© 2001-2019 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Противодействие коррупции | Сведения о доходах
Использование новостных материалов сайта возможно только при наличии активной ссылки на https://mipt.ru
Введение в тензорный анализ
Программа курса введение в тензорный анализ для студентов 2–5 курсов МФТИ
Лектор: Ханукаев Юрий Исламович
В настоящее время тензорный аппарат широко используется в некоторых разделах механики. Например, для описания состояния деформируемого элемента сплошной среды векторный аппарат оказывается недостаточным. Равновесие и кинематика элемента сплошной среды определяются соответственно тензором напряжений и тензором скоростей. В связи с этим уравнения динамики сплошной среды также носят тензорный характер. Многомерная дифференциальная геометрия, описывающая внутренние свойства многообразия, это геометрия тензоров. Все физические поля, форминвариантные относительно преобразования Лоренца, имеют кватернионную природу. Кватернионы изоморфны матрицам. Следовательно, уравнениям электродинамики и гравитодинамики можно придать матричную форму аналогичную тензорной.
Рассмотрено возникновение понятия тензор в механике твёрдого тела, линейной теории упругости, гидроаэромеханике, дифференциальной геометрии поверхностей, теории поля, общей теории относительности.
Систематическое использование диад, триад и т.д. для представления тензоров делает тензорный анализ аналогичным векторному анализу, а индексный формализм тензорного анализа естественным для восприятия.
1. Одновалентные и многовалентные тензоры
- тензор упругих напряжений;
- тензор инерции твёрдого тела;
- тензор поворота;
- инвариантные операции;
- инварианты тензора.
2. Тензорные поля
- производная по направлению;
- поток вектора через поверхность;
- расхождение вектора; теорема Гаусса;
- циркуляция вектора вдоль контура;
- вихрь вектора; теорема Стокса.
3. Оператор Гамильтона
- примеры;
- тензор скоростей деформаций;
- расхождение тензора;
- система уравнений гидромеханики;
- применение к теории упругости;
- применение к теории электромагнитного поля.
4. Криволинейные координаты
- исходный и взаимный базисы;
- метрические тензоры;
- ковариантные и контравариантные преобразования тензора;
- ковариантное и контравариантное дифференцирование тензора;
- символы Кристоффеля;
- оператор набла в ортогональных криволинейных координатах.
5. Неевклидовы геометрии
- внутренняя геометрия поверхностей, первая фундаментальная квадратичная форма;
- геодезические;
- тензорные производные;
- тензор Римана-Кристоффеля и гауссова кривизна.
6. Геометрия поверхностей
- геометрия кривых, формулы Серре-Френе;
- вторая и третья фундаментальные квадратичные формы поверхности;
- уравнения Гаусса-Кодацци;
- кривые на поверхности;
- теорема Менье;
- параллельные векторные поля;
- теоремы Гаусса и Боне.
7. Элементы общей теории относительности
- релятивистская динамика;
- принцип эквивалентности;
- решение Шварцшильда.
Литература
1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА». – М.: 1965.
2. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.: Гос. изд-во физ-мат. лит-ры. – М.: 1963.
3. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. : Изд-во «НАУКА» Главная ред. Физ-мат лит-ры. – М.: 1967.
4. Сокольников И.С. Тензорный анализ. : Изд-во «НАУКА» Главная ред. физ-мат лит-ры. – М.: 1971.
5. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. – М.: Изд-во МФТИ. 1996.
Литература (дополнительная)
6. Валландер С.В. Лекции по гидромеханике. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005.
7. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
8. Кильчевский Н.А. Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике. – М.: Гос. изд-во технико-теор. лит-ры, 1954.
9. Ламб Г. Гидродинамика.: ОГИЗ, Гос.изд-во технико-теор. лит-ры. – М.–Л.: 1947.
10. Лурье А.И. Теория упругости.: Изд-во «НАУКА», Главная ред. физ-мат лит-ры. – М.: 1970.
11. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма.: ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теор. лит-ры. – М.–Л.: 1948.
12. Шефер Клеменс. Теоретическая физика. Механика сплошных сред.: Объединённое научно-техн. изд-во НКТП СССР. Главн. ред. общетехн. лит-ры и номографии. – М.–Л.: 1936.
