билеты к экзамену по теоретической механике (ФФКЭ, ФПФЭ)

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

(весенний семестр, ФФКЭ, ФПФЭ, 2 курс)

Вопросы к экзамену

 

1. Определение положения равновесия. Условия равновесия системы с идеальными связями (принцип виртуальных перемещений). Условия равновесия голономных систем.

2. Устойчивость по Ляпунову положения равновесия. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативных систем. Условия  неустойчивости консервативных систем.

3. Малые колебания консервативных систем вблизи устойчивого положения равновесия. Уравнение частот. Главные (нормальные)  координаты. Общее решение. Случай кратных корней.

4. Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению (без доказательства). Критерии Рауса–Гурвица (без доказательства) и Михайлова асимптотической устойчивости линейных стационарных систем.

5. Теорема Барбашина – Красовского (без доказательства). Теорема об асимптотической устойчивости определенно-диссипативных систем.

6. Вынужденные колебания линейной стационарной системы под действием гармонических сил. Частотные характеристики. Реакция линейной стационарной системы на негармоническое воздействие.

7. Влияние периодических внешних сил на колебания консервативных систем. Случаи резонанса в вынужденных колебаниях.

8. Переменные Гамильтона. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Физический смысл функции Гамильтона в случае консервативной системы.  

9. Интеграл Якоби и циклические первые интегралы в системах Гамильтона. Понижение порядка системы уравнений Гамильтона. Уравнения Уиттекера и Якоби.

10. Скобки Пуассона и первые интегралы гамильтоновых систем. Теорема Якоби–Пуассона.

11. Действие по Гамильтону. Вариация действия по Гамильтону. Вариационный принцип Гамильтона.

12. Интегральные инварианты Пуанкаре–Картана и Пуанкаре.

13. Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Теорема Лиувилля об инвариантности фазового объема гамильтоновой системы.

14. Теорема Ли Хуачжуна об интегральных инвариантах первого порядка гамильтоновых систем.

15. Канонические преобразования. Критерий каноничности. Производящая функция и валентность канонического преобразования.

16. Свободное каноническое преобразование, его производящая функция. О других типах производящих функций. Преобразование гамильтонианов при канонических преобразованиях. Фазовый поток гамильтоновых систем как однопараметрическое семейство канонических преобразований.

17. Уравнение Гамильтона — Якоби. Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и его использование в задаче интегрирования уравнений движения гамильтоновой системы.

18. Случаи разделения переменных в уравнениях Гамильтона — Якоби.

 

 Вопросы по программе повышенного уровня

I Электромеханические аналогии

1. Электрические аналоги кинетической энергии, потенциальной энергии и функции Релея.

2. Уравнения Лагранжа для электрических и электромеханических систем.

 

II Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости

1. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.

2. Теорема Четаева о неустойчивости.

 

III Дополнительные главы гамильтоновой механики

1. Характер экстремума действия по Гамильтону на прямом пути. Кинетические фокусы в линейных системах.

2. Преобразование лагранжиана при замене переменных (координат и времени) в уравнениях Лагранжа.

3. Теорема Эмми Нетер.

4. Теорема Лиувилля об интегрируемых системах.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li soc-yt
Яндекс.Метрика