Адрес e-mail:

Билеты к экзамену по теоретической механике ФИВТ (ПМФ)

Осенний семестр


1. Кинематика точки. Закон движения, траектория, скорость и ускорение точки. Скорость и ускорение при движении точки по окружности. Скорость и ускорение точки в полярных координатах.
2. Движение точки по кривой. Сопровождающий трехгранник. Проекции скорости и ускорения на оси сопровождающего трёхгранника.
3. Криволинейные координаты. Разложение скорости и ускорения в локальном базисе криволинейной системы координат.
4. Задание ориентации твердого тела с помощью матрицы направляющих косинусов. Угловая скорость и угловое ускорение  твердого тела. Формулы Пуассона.
5. Формула Эйлера для распределения скоростей в твердом теле. Формула Ривальса для распределения ускорений в твердом теле.
6. Распределение скоростей и ускорений при поступательном движении твердого тела и при вращении вокруг неподвижной оси.  Плоскопараллельное движение тела. Мгновенный центр скоростей.
7. Мгновенная ось вращения твёрдого тела с неподвижной точкой. Мгновенная ось винта при общем движении тела.
8. Кинематика сложного движения материальной точки. Формулы сложения скоростей и ускорений.
9. Кинематика сложного движения твердого тела. Формулы сложения угловых скоростей и угловых ускорений.
10. Задание ориентации твердого тела с помощью углов Эйлера. Кинематические уравнения Эйлера.
11. Алгебра кватернионов. 
12. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела. Присоединенное отображение и его свойства. Теорема Эйлера о конечном повороте.
13. Параметры Родрига-Гамильтона. Формулы сложения поворотов твердого тела в кватернионах. Кинематические уравнения вращательного движениятвердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона).
14. Потенциальные, гироскопические, диссипативные силы. Свойства внутренних сил механической системы.
15. Импульс, кинетический момент и  кинетическая энергия системы материальных точек. Формулы Кёнига.
16. Теоремы об изменении импульса и кинетического момента системы материальных точек.
17. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек. Закон сохранения полной механической энергии.
18. Движение материальной точки в центральном поле сил. Первые интегралы: энергии и площадей. Формулы Бине.
19. Движение материальной точки в центральном гравитационном поле. Траектории точки. Законы Кеплера. Задача двух тел.
20. Геометрия масс твёрдого тела. Тензор инерции и его преобразование  при  замене координат.  Эллипсоид инерции. Главные оси инерции.
21. Вычисление кинетической энергии и кинетического момента твёрдого тела.
22. Динамические уравнения Эйлера твёрдого тела с неподвижной точкой.
23. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера). Первые интегралы. Интегрирование уравнений движения.
24. Возможные и виртуальные перемещения. Геометрические интерпретации Пуансо и Мак-Куллага.
25. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Параметры свободной регулярной прецессии.
26. Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного тела с неподвижной точкой. Точная формула гироскопии.
27. Случай Лагранжа. Первые интегралы. Интегрирование уравнений движения. След оси динамической симметрии на сфере.
28. Механические связи и их классификация. Число степеней свободы системы. Возможные и виртуальные перемещения.
29. Идеальные связи. Принцип Даламбера-Лагранжа.
30. Элементарная работа сил на виртуальном перемещении системы, обобщенные силы. Случай твердого тела.
31. Уравнения Лагранжа. Случай потенциальных сил, функция Лагранжа.
32. Структура кинетической энергии системы как функции обобщенных скоростей. Свойства уравнений Лагранжа.
33. Первые интегралы уравнений Лагранжа: циклический интеграл; обобщенный интеграл энергии (интеграл Пенлеве-Якоби).


Весенний семестр


1. Положения равновесия. Принцип  виртуальных перемещений. 

2. Условия равновесия голономной системы в терминах обобщенных сил. Случай потенциальных сил.

3. Основные понятия теории устойчивости. Прямой метод Ляпунова. Теорема  Ляпунова об  устойчивости  равновесия  автономной  системы.

4. Теорема  Барбашина-Красовского об  асимптотической устойчивости  равновесия  автономной  системы. Теорема  Красовского о неустойчивости  равновесия  автономной  системы.

5. Асимптотическая устойчивость. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Критерий  Рауса–Гурвица (без доказательства).

6. Положения равновесия натуральных лагранжевых систем. Теорема Лагранжа-Дирихле. Условия неустойчивости равновесия по квадратичной части потенциальной энергии. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия.

7. Линеаризация уравнений Лагранжа в окрестности положения равновесия. Главные (нормальные ) координаты.

8. Уравнения малых колебаний в окрестности устойчивого положения равновесия. Собственные частоты. Общее решение.

9. Вынужденные колебания линейных систем под действием гармонической вынуждающей силы.  Частотные характеристики.

10. Преобразование Лежандра и его свойства. Канонические переменные. Уравнения Гамильтона. 

11. Первые интегралы уравнений Гамильтона: интеграл энергии, циклический интеграл. Понижение порядка канонических уравнений при наличии первых интегралов.

12. Скобки Пуассона и их свойства. Теорема Якоби-Пуассона.

13. Действие по Гамильтону. Вариационный принцип Гамильтона.

14. Преобразование лагранжиана при замене координат и времени. Теорема Эмми Нётер. 

15. Интегральные  инварианты Пуанкаре и Пуанкаре-Картана гамильтоновых систем.

16. Обратные  теоремы  теории  интегральных  инвариантов. Теорема Ли Хуа-чжуна об универсальных интегральных инвариантах гамильтоновых систем.

17. Канонические преобразования. Локальный критерий каноничности.

18. Фазовый поток гамильтоновых систем как семейство унивалентных канонических преобразований. Сохранение фазового объема гамильтоновой системы. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.

19. Критерий каноничности преобразований в терминах производящих функций.

20. Свободные канонические преобразования. Уравнение Гамильтона–Якоби и его полный интеграл. Метод Якоби интегрирования уравнений движения гамильтоновых систем. 

21. Нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li soc-yt
Яндекс.Метрика