Адрес e-mail:

Теоретическая механика ФПФЭ, ФФКЭ

Программа курса теоретическая механика для студентов факультетов ФФПЭ, ФФКЭ


Лектор: Холостова Ольга Владимировна


Теоретическая механика является одной из фундаментальных дисциплин естественнонаучного цикла. Ее изучение  имеет определяющее значение для формирования навыков и мышления будущих инженеров и научных работников.


Теоретическая механика как раздел физики дает представление об основных законах природы. При этом она обучает построению математических моделей объектов исследования. Эти модели затем  изучаются при помощи известных математических методов, прежде всего, теории дифференциальных уравнений.  В ряде случаев математические методы специально разрабатываются для поставленных задач механики;  в этом смысле теоретическая механика является источником идей для развития ряда разделов математики и тесно с ней связана. Многие механические модели и методика их исследования обобщаются и эффективно используются в теоретической физике, применяются в химии, биологии, экономике и др.


Одной из целей настоящего курса является более глубокая проработка основных законов и методов механики, которые изучались студентами в курсе общей физики. Так, подробно изучается кинематика и, в частности, кинематика твердого тела, что необходимо при составлении уравнений движения систем различного типа, изучаемых в аналитической механике. Достаточно подробно рассматривается динамика твердого тела с неподвижной точкой, составляющая центральную часть динамики твердого тела — одного из основных объектов изучения в механике.


Совершенно новыми являются для студентов разделы аналитической механики, изучаемые в курсе. Это лагранжева и гамильтонова механика, позволяющая для достаточно широкого класса систем формализовать процедуру составления дифференциальных уравнений движения и предлагающая методы их исследования. Весьма полезными в приложениях являются разделы гамильтоновой механики, изучающие теорию канонических преобразований, а также уравнение Гамильтона — Якоби.


Рассматриваются положения равновесия системы и методы исследования их устойчивости. К последним относится теоремы прямого метода Ляпунова, а также исследование устойчивости по первому приближению. Изучаются элементы теории бифуркаций. Рассматриваются движения консервативных и диссипативных систем в окрестности положений равновесия,  вынужденные колебания системы при наличии внешних периодических и непериодических воздействий.


Важной составной частью курса является изучение вариационных принципов механики, как дифференциальных, так и интегральных (принцип Даламбера — Лагранжа, принцип виртуальных перемещений, принцип Гамильтона — Остроградского). Принципы механики позволяют исследовать общие свойства движений механических систем, а также получать различные типы уравнений аналитической механики; их обобщение играет важную роль в механике сплошных сред, термодинамике, электродинамике, квантовой механике, теории относительности и др.


За рамками данного курса остались темы, которые могут быть  предложены студентам для самостоятельного изучения или, при необходимости,  прочитаны в основной части курса. Представляют интерес динамика систем переменного состава, теория импульсивных движений. Дальнейшее развитие может получить рассмотрение теории гамильтоновых систем, включающее в себя элементы теории возмущений и элементы КАМ-теории (переменные действие — угол, теорема Арнольда — Мозера и др.)


1. Аксиоматика классической механики

Постулаты классической механики. Инерциальные системы отсчета. Понятие силы. Законы Ньютона. Преобразования Галилея. Понятие об инвариантности и ковариантности уравнений механики.


2. Кинематика точки

Траектория, скорость, ускорение. Естественный (сопровождающий) трехгранник. Разложение скорости и ускорения в осях трехгранника. Криволинейные координаты точки. Разложение скорости и ускорения точки в локальном базисе криволинейных координат. Коэффициенты Ламе. Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений.


3. Кинематика твердого тела

Твердое тело. Разложение движения тела на поступательное движение и вращение (движение с неподвижной точкой). Способы задания ориентации твердого тела: углы Эйлера, матрицы направляющих косинусов.

Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела. Распределение скоростей и ускорений в твердом теле (формулы Эйлера и Ривальса). Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси; вращение вокруг неподвижной точки, подвижный и неподвижный аксоиды. Плоскопараллельное движение твердого тела, мгновенный центр скоростей, мгновенный центр ускорений, подвижная и неподвижная центроиды. Кинематический винт твердого тела.

Сложное движение твердого тела. Сложение вращений вокруг пересекающихся и параллельных осей, пара вращений. Вычисление угловой скорости и углового ускорения тела в сложном движении. Кинематические уравнения Эйлера. Прецессионное движение твердого тела. Общий случай сложения движений твердого тела.

Алгебра кватернионов. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела (присоединенное отображение). Параметры Родрига–Гамильтона. Кватернионные формулы сложения поворотов. Теорема Эйлера о конечном повороте твердого тела с неподвижной точкой. Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона). Интегрирование уравнений Пуассона для прецессионного движения твердого тела.


4. Основные теоремы динамики

Основные понятия динамики систем: внешние и внутренние силы, момент силы, элементарная работа и мощность силы, главный вектор и главный момент системы сил; центр масс, количество движения, кинетический момент, кинетическая энергия механической системы. Теоремы Кенига для кинетической энергии и кинетического момента. Теоремы об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии в инерциальных системах отсчета.

Потенциальные, гироскопические, диссипативные силы. Критерий потенциальности сил. Консервативные системы, закон сохранения энергии.  Неинерциальные системы отсчета, силы инерции. Основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета.


5. Движение материальной точки в центральном поле

Законы сохранения. Уравнение Бине. Поле всемирного тяготения. Уравнение конических сечений. Задача двух тел. Законы Кеплера. 


6. Динамика твердого тела

Геометрия масс. Тензор инерции и эллипсоид инерции твердого тела. Главные оси инерции. Преобразование тензора инерции при повороте и параллельном переносе осей. Теорема Гюйгенса–Штейнера для тензора инерции. Кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела.

Динамические уравнения Эйлера. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Случай Эйлера движения твердого тела с неподвижной точкой; первые интегралы движения; геометрическая интерпретация Пуансо. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера; параметры свободной регулярной прецессии. Дифференциальные уравнения движения тяжелого твердого тела (уравнения Эйлера — Пуассона) и их первые интегралы. Случаи интегрируемости уравнений Эйлера — Пуассона. Случай Лагранжа; первые интегралы движения. Формула для момента, поддерживающего вынужденную регулярную прецессию динамически симметричного твердого тела (основная формула гироскопии). Эквивалентные преобразования системы сил, действующих на твердое тело. Алгоритм сведения к динамическому винту.


7. Лагранжева механика

Понятие механической связи. Классификация связей. Голономные и неголономные системы. Возможные, действительные и виртуальные перемещения. Общее уравнение динамики для системы материальных точек с идеальными связями. Обобщенные координаты.

Уравнения Лагранжа. Обобщенные силы. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил; функция  Лагранжа (лагранжиан системы). Уравнения  Лагранжа в неинерциальных системах отсчета.

Свойства уравнений Лагранжа: ковариантность, невырожденность (приведение к нормальному виду Коши). Структура кинетической энергии. Потенциальные, гироскопические, диссипативные силы. Первые интегралы лагранжевых систем: циклические интегралы, обобщенный интеграл энергии (интеграл Пенлеве–Якоби). Обобщенный потенциал.


8. Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия

Определение положения равновесия. Условия равновесия системы с идеальными связями (принцип виртуальных перемещений). Условия равновесия голономных систем (в терминах обобщенных сил). Условия равновесия в случае потенциального поля сил.

Определение устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия. Теоремы прямого метода Ляпунова для автономных систем: теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости, теорема Четаева о неустойчивости, теорема Барбашина — Красовского об условиях асимптотической устойчивости и неустойчивости.

Теорема Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия консервативных механических систем. Условия неустойчивости консервативных систем по квадратичной части потенциальной энергии. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия (теоремы Томсона — Тэта — Четаева). Устойчивость перевернутого «спящего» волчка Лагранжа как пример гироскопической стабилизации.

Первый метод Ляпунова исследования устойчивости. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Критерий Рауса–Гурвица (без доказательства).

Понятие о бифуркации. Случаи потери устойчивости для систем с потенциалом, зависящим от параметра. Бифуркации «смена устойчивости», «складка», «вилка», «рождение цикла».  Два сценария потери устойчивости: дивергенция и флаттер.

Малые колебания консервативных систем вблизи устойчивого положения равновесия. Уравнение частот. Главные (нормальные) координаты. Общее решение. Случай кратных корней. 

Вынужденные колебания линейной стационарной системы под действием гармонических сил. Частотные характеристики. Явление резонанса. Реакция линейной стационарной системы на негармоническое воздействие.


9. Уравнения Гамильтона, вариационные принципы, интегральные инварианты

Переменные Гамильтона. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Преобразование Лежандра уравнений Лагранжа в уравнения Гамильтона. Функция Гамильтона для консервативной системы.

Первые интегралы гамильтоновых систем. Скобки Пуассона. Теорема Якоби–Пуассона. Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат и для обобщенно консервативных систем. Уравнения Уиттекера.

Преобразование лагранжиана при замене координат и времени. Теорема Эмми Нетер.

Действие по Гамильтону. Вариация действия по Гамильтону. Вариационный принцип Гамильтона.

Интегральные инварианты Пуанкаре–Картана и Пуанкаре. Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Теорема Лиувилля об инвариантности фазового объема гамильтоновой системы. Теорема Ли Хуа-чжуна об интегральных инвариантах первого порядка гамильтоновых систем.


10. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона–Якоби

Канонические преобразования. Локальный критерий каноничности. Критерий каноничности в терминах производящих функций.

Преобразования, допускающие (q,q~)–описание  (свободные преобразования). Правила преобразования гамильтонианов при канонических преобразованиях.

Фазовый поток гамильтоновых систем как однопараметрическое семейство канонических преобразований.

Уравнение Гамильтона–Якоби. Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби и его использование в задаче интегрирования уравнений движения гамильтоновой системы. Случаи разделения переменных. 


Литература 

1. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Учебник для университетов. Изд. 4-е, исправленное – М.: Издательство «Регулярная и хаотическая динамика». 2007. – 592 с.

2. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – 3-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ , 2001.

3. Амелькин Н.И. Динамика твердого тела: учеб. пособие. – 2-е издание. – М.: МФТИ, 2010. – 80 с.

4. Амелькин Н.И. Лагранжева и гамильтонова механика: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2014. – 112 с.

5. Айзерман М.А. Классическая механика: учебное пособие. – 3-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 380 с.

6. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. – 2-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001; 3-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

7. Яковенко Г.Н. Краткий курс теоретической механики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

8. Трухан Н.М. Теоретическая механика. Методика решения задач: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2010.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li soc-yt
Яндекс.Метрика