Адрес e-mail:

Билеты к экзамену по теоретической механике ФМХФ, ФФКЭ

Осенний семестр


1. Кинематика точки. Закон движения, траектория, скорость и ускорение точки. Скорость и ускорение при движении точки по окружности. Скорость и ускорение точки в полярных координатах.
2. Движение точки по кривой. Сопровождающий трехгранник. Проекции скорости и ускорения на оси сопровождающего трёхгранника. Выражение кривизны траектории точки  через ее скорость и ускорение.
3. Криволинейные координаты. Разложение скорости и ускорения в локальном базисе криволинейной системы координат.
4. Матрица направляющих косинусов. Угловая скорость и угловое ускорение  подвижного базиса. Формулы Пуассона.
5. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела. Распределение скоростей в твердом теле (формула Эйлера). Распределение ускорений в твердом теле (формула Ривальса). Вращательное и осестремительное ускорения.
6. Распределение скоростей и ускорений при поступательном движении твердого тела и при вращении вокруг неподвижной оси. Плоскопараллельное движение тела. Мгновенный центр скоростей.
7. Мгновенная ось винта при общем движении твердого тела. Мгновенная ось вращения твёрдого тела с неподвижной точкой.
8. Кинематика сложного движения материальной точки. Формулы сложения скоростей и ускорений.
9. Кинематика сложного движения твердого тела. Формулы сложения угловых скоростей и угловых ускорений.
10. Задание ориентации твердого тела углами Эйлера. Кинематические формулы Эйлера.
11. Алгебра кватернионов. Основные операции и их свойства.
12. Задание ориентации твердого тела нормированным кватернионом. Присоединенное преобразование и его свойства. 
13. Геометрический смысл присоединенного преобразования над трёхмерным векторным пространством. Теорема Эйлера о конечном повороте. Параметры Родрига-Гамильтона. Формулы сложения поворотов в кватернионной форме. 
14. Угловая скорость твердого тела и кинематические уравнения вращательного движения тела в кватернионной форме (уравнения Пуассона). Интегрирование уравнений Пуассона при вращении вокруг неподвижной оси и в случае прецессионного движения.
15. Потенциальные силы. Силовая функция и потенциальная энергия. Критерий потенциальности силового поля. Консервативные силы и критерий консервативности.
16. Импульс, кинетический момент и  кинетическая энергия системы материальных точек. Формулы Кёнига.
17. Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии системы материальных точек в инерциальной системе отсчета. Законы сохранения. 18. Движение материальной точки в центральном поле сил. Первые интегралы: энергии и площадей. Интегрирование уравнений движения и уравнение траектории (в квадратурах).
19. Движение материальной точки в центральном поле сил. Формулы Бине.
20. Движение материальной точки в центральном гравитационном поле. Классификация траекторий. Законы Кеплера. 
21. Геометрия масс твёрдого тела. Момент инерции тела относительно оси, теорема Гюйгенса-Штейнера. Тензор инерции и его преобразование  при  замене координат.  Неравенство треугольника. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. 
22. Вычисление кинетической энергии и кинетического момента твёрдого тела с неподвижной точкой и при произвольном движении.
23. Динамические уравнения Эйлера твёрдого тела с неподвижной точкой. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера). Первые интегралы. Интегрирование уравнений движения (в квадратурах). 
24. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера). Геометрические интерпретации Пуансо и Мак-Куллага. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера.
25. Случай Лагранжа. Первые интегралы. Интегрирование уравнений движения (в квадратурах). След оси динамической симметрии на сфере.
26. Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного тела с неподвижной точкой, точная формула гироскопии.
27. Механические связи и их классификация. Геометрические связи, конфигурационное пространство, число степеней свободы системы, обобщенные координаты.
28. Голономные и неголономные связи. Неголономность конька Чаплыгина.  Достаточные условия интегрируемости линейной по скоростям дифференциальной связи. 
29. Виртуальные перемещения. Идеальные связи. Принцип Даламбера-Лагранжа.
30. Обобщенные силы. Уравнения Лагранжа. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных.
31. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил, лагранжиан. Первые интегралы уравнений Лагранжа: циклический интеграл и обобщенный интеграл энергии (интеграл Пенлеве-Якоби).


Весенний семестр


1. Положения равновесия. Принцип  виртуальных перемещений. Условия равновесия голономной системы в терминах обобщенных сил. Случай потенциальных сил.

2. Основные понятия теории устойчивости. Прямой метод Ляпунова. Теорема  Ляпунова об  устойчивости  равновесия  автономной  системы.

3. Теорема  Барбашина–Красовского об  асимптотической устойчивости  равновесия  автономной  системы. Теорема  Красовского о неустойчивости  равновесия.

4. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению (без доказательства). Критерий  Рауса–Гурвица (без доказательства). Критический случай нулевого корня характеристического уравнения, точки бифуркаций, бифуркационные диаграммы. 

5. Положения равновесия натуральных лагранжевых систем. Теорема Лагранжа–Дирихле. Условия неустойчивости равновесия натуральной системы.

6. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия.

7. Линеаризация уравнений Лагранжа в окрестности положения равновесия. Главные (нормальные) координаты.

8. Уравнения малых колебаний в окрестности устойчивого положения равновесия. Вековое уравнение. Общее решение уравнения малых колебаний.

9. Влияние периодических внешних воздействий на колебания консервативных систем. Случаи резонанса в вынужденных колебаниях.

10. Вынужденные колебания линейных стационарных систем под действием гармонической вынуждающей силы.  Частотные характеристики.

11. Преобразование Лежандра и его свойства. 

12. Канонические переменные и гамильтониан механической системы. Уравнения Гамильтона. Гамильтониан натуральной системы.

13. Циклические переменные и циклический интеграл. Понижение порядка канонических уравнений при наличии циклического интеграла.

14. Обобщенно консервативные системы и интеграл Якоби. Понижение порядка канонических уравнений при наличии интеграла Якоби.

15. Скобки Пуассона и их свойства. Теорема Якоби–Пуассона.

16. Действие по Гамильтону. Вариационный принцип Гамильтона.

17. Преобразование лагранжиана при замене координат и времени. Теорема Эмми Нётер. 

18. Интегральные  инварианты Пуанкаре и Пуанкаре–Картана гамильтоновых систем.

19. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Сохранение фазового объема гамильтоновой системы.

20. Обратные  теоремы  теории  интегральных  инвариантов. Теорема Ли Хуа-чжуна об универсальных интегральных инвариантах гамильтоновых систем.

21. Канонические преобразования. Основной критерий каноничности, производящая функция и валентность канонического преобразования. 

22. Свободные и полусвободные канонические преобразования, их производящие функции. Критерии каноничности и правила преобразования гамильтонианов.

23. Уравнение Гамильтона–Якоби и его полный интеграл. Метод Якоби интегрирования уравнений движения гамильтоновых систем. 

24. Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби. Теоремы об отделении координаты и времени. Метод разделения переменных.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2020 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Противодействие коррупции | Сведения о доходах

Политика обработки персональных данных МФТИ

Техподдержка сайта | API

Использование новостных материалов сайта возможно только при наличии активной ссылки на https://mipt.ru

МФТИ в социальных сетях