Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Билеты к экзамену по теоретической механике (ФФКЭ, ФПФЭ)

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Осенний семестр, факультеты ФФКЭ, ФПФЭ

Вопросы к экзамену


1. Кинематика точки. Траектория, скорость и ускорение точки. Скорость и ускорение точки в полярных координатах.

2. Кинематика точки. Естественный трехгранник. Теорема  Гюйгенса о разложении ускорения точки на  тангенциальное и нормальное.

3. Криволинейные координаты точки. Коэффициенты Ламе. Скорость и ускорение точки в  криволинейных  координатах. Скорость точки в цилиндрических и сферических координатах.

4. Угловая скорость и угловое ускорение твёрдого тела. Скорости и ускорения точек твердого тела в общем случае  его  движения (формулы Эйлера и Ривальса). 

5. Плоское движение твердого тела. Мгновенный  центр скоростей.  Понятие о мгновенном  центре ускорений.

6. Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная  винтовая  ось.

7. Алгебра кватернионов.

8. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела (присоединенное отображение).

9. Формулы сложения поворотов твердого тела в кватернионах. Параметры Родрига-Гамильтона. Теорема Эйлера о конечном повороте тваердого тела с неподвижной точкой.

10. Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона). Интегрирование уравнений Пуассона для прецессионного движения твердого тела.

11. Кинематика сложного движения точки. Вычисление скоростей  и  ускорений в сложном движении.

12. Кинематика сложного движения тела. Сложение   мгновенных вращений твердого тела вокруг  пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера.

13. Кинематика сложного движения тела. Сложение мгновенных вращений твердого тела вокруг параллельных осей. Пара вращений.

14. Кинематика сложного движения тела. Общий случай сложения нескольких мгновенных движений твердого тела. Приведение общего случая к случаям простейших мгновенных движений.

15. Момент силы относительно точки и оси, главный вектор и главный момент сил системы. Элементарная работа сил системы. Работа сил, приложенных к твердому телу. Силовое поле. Силовая функция. Потенциал.

16. Количество движения. Центр масс. Теорема об изменении количества движения системы. Теорема о движении центра масс.

17. Главный момент количества  движения (кинетический момент) системы относительно заданного центра. Кинетический момент системы для ее движения относительно центра масс. Теорема Кенига о вычислении кинетического момента.

18. Теорема об изменении кинетического момента системы.

19. Кинетическая энергия системы. Теорема Кенига о вычислении кинетической энергии. Теорема  об изменении кинетической энергии системы. Закон сохранения полной механической энергии системы.

20. Основные теоремы динамики в неинерциальной системе  отсчета. Переносная и кориолисова силы инерции. Основные теоремы динамики для движения относительно центра масс.

21. Движение материальной точки в центральном поле. Интеграл площадей; второй закон Кеплера. Уравнение Бине.

22. Движение точки в поле всемирного тяготения: уравнение орбиты, законы Кеплера. Интеграл площадей, интеграл энергии. Задача двух тел.

23. Момент инерции системы относительно оси. Матрица тензора инерции. Эллипсоид инерции. Главные оси и главные моменты инерции.

24. Моменты инерции относительно параллельных осей; теорема Гюйгенса – Штейнера. Преобразование матрицы тензора инерции при параллельном переносе осей. Свойства осевых моментов инерции.

25. Кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела, вращающегося  вокруг неподвижной точки или вокруг неподвижной оси. Кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела при его произвольном  движении.

26. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Уравнения  плоского движения твердого тела.

27. Дифференциальные уравнения движения твердого  тела вокруг неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера. Случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки: первые интегралы уравнений движения; перманентные вращения.

28. Случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки: регулярная прецессия в случае динамической симметрии тела; геометрическая интерпретация Пуансо.

29. Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела с неподвижной точкой. Основная формула гироскопии. О приближенной теории гироскопов.

30. Уравнения движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Первые интегралы. Случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской интегрируемости уравнений движения.

31. Случай Лагранжа движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Частные движения: стационарные вращения, регулярная прецессия.

32. Несвободные системы. Связи и их классификация. Возможные, действительные и виртуальные перемещения точек системы. Число степеней свободы системы.

33. Идеальные связи. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа).

34. Элементарная работа сил системы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их вычисление. Случай потенциального поля сил.

35. Общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Уравнения Лагранжа второго рода.

36. Уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа. Циклические координаты и первые интегралы. Об уравнениях Лагранжа второго рода в неинерциальных системах отсчета.

37. Анализ выражения кинетической энергии системы как функции обобщенных скоростей. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно обобщенных ускорений.

38. Теорема об изменении полной механической энергии голономной системы. Интеграл энергии, консервативные системы. Обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби), обобщенно-консервативные системы.


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Весенний семестр, ФФКЭ, ФПФЭ

Вопросы к экзамену


1. Определение положения равновесия. Условия равновесия системы с идеальными связями (принцип виртуальных перемещений). Условия равновесия голономных систем.

2. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, неустойчивость положения равновесия. Понятие функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Теорема Барбашина — Красовского.

3. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативных механических систем. Теорема Ляпунова об обращении теоремы Лагранжа.

4. Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Критерий Рауса–Гурвица.

5. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия Условие Маиевского — Четаева устойчивости «спящего» волчка Лагранжа.

6. Элементы теории катастроф. Кривая равновесий. Основные типы бифуркаций в динамических системах. Дивергенция и флаттер. Бифуркация рождения цикла. Теорема Пуанкаре — Андронова — Хопфа.

7. Малые колебания консервативных систем вблизи устойчивого положения равновесия. Уравнение частот. Главные (нормальные)  координаты. Общее решение. Случай кратных корней.

8. Вынужденные колебания линейной стационарной системы под действием гармонических сил. Амплитудно-фазовая характеристика. Реакция линейной стационарной системы на негармоническое воздействие.

9. Влияние периодических внешних сил на колебания консервативных систем. Случаи резонанса в вынужденных колебаниях.

10. Переменные Гамильтона. Функция Гамильтона. Преобразование Лежандра. Теорема Донкина о преобразовании Лежандра.

11. Канонические уравнения Гамильтона. Физический смысл функции Гамильтона в случае консервативной системы.  

12. Интеграл Якоби и циклические первые интегралы в системах Гамильтона. Понижение порядка системы уравнений Гамильтона. Уравнения Уиттекера..

13. Скобки Пуассона и их свойства. Связь с первыми интегралами гамильтоновых систем. Теорема Якоби–Пуассона.

14. Действие по Гамильтону. Вариация действия по Гамильтону. Вариационный принцип Гамильтона. Характер экстремумам действия по Гамильтону.

15. Преобразование лагранжиана при замене координат и времени. Теорема Эмми Нётер.

16. Интегральные инварианты Пуанкаре — Картана и Пуанкаре.

17. Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Теорема Лиувилля об инвариантности фазового объема гамильтоновой системы.

18. Теорема Ли Хуачжуна об интегральных инвариантах первого порядка гамильтоновых систем.

19. Канонические преобразования. Критерий каноничности. Производящая функция и валентность канонического преобразования.

20. Свободное каноническое преобразование, его производящая функция. О других типах производящих функций. Преобразование гамильтонианов при канонических преобразованиях.

21. Критерии каноничности преобразования, записанные при помощи скобок Лагранжа и Пуассона и при помощи матрицы Якоби преобразования.

22. Фазовый поток гамильтоновых систем как однопараметрическое семейство канонических преобразований.

23. Уравнение Гамильтона — Якоби. Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и его использование в задаче интегрирования уравнений движения гамильтоновой системы.

24. Случаи разделения переменных в уравнениях Гамильтона — Якоби.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика