Адрес e-mail:

Билеты к экзамену по теоретической механике ФРТК

Осенний семестр


1. Кинематика точки. Проекции скорости и ускорения точки в декартовых координатах и на оси сопровождающего трехгранника Френе.
2. Криволинейные координаты точки. Составляющие скорости и проекции ускорения точки на оси локального базиса.
3. Углы Эйлера. Совмещение двух произвольных положений твердого тела с неподвижной точкой поворотами на углы Эйлера.
4. Ортогональные матрица и их свойства (свойства собственных чисел и векторов – без доказательства).
5. Собственные числа и векторы ортогональных матриц.
6. Теорема Эйлера о конечном повороте. Вектор Эйлера.
7. Выражение ортогональной матрицы через вектор Эйлера. Оператор малого поворота.
8. Сложение поворотов в ортогональных матрицах.
9. Алгебра кватернионов.
10. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела (присоединенное отображение).
11. Формулы сложения поворотов твердого тела в кватернионах. Параметры Родрига-Гамильтона.
12. Угловая скорость и угловое ускорение твёрдого тела.
13. Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона) в проекциях на неподвижные и связанные оси.
14. Распределение скоростей и ускорений точек твердого тела.
15. Кинематика сложного движения точки. Вычисление абсолютных скоростей и ускорений в сложном движении.
16. Кинематика сложного движения тела. Вычисление абсолютных угловых скоростей и угловых ускорений.
17. Кинематические уравнения Пуассона для ортогональных матриц.
18. Кинематические уравнения Эйлера.
19. Приведение распределения скоростей в твёрдом теле к кинематическому винту.
20. Импульс, кинетический момент и кинетическая энергия системы. Теорема Кёнига и формула переноса полюса.
21. Теоремы об изменении импульса, момента импульса и кинетической энергии. Теорема о движении центра масс.
22. Работа силы, классификация сил, теорема о сохранении полной механической энергии.
23. Движение точки в центральном поле. Уравнение Бине.
24. Движение точки в центральном поле. Законы Кеплера.
25. Задача двух тел.
26. Применение основных теорем и законов механики в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции.
27. Тензор и эллипсоид инерции. Их преобразования при переносе и повороте системы координат.
28. Вычисление кинетической энергии и кинетического момента твердого тела.
29. Динамические уравнения Эйлера твердого тела с неподвижной точкой.
30. Случай Эйлера в динамике твердого тела с неподвижной точкой. Интерпретация Мак-Куллага.
31. Случай Эйлера в динамике твердого тела с неподвижной точкой.  Интегрирование уравнений движения в квадратурах.
32. Случай Эйлера в динамике твердого тела с неподвижной точкой. Интерпретация Пуансо.
33. Регулярная прецессия в случае Эйлера. Выражения для угловых скоростей прецессии, собственного вращения и угла нутации через начальные условия.
34. Момент, поддерживающий регулярную прецессию твердого тела с неподвижной точкой при наличии динамической симметрии.
35. Случай Лагранжа в динамике твердого тела с неподвижной точкой. Интегралы движения, интегрирование уравнений движения в квадратурах. Качественный характер движения.
36. Регулярная прецессия в случае Лагранжа. Быстрая и медленная прецессия.
37. Механические связи. Классификация связей, возможные и виртуальные перемещения. Число степеней свободы системы голономной системы.
38. Гипотеза идеальности связей и основное уравнение динамики.
39. Вывод уравнений Лагранжа.
40. Вычисление обобщенных сил.
41. Потенциальные и обобщенно-потенциальные обобщенные силы. Лагранжиан системы. Ковариантность уравнений Лагранжа при замене координат.
42. Подходы к составлению уравнений Лагранжа в неинерциальных системах отсчета.
43. Структура кинетической энергии как функции обобщённых координат и скоростей.
44. Теорема о разрешимости уравнений Лагранжа относительно старших производных. Приведение уравнений Лагранжа к нормальной форме Коши.
45. Первые интегралы лагранжевых систем: циклические координаты и интеграл Пенлеве-Якоби.


Весенний семестр


1. Понятие положения равновесия. Критерий положения равновесия стационарной системы в терминах обобщенных сил. Случай потенциальных сил. Принцип  виртуальных перемещений.
2. Теорема  Лагранжа-Дирихле  об  устойчивости положения равновесия консервативной  системы. Теоремы Ляпунова и Четаева о неустойчивости положения равновесия консервативной системы (без доказательства).
3. Влияние дополнительных гироскопических и диссипативных сил на устойчивость консервативной системы. Обобщение теоремы Лагранжа-Дирихле при действии диссипативных сил с полной диссипацией.
4. Теорема Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по линейному приближению. 
5. Необходимые условия устойчивости полинома. Критерий Рауса-Гурвица (без доказательства).
6. Теоремы Ляпунова об устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости второго метода Ляпунова.
7. Теорема Четаева о неустойчивости.
8. Теорема Барбашина-Красовского.
9. Понятия о бифуркациях, дивергенции и флаттере. 
10. Малые колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Использование симметрии системы для нахождения мод колебаний.
11. Свойства амплитудных векторов в задаче о малых колебаниях консервативной системы, главные (нормальные) координаты.
12. Действие внешней силы на линейную систему, движущуюся вблизи положения равновесия. Частотные характеристики.
13. Канонические уравнения  Гамильтона.  Физический смысл функции Гамильтона консервативной системы.
14. Первые интегралы уравнений движения. Критерий первого интеграла, скобки Пуассона и их свойства.
15. Понижение порядка гамильтоновой системы при наличии первых интегралов. Уравнения Уиттекера.
16. Теорема Якоби-Пуассона.
17. Действие по Гамильтону. Вариация действия по Гамильтону в задаче с подвижными концами.
18. Принцип Гамильтона. Вариация действия по Гамильтону в задаче с закрепленными концами.
19. Ковариантность уравнений Лагранжа при замене координат и времени.
20. Теорема Э. Нетер.
21. Интегральные инварианты Пуанкаре-Картана и Пуанкаре.
22. Обратные теоремы  теории  интегральных  инвариантов.
23. Теорема Ли-Хуачжуна о множестве интегральных инвариантов первого порядка 
24. Теорема Лиувилля: инвариантность фазового объема в системах с нулевой дивергенцией. Сохранение фазового объема в гамильтоновых системах.
25. Канонические преобразования. Критерий каноничности преобразований.
26. Свободные канонические преобразования и другие варианты выбора независимых переменных.
27. Преобразования функции Гамильтона при канонических преобразованиях.
28. Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Разделение переменных.



Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2022 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Противодействие коррупции | Сведения о доходах

Политика обработки персональных данных МФТИ

Техподдержка сайта | API

Использование новостных материалов сайта возможно только при наличии активной ссылки на https://mipt.ru

МФТИ в социальных сетях