Адрес e-mail:

Билеты к экзамену по теоретической механике ФРТК

Осенний семестр


1. Кинематика точки. Проекции скорости и ускорения точки в декартовых координатах и на оси сопровождающего трехгранника Френе.

2. Криволинейные координаты точки. Составляющие скорости и проекции ускорения точки на оси локального базиса.

3. Углы Эйлера. Совмещение двух произвольных положений твердого тела с неподвижной точкой поворотами на углы Эйлера.

4. Ортогональные матрица и их свойства (свойства собственных чисел и векторов без доказательства).

5. Теорема Эйлера о конечном повороте. Вектор Эйлера.

6. Выражение ортогональной матрицы через вектор Эйлера. Оператор малого поворота.

7. Сложение поворотов в ортогональных матрицах.

8. Алгебра кватернионов.

9. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела (присоединенное отображение).

10. Формулы сложения поворотов твердого тела в кватернионах. Параметры Родрига-Гамильтона.

11. Угловая скорость и угловое ускорение твёрдого тела.

12. Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона) в проекциях на неподвижные и связанные оси.

13. Распределение скоростей и ускорений точек твердого тела.

14. Кинематика сложного движения точки. Вычисление абсолютных скоростей и ускорений в сложном движении.

15. Кинематика сложного движения тела. Вычисление абсолютных угловых скоростей и угловых ускорений.

16. Кинематические уравнения Пуассона для ортогональных матриц.

17. Кинематические уравнения Эйлера.

18. Приведение распределения скоростей в твёрдом теле к кинематическому винту.

19. Импульс, кинетический момент и кинетическая энергия системы. Теорема Кёнига и формула переноса полюса.

20. Теоремы об изменении импульса, момента импульса и кинетической энергии. Теорема о движении центра масс.

21. Работа силы, классификация сил, теорема о сохранении полной механической энергии.

22. Движение точки в центральном поле. Уравнение Бине.

23. Движение точки в центральном поле. Законы Кеплера.

24. Задача двух тел.

25. Применение основных теорем и законов механики в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции.

26. Тензор и эллипсоид инерции. Их преобразования при переносе и повороте системы координат.

27. Вычисление кинетической энергии и момента количества движения твердого тела.

28. Динамические уравнения Эйлера твердого тела с неподвижной точкой.

29. Случай Эйлера в динамике твердого тела с неподвижной точкой. Интерпретация Мак-Куллага.

30. Случай Эйлера в динамике твердого тела с неподвижной точкой.  Интегрирование уравнений движения в квадратурах.

31. Случай Эйлера в динамике твердого тела с неподвижной точкой. Интерпретация Пуансо.

32. Регулярная прецессия в случае Эйлера. Выражения для угловых скоростей прецессии, собственного вращения и угла нутации через начальные условия.

33. Момент, поддерживающий регулярную прецессию твердого тела с неподвижной точкой при наличии динамической симметрии.

34. Случай Лагранжа в динамике твердого тела с неподвижной точкой. Интегралы движения, интегрирование уравнений движения в квадратурах. Качественный характер движения.

35. Регулярная прецессия в случае Лагранжа. Быстрая и медленная прецессия.

36. Механические связи. Классификация связей, возможные и виртуальные перемещения. Число степеней свободы системы.

37. Гипотеза идеальности связей и основное уравнение динамики.

38. Вывод уравнений Лагранжа.

39. Вычисление обобщенных сил.

40. Потенциальные и обобщенно-потенциальные обобщенные силы. Лагранжиан системы. Ковариантность уравнений Лагранжа при замене координат.

41. Подходы к составлению уравнений Лагранжа в неинерциальных системах отсчета.

42. Структура кинетической энергии как функции обобщённых координат и скоростей.

43. Теорема о разрешимости уравнений Лагранжа относительно старших производных. Приведение уравнений Лагранжа к нормальному виду Коши.

44. Первые интегралы лагранжевых систем: циклические координаты и интеграл Пенлеве-Якоби.


Весенний семестр


1. Понятие положения равновесия. Критерий положения равновесия стационарной системы в терминах обобщенных сил. Случай потенциальных сил. Принцип  виртуальных перемещений.

2. Теорема  Лагранжа-Дирихле  об  устойчивости положения равновесия консервативной  системы. Теоремы Ляпунова и Четаева о неустойчивости положения равновесия консервативной системы (без доказательства).

3. Влияние дополнительных гироскопических и диссипативных сил на устойчивость консервативной системы. Обобщение теоремы Лагранжа-Дирихле при действии диссипативных сил с полной диссипацией.

4. Теорема Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по линейному приближению. 

5. Необходимые условия устойчивости полинома. Критерий  Рауса-Гурвица (без доказательства).

6. Теоремы Ляпунова об устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости второго метода Ляпунова.

7. Теорема Четаева о неустойчивости.

8. Теорема Барбашина-Красовского.

9. Понятия о бифуркациях, дивергенции и флаттере. 

10. Малые колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения  равновесия. Использование симметрии системы для нахождения мод колебаний.

11. Свойства амплитудных векторов в задаче о малых колебаниях консервативной системы, главные (нормальные) координаты.

12. Действие внешней силы на линейную систему, движущуюся вблизи положения равновесия. Частотные характеристики.

13. Канонические  уравнения  Гамильтона.  Физический смысл функции Гамильтона в случае консервативной системы.

14. Первые интегралы уравнений движения. Критерий первого интеграла, скобки Пуассона и их свойства.

15. Понижение порядка гамильтоновой системы при наличии первых интегралов. Уравнения Уиттекера.

16. Циклические координаты. Обобщённо консервативные системы. Теорема Якоби-Пуассона.

17. Действие по Гамильтону. Вариация  действия по Гамильтону в задаче с подвижными концами.

18. Принцип Гамильтона. Вариация действия по Гамильтону в задаче с закрепленными концами.

19. Ковариантность уравнений Лагранжа при замене координат и времени.

20. Теорема Э. Нетер.

21. Интегральные  инварианты Пуанкаре-Картана и Пуанкаре.

22. Обратные  теоремы  теории  интегральных  инвариантов.

23. Теорема Ли-Хуачжуна о множестве интегральных инвариантов первого порядка (без доказательства).

24. Теорема Лиувилля: инвариантность фазового объема в системах с нулевой дивергенцией. Сохранение фазового объема в гамильтоновых системах.

25. Канонические преобразования. Критерий каноничности преобразований.

26. Свободные канонические преобразования.

27. Преобразования функции Гамильтона при канонических преобразованиях.

28. Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Разделение переменных.


Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях