Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Билеты к экзамену по теоретической механике (ФОПФ)

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

(весенний семестр, ФОПФ, 2 курс)

Вопросы кзаменационных билетов

1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия  консервативной системы. Теоремы Ляпунова об обращении  теоремы Лагранжа.

2. Нормальные координаты и нормальные колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Колебания консервативной под действием  внешних периодических сил. Резонанс.

3. Влияние внешних периодических сил на малые колебания склерономной системы.  Частотные характеристики.

4. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению (без доказательства). Критерий Рауса – Гурвица (без доказательства).

5. Канонические уравнения Гамильтона. Физический смысл функции Гамильтона. Обобщенно консервативные системы. Интеграл Якоби. Время и энергия как канонически сопряженные переменные.

6. Уравнения Рауса. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения при помощи уравнений Рауса в случае систем, имеющих циклические координаты.

7. Циклические координаты. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения в случае материальных систем, имеющих циклические координаты.

8. Уравнения  Уиттекера и Якоби для консервативных и обобщенно  консервативных систем.

9. Скобки Лагранжа. Скобки Пуассона и их свойства. Скобки Пуассона и первые интегралы уравнений Гамильтона. Теорема Якоби-Пуассона.

10. Понятие канонического преобразования. Симплектичность (или обобщенная симплектичность) матрицы Якоби преобразования – необходимое и достаточное условие его каноничности. Критерии каноничности преобразования, выраженные через скобки Лагранжа и скобки Пуассона.

11. Канонические преобразования и процесс движения. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Инвариантность скобок Пуассона при унивалентных канонических преобразованиях.

12. Свободное каноническое преобразование  и его производящая функция. Понятие о  других типах производящих функций. Преобразование функции Гамильтона при каноническом преобразовании.

13. Уравнение Гамильтона – Якоби. Полный интеграл. Теорема Якоби.

14. Разделение переменных в уравнении Гамильтона – Якоби.

15. Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновой системы в квадратурах.

16. Понятие интегрального инварианта. Теорема об универсальном интегральном инварианте Пуанкаре и ее обращение. Теорема  Ли Хуачжуна о единственности интегрального инварианта Пуанкаре (без доказательства).

17. Теорема об интегральном инварианте Пуанкаре – Картана и ее обращение.

18. Прямой и окольный пути голономной  системы, принцип Гамильтона – Остроградского. Принцип Гамильтона – Остроградского в случае потенциального поля сил. Действие по Гамильтону, понятие о характере экстремума действия по Гамильтону.

19. Ковариантность уравнений Лагранжа второго рода в общем случае, когда производится замена и обобщенных координат, и времени.

20. Теорема Э.Нетер. Примеры.

21. Теорема Э.Нетер. Связь законов сохранения (первых интегралов) со свойствами пространства и времени.

22. Принцип Мопертюи – Лагранжа. Действие по Лагранжу. Понятие о характере экс- тремума действия по Лагранжу. Сопоставление оптического принципа Ферма и принципа Мопертюи – Лагранжа.

 

Вопросы по дополнительным темам программы

Электромеханические аналогии

1. Электрические аналоги кинетической энергии, потенциальной энергии и диссипативной функции Релея.

2. Уравнения Лагранжа для электрических цепей и электромеханических систем.

 

Устойчивость движения

1. Теоремы Ляпунова об устойчивости  и  асимптотической  устойчивости.

2. Теоремы  Ляпунова и Четаева о неустойчивости.

3. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению (случай установившихся движений). Понятие о критических случаях в теории устойчивости.

4. Решение задачи об устойчивости перманентных вращений твердого тела в случае Эйлера. Условие Маиевского –  Четаева устойчивости «спящего»  волчка Лагранжа.

5. Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость равновесия консервативной системы.

 

Переменные действие – угол и адиабатические инварианты

1. Переменные действие – угол для системы с одной степенью свободы. Понятие о переменных действие – угол для систем  с  n степенями  свободы.

2. Адиабатические инварианты.

 

Канонические преобразования в теории возмущений

1. Вариация постоянных в задачах механики.

2. Канонические замены переменных, близкие к тождественным.

3. Классическая теория возмущений для систем, близких к интегрируемым.  Малые знаменатели.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика