© 2001-2018 Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Теория колебаний
Программа курса теория колебаний для студентов 4 курса ФАКИ
Лектор: Сидоренко Владислав Викторович
Дисциплина опирается на результаты таких дисциплин, как классическая общая алгебра, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теоретическая механика, теория функций комплексного переменного. Особенностью изучения дисциплины является частое обращение к аппарату математического анализа и других смежных математических дисциплин, использование практически важных примеров из предметной области теоретической механики, физики, электротехники, акустики.
1. Качественный анализ движения в консервативной системе с одной степенью свободы
- Метод фазовой плоскости
- Зависимость периода колебаний от амплитуды. Мягкие и жесткие системы
2. Уравнение Дюффинга
- Выражение для общего решения уравнения Дюффинга в эллиптических функциях
3. Квазилинейные системы
- Переменные Ван-дер-Поля
- Метод усреднения
4. Релаксационные колебания
- Уравнение Ван-дер-Поля
- Сингулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений
5. Динамика нелинейных автономных систем общего вида с одной степенью свободы
- Понятие «грубости» динамической системы
- Бифуркации динамических систем
6. Элементы теории Флоке
- Нормальные решения и мультипликаторы линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
- Параметрический резонанс
7. Уравнение Хилла
- Анализ поведения решений уравнения типа Хилла как иллюстрация применения теории Флоке к линейным гамильтоновым системам с периодическими коэффициентами
- Уравнение Матье как частный случай уравнения типа Хилла. Диаграмма Айнса-Стретта
8. Вынужденные колебания в системе с нелинейной восстанавливающей силой
- Связь амплитуды колебаний с величиной вынуждающей силы, прикладываемой к системе
- Изменение режима движения при изменении частоты вынуждающей силы. Понятие о «динамическом» гистерезисе
9. Адиабатические инварианты
- Переменные «действие-угол»
- Сохранение адиабатических инвариантов при качественном изменении характера движения
10. Динамика многомерных динамических систем
- Понятие об эргодичности и перемешивании в динамических системах
- Отображение Пуанкаре
11. Уравнения Лоренца. Странный аттрактор
- Уравнения Лоренца как модель термоконвекции
- Бифуркации решений уравнений Лоренца. Переход к хаосу
- Фрактальная структура странного аттрактора
12. Одномерные отображения. Универсальность Фейгенбаума
- Квадратичное отображение – простейшее нелинейное отображение
- Периодические орбиты отображений. Бифуркации периодических орбит
Литература (основная)
1. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. – М.: Наука, 1981.
2. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Изд. 2-е. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.
3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1974.
4. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1987.
5. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. – М.: Наука, 1990.
6. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры.. – М.: Физматлит, 2003.
Литература (дополнительная)
7. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. Издательство «Наука», 1988.
8. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. – М.: Иностранная литература, 1952.
9. Старжинский В.М., Прикладные методы нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1977.
10. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. – М.: Мир, 1968.
11. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Физматгиз, 1959.
