Адрес e-mail:

Теоретическая механика ФРТК, ФМХФ

Программа курса теоретическая механика для студентов факультета ФРТК, ФМХФ


Лектор: Фомичев Александр Владимирович

1. Аксиоматика классической механики
Постулаты классической механики. Инерциальные системы отсчета. Понятие силы. Законы Ньютона. Преобразования Галилея. Понятие об инвариантности и ковариантности уравнений механики.

2. Кинематика точки
Траектория, скорость, ускорение. Естественный (сопровождающий) трехгранник. Разложение скорости и ускорения в осях сопровождающего трехгранника. Криволинейные координаты точки и локальный базис. Коэффициенты Ляме. Разложение скорости и ускорения точки в локальном базисе криволинейных координат. 

3. Кинематика твердого тела (кинематика систем отсчета)
Твердое тело. Разложение движения тела на поступательное движение и вращение (движение с неподвижной точкой). Способы задания ориентации твердого тела: углы Эйлера, ортогональные матрицы и их свойства. Теорема Эйлера о конечном повороте твердого тела с неподвижной точкой. Выражение для элементов ортогональной матрицы через параметры эйлерова поворота. Сложение поворотов в матрицах. Активная и пассивная точки зрения. Вектор и оператор малого поворота. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела.
Алгебра кватернионов. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела (присоединенное отображение). Параметры Родрига–Гамильтона. Кватернионные формулы сложения поворотов. Активная и пассивная точки зрения. Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона).
Распределения скоростей и ускорений точек твердого тела (формулы Эйлера и Ривальса). Кинематический винт твердого тела. Сложное движение точки и твердого тела. Вычисление скоростей и ускорений точки при сложном движении. Вычисление угловой скорости и углового ускорения тела при сложном движении. Кинематические уравнения Эйлера. 

4. Основные теоремы динамики
Определения: центр масс, импульс (количество движения), момент импульса (кинетический момент, момент количества движения), кинетическая энергия, внешние и внутренние силы, момент силы, элементарная работа и мощность силы. Теорема Кенига. Формула переноса полюса для момента импульса. Теоремы об изменении импульса, момента импульса и кинетической энергии в инерциальных системах отсчета.
Потенциальные, гироскопические, диссипативные силы. Критерий потенциальности сил. Консервативные системы, закон сохранения энергии. Неинерциальные системы отсчета, силы инерции. Основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета. 

5. Движение материальной точки в центральном поле
Законы сохранения при движении точки в центральном поле. Уравнение Бине. Поле всемирного тяготения. Задача двух тел. Уравнение конических сечений. Законы Кеплера.

6. Динамика твердого тела
Геометрия масс. Тензор и эллипсоид инерции твердого тела. Преобразование тензора инерции при повороте и параллельном переносе осей. Теорема Гюйгенса–Штейнера для тензора инерции. Главные оси инерции. Кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела. Приведение системы сил, действующих на твердое тело к динамическому винту и его частным случаям.
Динамические уравнения Эйлера. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Случаи интегрируемости уравнений движения твердого тела с неподвижной точкой. Случай Эйлера; первые интегралы движения; геометрические интерпретации Мак-Куллага и Пуансо. Регулярная прецессия динамически симметричного тела в случае Эйлера. Дифференциальные уравнения движения тяжелого твердого тела и их первые интегралы. Случай Лагранжа; первые интегралы движения. Качественный характер движения волчка Лагранжа. Формула для момента, поддерживающего вынужденную прецессию динамически симметричного твердого тела. Прецессия в случае Лагранжа.

7. Лагранжева механика
Понятие конфигурационного многообразия механической системы. Параметризация конфигурационного многообразия – обобщенные координаты. Число степеней свободы. Понятие механической связи. Классификация связей. Виртуальные перемещения. Гипотеза идеальности связей. Общее уравнение динамики для механической системы с идеальными связями. 
Уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенные силы. Функция  Лагранжа (лагранжиан) системы в случае потенциальных сил. Уравнения  Лагранжа в неинерциальных системах отсчета.
Свойства уравнений Лагранжа: ковариантность, структура кинетической энергии, невырожденность (приведение к нормальному виду Коши). Потенциальные, гироскопические, диссипативные силы. Обобщенный потенциал. Первые интегралы лагранжевых систем: циклические интегралы, обобщенный интеграл энергии (интеграл Пенлеве–Якоби).

8. Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия
Определение положения равновесия. Условия равновесия системы с идеальными связями (принцип виртуальных перемещений) и доказательство для стационарной системы. Условия равновесия голономных стационарных систем (в терминах обобщенных сил).
Определение устойчивости по Ляпунову, асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия и траектории. Общие теоремы об устойчивости линейных систем. Устойчивость систем с постоянной матрицей. Критерий Рауса–Гурвица (без доказательства). Первый метод Ляпунова исследования устойчивости. Теорема Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по линейному приближению. 
Теоремы прямого метода Ляпунова для автономных систем: теоремы Ляпунова об устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости, теорема Четаева о неустойчивости, теорема Барбашина–Красовского об условиях асимптотической устойчивости и неустойчивости.
Теорема Лагранжа–Дирихле об устойчивости равновесия консервативных механических систем. Условия неустойчивости консервативных систем по квадратичной части потенциальной энергии. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия. Теорема об асимптотической устойчивости строго диссипативных систем.
Понятие о бифуркации. Случаи потери устойчивости для систем с потенциалом, зависящим от параметра. Два сценария потери устойчивости: дивергенция и флаттер.
Малые колебания консервативных систем вблизи устойчивого положения равновесия. Уравнение частот. Главные (нормальные) координаты. Общее решение. Случай кратных корней. Случай нулевого корня в уравнении частот.
Вынужденные колебания линейной стационарной системы под действием гармонических сил. Частотные характеристики. Явления резонанса и антирезонанса (динамическое гашение колебаний). Реакция линейной стационарной системы на негармоническое воздействие.

9. Уравнения Гамильтона, вариационные принципы, интегральные инварианты
Преобразование Лежандра. Переменные Гамильтона. Функция Гамильтона. Вывод канонических уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона для консервативной системы.
Первые интегралы гамильтоновых систем. Скобки Пуассона. Теорема Якоби–Пуассона. Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат и для обобщенно консервативных систем. Уравнения Уиттекера. 
Действие по Гамильтону. Вариация действия по Гамильтону в задаче с подвижными концами. Вариационный принцип Гамильтона. 
Преобразование лагранжиана при замене координат и времени. Основные понятия теории групп Ли: ядро, оператор и инвариант группы. Теорема Нётер.
Интегральные инварианты Пуанкаре–Картана и Пуанкаре. Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Теорема Лиувилля об инвариантности фазового объема системы с нулевой дивергенцией. Сохранение фазового объема гамильтоновой системы. Теорема Ли Хуа-чжуна об интегральных инвариантах первого порядка гамильтоновых систем.

10. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона–Якоби
Определение канонических преобразований. Критерий каноничности в терминах производящих функций. Виды производящих функций: (q,p), (q,q˜), (q,p˜) и (p,p˜)-описания. Правила преобразования гамильтонианов при канонических преобразованиях. Фазовые потоки гамильтоновых систем как однопараметрические семейства канонических преобразований. 
Уравнение Гамильтона–Якоби. Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби и его использование в задаче интегрирования уравнений движения гамильтоновой системы. Случаи разделения переменных. 

Литература
1. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – 3-е изд. – М.: Физматлит, 2001.
2. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2001; 3-е изд. – М.: Физматлит, 2008.
3. Маркеев А.П. Теоретическая механика: учебник для университетов. Изд. 3-е, исправленное – М.: Издательство «Регулярная и хаотическая динамика». 2001.
4. Амелькин Н.И. Динамика твердого тела: учеб. пособие. – 2-е издание. – М.: МФТИ, 2010.
5. Амелькин Н.И. Лагранжева и гамильтонова механика: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2014.
6. Яковенко Г.Н. Краткий курс теоретической механики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.
7. Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ, 2004.
8. Трухан Н.М. Теоретическая механика. Методика решения задач: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2010.
Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li soc-yt
Яндекс.Метрика