© 2001-2019 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Противодействие коррупции | Сведения о доходах
Использование новостных материалов сайта возможно только при наличии активной ссылки на https://mipt.ru
Билеты к экзамену по аналитической механике ФУПМ
Осенний семестр
1. Аксиомы классической механики (законы Ньютона). Преобразования Галилея. Понятие об инвариантности и ковариантности уравнений механики.
2. Кинематика точки. Проекция скорости и ускорения точки на оси сопровождающего трехгранника.
3. Криволинейные координаты точки. Разложение скорости и ускорения в локальном базисе криволинейной системы координат. Второй закон Ньютона в общековариантной форме (уравнения Лагранжа для свободной материальной точки).
4. Способы задания ориентации твердого тела: углы Эйлера, направляющие косинусы.
5. Теорема Эйлера о конечном повороте. Алгебра кватернионов. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела.
6. Формулы сложения поворотов твердого тела в кватернионах. Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона).
7. Угловая скорость твердого тела .Формула Эйлера для распределения скоростей в твердом теле. Формула Ривальса для распределения ускорений в твердом теле.
8. Кинематика сложного движения. Законы сложения скоростей и ускорений точек в сложном движении. Формула Кориолиса.
9. Формулы для угловой скорости и углового ускорения тела в сложном движении.
10. Кинематические уравнения Эйлера.
11. Теоремы об изменении импульса и момента импульса системы материальных точек в инерциальном базисе.
12. Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кёнига.
13. Работа и мощность силы. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек в инерциальном базисе. Потенциальное поле. Теорема об изменении полной энергии. Случай консервативной системы.
14. Движение материальной точки в центральном поле. Первые интегралы. Компланарность орбиты. Уравнение Бине. Случай ньютоновского гравитационного поля.
15. Задача двух тел. Законы Кеплера.
16. Cилы инерции. Применение основных теорем динамики в неинерциальных системах отсчета.
17. Геометрия масс твёрдого тела: тензор инерции и эллипсоид инерции, главные оси инерции, теорема Гюйгенса-Штейнера для тензора инерции.
18. Формулы для кинетической энергии и кинетического момента твёрдого тела.
19. Динамические уравнения Эйлера твёрдого тела с неподвижной точкой.
20. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера). Первые интегралы уравнений движения. Геометрические интерпретации Пуансо и Мак-Куллага.
21. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Параметры свободной регулярной прецессии.
22. Момент, поддерживающий вынужденную регулярную прецессию динамически симметричного тела с неподвижной точкой. Основная формула гироскопии. Приближенная формула гироскопии. Прецессионная теория гироскопа.
23. Случай Лагранжа. Первые интегралы уравнений движения.
24. Механические связи и их классификация. Число степеней свободы системы. Возможные и виртуальные перемещения. Общее уравнение динамики для системы материальных точек с идеальными связями.
25. Вывод уравнений Лагранжа для системы материальных точек с голономными связями.
26. Подсчет обобщенных сил. Случай, когда обобщенные силы потенциальны.
27. Свойства уравнений Лагранжа: структура кинетической энергии, разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных.
28. Первые интегралы лагранжевых систем: циклические интегралы; обобщенный интеграл энергии (интеграл Пенлеве-Якоби).
Весенний семестр
1. Положения равновесия. Принцип виртуальных перемещений. Условия равновесия голономной системы в терминах обобщенных сил. Случай потенциальных сил.
2. Устойчивость. Прямой метод Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости равновесия стационарной системы. Теорема Четаева о неустойчивости.
3. Теорема Красовского об устойчивости и неустойчивости равновесия.
4. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной системы. 1-я теорема Ляпунова о неустойчивости равновесия консервативной системы.
5. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость (теоремы Кельвина–Четаева)
6. Асимптотическая устойчивость. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.
7. Критерий Рауса–Гурвица асимптотической устойчивости линейных систем.
8. Малые колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия.
9. Главные (нормальные) координаты консервативной системы.
10. Вынужденные колебания линейных систем под действием гармонической вынуждающей силы. Частотные характеристики.
11. Канонические уравнения Гамильтона. Переход от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона при помощи преобразования Лежандра. Теорема Донкина. Физический смысл функции Гамильтона в случае консервативной системы.
12. Первые интегралы уравнений движения гамильтоновых систем. Циклические координаты. Обобщённо консервативные системы. Теорема Якоби–Пуассона.
13. Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат. Уравнения Рауса.
14. Понижение порядка уравнений Гамильтона для обобщенно консервативных систем. Уравнения Уиттекера.
15. Действие по Гамильтону. Вариационный принцип Гамильтона.
16. Изменение функции Лагранжа при замене координат и времени. Теорема Нетер.
17. Общая формула для вариации действия по Гамильтону.
18. Изменение функции Гамильтона при каноническом преобразовании.
19. Критерий каноничности преобразований в терминах производящих функций.
20. Фазовый поток гамильтоновых систем как семейство унивалентных канонических преобразований.
21. Свободные канонические преобразования. Задание свободных канонических преобразований с помощью производящих функций.
22. Преобразования функции Гамильтона при канонических преобразованиях.
23. Уравнение Гамильтона–Якоби.
24. Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби и его использование для интегрирования уравнений движения гамильтоновых систем.
25. Случаи разделения переменных в уравнении Гамильтона–Якоби.
26. Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре–Картана гамильтоновых систем.
27. Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуа-чжуна об универсальных интегральных инвариантах гамильтоновых систем.
28. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.
2. Устойчивость. Прямой метод Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости равновесия стационарной системы. Теорема Четаева о неустойчивости.
3. Теорема Красовского об устойчивости и неустойчивости равновесия.
4. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной системы. 1-я теорема Ляпунова о неустойчивости равновесия консервативной системы.
5. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость (теоремы Кельвина–Четаева)
6. Асимптотическая устойчивость. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.
7. Критерий Рауса–Гурвица асимптотической устойчивости линейных систем.
8. Малые колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия.
9. Главные (нормальные) координаты консервативной системы.
10. Вынужденные колебания линейных систем под действием гармонической вынуждающей силы. Частотные характеристики.
11. Канонические уравнения Гамильтона. Переход от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона при помощи преобразования Лежандра. Теорема Донкина. Физический смысл функции Гамильтона в случае консервативной системы.
12. Первые интегралы уравнений движения гамильтоновых систем. Циклические координаты. Обобщённо консервативные системы. Теорема Якоби–Пуассона.
13. Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат. Уравнения Рауса.
14. Понижение порядка уравнений Гамильтона для обобщенно консервативных систем. Уравнения Уиттекера.
15. Действие по Гамильтону. Вариационный принцип Гамильтона.
16. Изменение функции Лагранжа при замене координат и времени. Теорема Нетер.
17. Общая формула для вариации действия по Гамильтону.
18. Изменение функции Гамильтона при каноническом преобразовании.
19. Критерий каноничности преобразований в терминах производящих функций.
20. Фазовый поток гамильтоновых систем как семейство унивалентных канонических преобразований.
21. Свободные канонические преобразования. Задание свободных канонических преобразований с помощью производящих функций.
22. Преобразования функции Гамильтона при канонических преобразованиях.
23. Уравнение Гамильтона–Якоби.
24. Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби и его использование для интегрирования уравнений движения гамильтоновых систем.
25. Случаи разделения переменных в уравнении Гамильтона–Якоби.
26. Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре–Картана гамильтоновых систем.
27. Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуа-чжуна об универсальных интегральных инвариантах гамильтоновых систем.
28. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.
