© 2001-2018 Московский физико-технический институт (государственный университет)
Билеты к экзамену по аналитической механике ФУПМ
Осенний семестр
1. Аксиомы классической механики (законы Ньютона). Преобразования Галилея. Понятие об инвариантности и ковариантности уравнений механики.
2. Кинематика точки. Проекция скорости и ускорения точки на оси сопровождающего трехгранника.
3. Криволинейные координаты точки. Разложение скорости и ускорения в локальном базисе криволинейной системы координат. Второй закон Ньютона в общековариантной форме (уравнения Лагранжа для свободной материальной точки).
4. Способы задания ориентации твердого тела: углы Эйлера, направляющие косинусы.
5. Теорема Эйлера о конечном повороте. Алгебра кватернионов. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела.
6. Формулы сложения поворотов твердого тела в кватернионах. Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона).
7. Угловая скорость твердого тела .Формула Эйлера для распределения скоростей в твердом теле. Формула Ривальса для распределения ускорений в твердом теле.
8. Кинематика сложного движения. Законы сложения скоростей и ускорений точек в сложном движении. Формула Кориолиса.
9. Формулы для угловой скорости и углового ускорения тела в сложном движении.
10. Кинематические уравнения Эйлера.
11. Теоремы об изменении импульса и момента импульса системы материальных точек в инерциальном базисе.
12. Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кёнига.
13. Работа и мощность силы. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек в инерциальном базисе. Потенциальное поле. Теорема об изменении полной энергии. Случай консервативной системы.
14. Движение материальной точки в центральном поле. Первые интегралы. Компланарность орбиты. Уравнение Бине. Случай ньютоновского гравитационного поля.
15. Задача двух тел. Законы Кеплера.
16. Cилы инерции. Применение основных теорем динамики в неинерциальных системах отсчета.
17. Геометрия масс твёрдого тела: тензор инерции и эллипсоид инерции, главные оси инерции, теорема Гюйгенса-Штейнера для тензора инерции.
18. Формулы для кинетической энергии и кинетического момента твёрдого тела.
19. Динамические уравнения Эйлера твёрдого тела с неподвижной точкой.
20. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера). Первые интегралы уравнений движения. Геометрические интерпретации Пуансо и Мак-Куллага.
21. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Параметры свободной регулярной прецессии.
22. Момент, поддерживающий вынужденную регулярную прецессию динамически симметричного тела с неподвижной точкой. Основная формула гироскопии. Приближенная формула гироскопии. Прецессионная теория гироскопа.
23. Случай Лагранжа. Первые интегралы уравнений движения.
24. Механические связи и их классификация. Число степеней свободы системы. Возможные и виртуальные перемещения. Общее уравнение динамики для системы материальных точек с идеальными связями.
25. Вывод уравнений Лагранжа для системы материальных точек с голономными связями.
26. Подсчет обобщенных сил. Случай, когда обобщенные силы потенциальны.
27. Свойства уравнений Лагранжа: структура кинетической энергии, разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных.
28. Первые интегралы лагранжевых систем: циклические интегралы; обобщенный интеграл энергии (интеграл Пенлеве-Якоби).
Весенний семестр
1. Положения равновесия. Принцип виртуальных перемещений. Условия равновесия голономной системы в терминах обобщенных сил. Случай потенциальных сил.
2. Устойчивость. Прямой метод Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости равновесия стационарной системы. Теорема Четаева о неустойчивости.
3. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной системы. 1-я теорема Ляпунова о неустойчивости равновесия консервативной системы.
4. Асимптотическая устойчивость. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.
5. Критерий Рауса–Гурвица асимптотической устойчивости линейных систем.
6. Малые колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия.
7. Главные (нормальные ) координаты консервативной системы.
8. Вынужденные колебания линейных систем под действием гармонической вынуждающей силы. Частотные характеристики.
9. Канонические уравнения Гамильтона. Переход от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона при помощи преобразования Лежандра. Физический смысл функции Гамильтона в случае консервативной системы.
10. Первые интегралы уравнений движения гамильтоновых систем. Циклические координаты. Обобщённо консервативные системы. Теорема Якоби–Пуассона.
11. Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат.
12. Понижение порядка уравнений Гамильтона для обобщенно консервативных систем. Уравнения Уиттекера.
13. Действие по Гамильтону. Вариационный принцип Гамильтона.
14. Канонические преобразования. Локальный критерий каноничности.
15. Критерий каноничности преобразований в терминах производящих функций.
16. Фазовый поток гамильтоновых систем как семейство унивалентных канонических преобразований.
17. Свободные канонические преобразования. Задание свободных канонических преобразований с помощью производящих функций.
18. Преобразования функции Гамильтона при канонических преобразованиях.
19. Уравнение Гамильтона–Якоби.
20. Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби и его использование для интегрирования уравнений движения гамильтоновых систем.
21. Случаи разделения переменных в уравнении Гамильтона–Якоби.
22. Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре-Картана гамильтоновых систем.
23. Обратные теоремы теории интегральных инвариантов.
24. Теорема Ли Хуа-чжуна об универсальных интегральных инвариантах гамильтоновых систем.
25. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.
