Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Билеты к экзамену по теоретической механике (ФОПФ)

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Осенний семестр, факультет ФОПФ

Вопросы к экзамену

                                                        

      1. Кинематика точки. Траектория, скорость и ускорение точки. Скорость и ускорение точки в полярных координатах. Естественный трехгранник. Теорема  Гюйгенса о разложении ускорения точки на  тангенциальное и нормальное.

 

 2. Простейшие конечные перемещения твердого тела: поступательное, вращение, винтовое. Углы Эйлера.  Движение  твердого   тела  вокруг неподвижной точки как ортогональное преобразование. Теорема Эйлера о конечном перемещении твердого тела, имеющего неподвижную точку.

 

              

             3. Скорости и ускорения точек твердого тела в общем случае  его  движения.  Угловая скорость.

              Угловое ускорение. Частные случаи: вращение твердого тела  вокруг неподвижной оси,  вращение   вокруг неподвижной точки. 

   

   4. Плоское движение твердого тела. Мгновенный  центр скоростей.  Мгновенный  центр ускорений.

   

  5. Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная  винтовая  ось.


6. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки.


  7. Сложение   мгновенных вращений твердого тела вокруг  пересекающихся осей. Угловая скорость твердого тела – скользящий вектор. Кинематические уравнения Эйлера.

   

   8. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей. Пара вращений. Сложение мгновенно поступательного и вращательного движений.

  

9.  Общий случай сложения нескольких мгновенных движений твердого   тела. Приведение общего случая к случаям простейших мгновенных движений.

 

10. Свободные и несвободные системы. Связи, их классификация. Системы голономные и неголономные. Возможные положения, скорости, ускорения и перемещения точек системы. Действительные и виртуальные перемещения. Синхронное варьирование. Число степеней свободы системы.

 

11.Элементарная работа сил системы. Работа сил, приложенных к твердому телу. Идеальные связи.

 

12. Силовое поле. Силовая функция. Потенциал. Элементарная работа сил системы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их вычисление.

 

13. Количество движения. Центр масс. Теорема об изменении количества движения системы в инерциальной системе отсчета. Теорема о движении центра масс.

 

     

   14. Момент инерции твердого тела относительно оси. Моменты инерции относительно параллельных осей; теорема Гюйгенса – Штейнера. Эллипсоид инерции. Свойства осевых моментов инерции.

 

  15. Момент количеств  движения (кинетический момент) системы относительно заданного центра. Кинетический момент системы для ее движения относительно центра масс. Теорема Кенига о вычислении кинетического момента.

  

   16. Кинетический момент твердого тела, вращающегося  вокруг неподвижной точки или вокруг неподвижной оси.

 

   17. Теорема об изменении кинетического момента  в инерциальной системе отсчета.

 

    18. Кинетическая энергия системы. Теорема Кенига о вычислении кинетической энергии.

   

    19. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки 

или относительно неподвижной оси. Кинетическая энергия твердого тела при его произвольном  движении.

 

             20. Теорема  об изменении кинетической энергии в инерциальной системе отсчета. Закон сохранения полной механической энергии.


             21. Основные теоремы динамики в неинерциальной системе  отсчета. Переносная и кориолисова силы инерции. Основные теоремы динамики для движения относительно центра масс.

 

22.  Движение свободной материальной точки под действием  центральных сил: закон площадей, формулы  Бине.

 

     23. Задача двух тел.  Уравнения движения. Интеграл площадей; второй закон Кеплера.  Интеграл энергии.  Интеграл Лапласа.

 

    24. Задача двух тел. Уравнение орбиты; первый закон Кеплера. Зависимость характера орбиты от величины начальной скорости. Третий закон Кеплера.

 

   25. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Уравнения  плоского движения твердого тела.

 

     26. Дифференциальные уравнения движения твердого  тела вокруг неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера.

 

     27. Случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки: первые интегралы динамических уравнений; перманентные вращения.

 

    28. Случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки: регулярная прецессия в случае динамической симметрии тела; геометрическая интерпретация Пуансо.

 

 

     29. Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Дифференциальные уравнения Эйлера – Пуассона и их первые интегралы.

    

     30. Понятие о случаях интегрируемости Эйлера, Лагранжа и Ковалевской задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.

 

               31. Первые интегралы и качественный анализ движения твердого тела в случае Лагранжа

                 

32. Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела. Основная формула гироскопии. Понятие об элементарной теории гироскопов.

 

         33. Выражение  реакций идеальных связей при помощи их уравнений и неопределенных множителей Лагранжа. Уравнения Лагранжа первого рода.

 

      34. Принцип  Даламбера –  Лагранжа (общее уравнение динамики) — необходимое и достаточное условие, выделяющее действительные движения системы из ее кинематически возможных движений.

 

        35. Принцип виртуальных перемещений (общее уравнение статики) — необходимое и достаточное условие равновесия системы с идеальными удерживающими связями.

 

        36. Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах. Принцип виртуальных перемещений в случае потенциального поля сил.

 

            37. Общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Уравнения Лагранжа второго рода.

           

38.    Разрешимость уравнений Лагранжа второго рода относительно обобщенных

 ускорений. Уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа.

 

39. Теорема об изменении полной механической  энергии голономной системы.  Случай консервативной системы. Гироскопические силы. Диссипативные силы, функция Рэлея.

 

 40. Обобщенный потенциал. Натуральные и ненатуральные системы.



ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Весенний семестр, факультет ФОПФ

Вопросы к экзамену


1.   Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия  консервативной системы. Теоремы Ляпунова об обращении  теоремы Лагранжа.

 

2.    Нормальные координаты и нормальные колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Колебания консервативной системы под действием  внешних периодических сил. Резонанс.

 

3.  Влияние внешних периодических сил на малые колебания склерономной системы.  Амплитудно – фазовая характеристика.

 

4. Понятие об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости движе-ния. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению (без доказательства). Критерий Рауса – Гурвица (без доказательства). Понятие о критических случаях в теории устойчивости движения.

 

5. Канонические уравнения Гамильтона. Физический смысл функции Гамильтона. Обобщенно консервативные системы. Интеграл Якоби. Время и энергия как канонически сопряженные переменные.

 

6.  Циклические координаты. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений Гамильтона  в случае существования  циклических координат.

 

7. Уравнения Рауса. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения при помощи уравнений Рауса в случае систем, имеющих циклические координаты.

 

8. Уравнения  Уиттекера и Якоби для консервативных и обобщенно  консервативных систем.

 

9. Скобки Лагранжа. Скобки Пуассона и их свойства. Скобки Пуассона и первые интегралы уравнений Гамильтона. Теорема Якоби-Пуассона.

 

10. Понятие канонического преобразования. Симплектичность (или обобщенная симплектичность) матрицы Якоби преобразования – необходимое и достаточное условие его каноничности. Критерии каноничности преобразования, выраженные через скобки Лагранжа и скобки Пуассона.

   

11. Канонические преобразования и процесс движения. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Свободное каноническое преобразование  и его производящая функция.

Преобразование функции Гамильтона при каноническом преобразовании.

 

12. Канонические преобразования с производящей функцией, зависящей от старых координат и новых импульсов. Канонические преобразования, близкие к тождественным и их применение в теории возмущений (на примере маятника, точка подвеса которого совершает периодические вертикальные вибрации).

 

13. Понятие о параметрическом резонансе в гамильтоновой системе с одной степенью свободы (на примере уравнения Матье).

 

14. Уравнение Гамильтона – Якоби. Полный интеграл. Теорема Якоби.

 

15. Разделение переменных в уравнении Гамильтона – Якоби. Примеры.

 

 16. Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновой системы в квадратурах.

 

 17. Понятие интегрального инварианта. Теорема об универсальном интегральном инварианте Пуанкаре и ее обращение. Теорема  Ли Хуачжуна о единственности интегрального инварианта Пуанкаре (без доказательства).

 

 18. Теорема об интегральном инварианте Пуанкаре – Картана и ее обращение.

 

 19. Прямой и окольный пути голономной  системы, принцип Гамильтона – Остроградского. Принцип Гамильтона – Остроградского в случае потенциального поля сил. Действие по Гамильтону, понятие о характере экстремума действия по Гамильтону.

 

 20. Ковариантность уравнений Лагранжа второго рода в общем случае, когда производится замена и обобщенных координат, и времени.

 

 21. Теорема Э.Нетер. Примеры.

 

  22. Теорема Э.Нетер. Связь законов сохранения (первых интегралов) со свойствами пространства и времени.

 

  23. Принцип Мопертюи – Лагранжа. Действие по Лагранжу. Понятие о характере экстремума действия по Лагранжу. Сопоставление оптического принципа Ферма и принципа Мопертюи – Лагранжа.

 

   

 

 


 

 



Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика