Адрес e-mail:

Билеты к экзамену по аналитической механике ФОПФ

Осенний семестр


1. Скорость и ускорение точки. Естественный трехгранник. Разложение ускорения точки на тангенциальное и нормальное. Криволинейные координаты. Основной и взаимный базисы. Коэффициенты Ламе. Ковариантные и контравариантные компоненты вектора скорости точки в криволинейных координатах.


2. Задание движения твердого тела. Углы Эйлера. Теорема Эйлера о конечном перемещении твердого тела, имеющего неподвижную точку.


3. Скорости и ускорения точек твердого тела в общем случае его движения. Угловая скорость. Угловое ускорение. Частные случаи: вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, вращение вокруг неподвижной точки. Плоское движение твердого тела. Мгновенный центр скоростей.


4. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки.


5. Сложение мгновенных вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей. Пара вращений.


6. Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось. Общий случай сложения нескольких мгновенных движений твердого тела. Приведение общего случая к случаям простейших мгновенных движений.


7. Свободные и несвободные системы. Связи, их классификация. Системы голономные и неголономные. Действительные и виртуальные перемещения. Число степеней свободы системы. Идеальные связи. Выражение реакций идеальных связей при помощи их уравнений и неопределенных множителей Лагранжа.


8. Элементарная работа сил системы. Работа сил, приложенных к твердому телу. Силовое поле. Силовая функция. Потенциальная энергия. Элементарная работа сил системы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их вычисление.


9. Центр масс (центр инерции) системы. Понятие о движении системы относительно центра масс, кениговы системы координат. Количество движения. Теорема об изменении количества движения системы в инерциальной системе отсчета. Теорема о движении центра масс.


10. Тензор и эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси или вокруг неподвижной точки. Кинетическая энергия твердого тела в частных случаях: поступательного движения, вращения вокруг неподвижной оси, вращения вокруг неподвижной точки, произвольного свободного движения, плоского движения.


11. Момент количества движения (кинетический момент) относительно заданного центра. Соотношение между его значениями для различных центров. Теорема Кенига о вычислении кинетического момента. Теорема об изменении кинетического момента в инерциальной системе отсчета.


12. Кинетическая энергия системы, теорема Кенига о вычислении кинетической энергии. Теорема об изменении кинетической энергии в инерциальной системе отсчета. Вириал, теорема о вириале.


13. Основные теоремы динамики в неинерциальной системе отсчета. Переносная и кориолисова силы инерции. Основные теоремы динамики для движения относительно центра масс.


14. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Уравнения плоского движения твердого тела.


15. Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера. Случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки: первые интегралы динамических уравнений, перманентные вращения, геометрическая интерпретация Пуансо.


16. Регулярная прецессия твердого тела в случае Эйлера. Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела, основная формула гироскопии. Понятие об элементарной теории гироскопов.


17. Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Дифференциальные уравнения Эйлера–Пуассона и их первые интегралы. Понятие о случаях интегрируемости Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.


18. Анализ движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случае Лагранжа.


19. Движение свободной материальной точки под действием центральных сил: закон площадей, формулы Бине.


20. Задача двух тел. Уравнения движения. Интеграл площадей, второй закон Кеплера. Интеграл энергии. Интеграл Лапласа.


21. Задача двух тел. Уравнение орбиты, первый закон Кеплера. Зависимость характера орбиты от величины начальной скорости. Третий закон Кеплера.


22. Сплошная среда. Объёмные и поверхностные силы. Напряжения. Тензор напряжений.


23. Задание положения и движения сплошной среды. Переменные Лагранжа и Эйлера. Перемещения, скорости и ускорения точек сплошной среды в переменных Лагранжа. Ускорения точек среды в переменных Эйлера.


24. Бесконечно малое перемещение элементарного объема сплошной среды. Теорема Гельмгольца. Тензоры деформаций и скоростей деформаций.


25. Уравнения динамики сплошной среды. Уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости. Уравнения Навье–Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости.


26. Уравнения Лагранжа первого рода.


27. Принцип Даламбера–Лагранжа (общее уравнение динамики) — необходимое и достаточное условие, выделяющее действительные движения системы из ее кинематически возможных движений.


28. Принцип виртуальных перемещений (общее уравнение статики) — необходимое и достаточное условие равновесия системы с идеальными удерживающими связями.


29. Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах. Принцип виртуальных перемещений в случае потенциального поля сил.


30. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения). Физический смысл принципа Гаусса. Экстремальное свойство реакций связей. Принцип прямейшего пути Герца.


31. Общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Уравнения Лагранжа второго рода.


32. Уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно обобщенных ускорений.


33. Теорема об изменении полной механической энергии голономной системы. Случай консервативной системы. Гироскопические силы. Диссипативные силы, функция Релея.


34. Обобщенный потенциал. Натуральные и ненатуральные системы. Первые интегралы лагранжевых систем.


35. Интеграл Якоби. Уравнения Якоби.


36. Принцип Гамильтона–Остроградского: прямой и окольный пути голономной системы, принцип Гамильтона–Остроградского, случай потенциального поля. Действие по Гамильтону, понятие о характере экстремума действия по Гамильтону.


37. Ковариантность уравнений Лагранжа второго рода в общем случае, когда производится замена и обобщенных координат, и времени.


38. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы. 

39. Теоремы Ляпунова об обращении теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы.


40. Изоэнергетическое варьирование, принцип Мопертюи–Лагранжа, понятие о характере экстремума действия по Лагранжу.


41. Принцип Якоби и геодезические линии в координатном пространстве. Сопоставление оптического принципа Ферма и принципа Мопертюи–Лагранжа.


Весенний семестр


1. Понятие об устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости движения. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению для установившихся движений. Критерий Рауса-Гурвица. Понятие о критических случаях в теории устойчивости.

2. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы. Теоремы Ляпунова об обращении теоремы Лагранжа.

3. Линеаризация уравнений движения консервативной системы в окрестности ее положения равновесия. Нормальные координаты и нормальные колебания.

4. Колебания консервативной системы под действием внешних периодических сил. Резонанс в вынужденных колебаниях. Влияние внешних периодических сил на малые колебания склерономной системы.

5. Классификация особых точек на плоскости. Предельные циклы. Понятие об автоколебаниях.

6. Фазовая плоскость консервативной системы с одной степенью свободы. Равновесия, периодические движения, сепаратрисы.

7. Элементы теории бифуркаций: бифуркации «смена устойчивости» и «седло–узел», бифуркация «вилки».

8. Элементы теории бифуркаций: бифуркация Андронова–Хопфа рождения (исчезновения) цикла.

9. Понятие о методе нормальных форм в теории нелинейных колебаний.

10. Понятие о методе усреднения. Построение первого приближения по малому параметру для дифференциальных уравнений в стандартной форме.

11. Канонические уравнения Гамильтона. Физический смысл функции Гамильтона. Обобщенно консервативные системы. Интеграл Якоби.

12. Уравнения Уиттекера для консервативных и обобщенно консервативных систем. Время и энергия как канонически сопряженные переменные.

13. Уравнения Рауса. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения при помощи уравнений Рауса в случае существования циклических координат. Приведенный потенциал.

14. Скобки Лагранжа. Скобки Пуассона и их свойства. Скобки Пуассона и первые интегралы. Теорема Якоби–Пуассона.

15. Понятие канонического преобразования. Симплектичность (или обобщенная симплектичность) матрицы Якоби преобразования – необходимое и достаточное условие его каноничности. Критерии каноничности преобразования, выраженные через скобки Лагранжа, скобки Пуассона и посредством дифференциальной формы.

16. Канонические преобразования и процесс движения. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Инвариантность скобок Пуассона при канонических преобразованиях.

17. Свободное каноническое преобразование и его производящая функция. Каноническое преобразование с производящей функцией, зависящей от старых координат и новых импульсов. Получение новой функции Гамильтона при каноническом преобразовании.

18. Уравнение Гамильтона–Якоби. Полный интеграл. Теорема Якоби.

19. Разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби. Примеры.

20. Переменные действие–угол для системы с одной степенью свободы. Понятие о переменных действие–угол для систем с несколькими степенями свободы.

21. Понятие интегрируемости гамильтоновых систем. Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновых систем в квадратурах. Представление движения на инвариантных торах.

22. Классическая теория возмущений. Нерезонансный и резонансный случаи в теории возмущений. Проблема малых знаменателей.

23. Преобразование Биркгофа.

24. Канонические преобразования, близкие к тождественным и их применение в теории возмущений (на примере маятника, точка подвеса которого совершает периодические вертикальные вибрации).

25. Параметрический резонанс в гамильтоновой системе с одной степенью свободы (на примере уравнения Матье).

26. Понятие адиабатического инварианта. Теорема Арнольда о вечном сохранении адиабатического инварианта в периодической по времени гамильтоновой системе с одной степенью свободы (без доказательства).

27. Понятие интегрального инварианта. Теорема об универсальном интегральном инварианте Пуанкаре и ее обращение. Теорема Ли Хуа-чжуна о единственности интегрального инварианта Пуанкаре (без доказательства).

28. Теорема об интегральном инварианте Пуанкаре–Картана и ее обращение.

29. Регулярные и хаотические аттракторы. Детерминированный хаос. Метод поверхностей сечения Пуанкаре. Понятие о фрактале и фрактальной размерности множеств.

30. Логистическое (квадратичное) отображение. Сценарий перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Универсальности Фейгенбаума.

31. Интегрируемые системы Гамильтона. Понятие об их невырожденности и изоэнергетической невырожденности.

32. Формулировка основной теоремы КАМ-теории (теории Колмогорова–Арнольда–Мозера) для гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. Понятие о механизме разрушения инвариантных торов.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях