Адрес e-mail:

Теоретическая механика ФОПФ

Программа курса теоретическая механика для студентов факультета ФОПФ


Лектор: Маркеев Анатолий Павлович

Теоретическая механика излагается как первый раздел курса теоретической физики и ставит своей целью познакомить студентов с понятиями и методами теоретической (аналитической) механики, которые могут оказаться полезными и важными в теории поля, квантовой механике, термодинамике, статистической физике. При этом студенты должны узнать, откуда и как возникли эти понятия и методы, когда и где можно их применять.


Кратко, но полно, строго и тщательно, изложены необходимые для дальнейшего изучения курсам вопросы кинематики точки и твердого тела, а также  раздел, касающийся  теорем об изменении основных динамических величин (количества движения, кинетического момента, кинетической энергии).


Основная часть курса (аналитическая динамика) посвящена наиболее ценным для теории и ее приложений темам, с которыми должен быть знаком почти каждый специалист в области теоретической и прикладной физики:  дифференциальным и интегральным вариационным принципам, лагранжевой и гамильтоновой динамике, каноническим преобразованиям, уравнению Гамильтона-Якоби и ее интегрированию методом разделения переменных, теории возмущений, переменным действие-угол и адиабатическим инвариантам, скобкам Пуассона, интегральным инвариантам, теореме Нетер, изучению законов сохранения и их связи со свойствами пространства и времени, движению в центральном поле, включая случай Кеплера, описанию рассеяния частиц, теории малых колебаний механических систем со многими степенями свободы; динамике твердого тела, включая важнейшие классические задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой в однородном поле тяжести. Предусмотрено ознакомление студентов с основами теории многомерных интегрируемых гамильтоновых систем и теории КАМ, с особенностями регулярной и хаотической динамики.


1.  Введение

Ньютоновское определение предмета теоретической механики. Кинематика и динамика − разделы курса теоретической механики.


2.  Кинематика. Исходные понятия, задачи кинематики

Пространство и время в классической механике. Материальная точка. Материальная система. Задачи кинематики.


3.  Кинематика точки

3.1 Скорость и ускорение точки. Естественный трехгранник. Теорема Гюйгенса о разложении ускорения точки на тангенциальное и нормальное.

3.2 Скорость и ускорение точки в полярных координатах.

3.3 Криволинейные координаты. Коэффициенты Ламе. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах.


4.  Кинематика твердого тела

4.1 Твердое тело. Задачи кинематики твердого тела. Задание движения твердого тела. Углы Эйлера. Теорема Эйлера о конечном перемещении твердого тела, имеющего неподвижную точку. Теорема Шаля о конечных перемещениях твердого тела.

4.2 Скорость и ускорение твердого тела при поступательном движении. Понятие о мгновенном кинематическом состоянии твердого тела. Скорости и ускорения точек твердого тела в общем случае его движения. Угловая скорость. Угловое ускорение. Частные случаи: вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, вращение вокруг неподвижной точки.

4.3 Плоское движение твердого тела. Мгновенный центр скоростей. Мгновенный центр ускорений.

4.4 Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.


5.  Кинематика сложного движения точки и твердого тела

5.1 Абсолютная и относительная производные вектора и соотношение между ними.

5.2 Понятие сложного движения точки. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки.

5.3 Понятие сложного движения твердого тела. Сложение мгновенно поступательных движений, сложение мгновенных вращений вокруг  пересекающихся осей. Угловая скорость твердого тела − скользящий вектор.  Кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг параллельных осей. Пара вращений.

5.4 Общий случай сложения мгновенных движений твердого   тела; приведение общего случая к случаям простейших мгновенных движений.


6.  Общие основания кинематики системы

6.1 Свободные и несвободные системы. Связи, их классификация. Системы голономные и неголономные.

6.2 Возможные положения, скорости, ускорения и перемещения точек системы. Действительные и виртуальные перемещения. Синхронное варьирование.

6.3 Число степеней свободы системы. Обобщенные координаты. Координатное пространство. Обобщенные скорости и ускорения.


7.  Основные понятия и аксиомы динамики

7.1 Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Первый закон Ньютона (аксиома инерции). Сила. Масса. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона (аксиома взаимодействия материальных точек). Аксиома о параллелограмме сил, приложенных к материальной точке. Активные силы и реакции связей.

7.2 Принцип детерминированности Ньютона–Лапласа. Силы внешние и внутренние.  Задачи динамики. Равновесие. Статика. Главный вектор и главный момент системы сил.

7.3 Элементарная работа сил системы. Работа сил, приложенных к твердому телу. Силовое поле. Силовая функция. Потенциальная энергия.

7.4 Элементарная работа сил системы в обобщенных координатах. Обобщенные силы. Идеальные связи. Выражение реакций идеальных связей при помощи их уравнений и неопределенных множителей Лагранжа.


8. Основные теоремы динамики

8.1 Центр масс (центр инерции) системы.  Понятие о движении системы относительно центра масс; кениговы системы координат.

8.2 Количество движения. Теорема об изменении количества движения системы в   инерциальной системе отсчета. Теорема о движении центра масс.

8.3 Момент количества движения (кинетический момент) относительно заданного центра. Соотношение между его значениями для различных центров. Теорема Кенига о вычислении кинетического момента. Теорема об изменении кинетического момента в инерциальной системе отсчета.

8.4 Кинетическая энергия системы. Теорема Кенига о вычислении кинетической энергии. Теорема об изменении кинетической энергии в инерциальной системе отсчета.

8.5 Основные теоремы динамики в неинерциальной системе отсчета и для движения  относительно центра масс.

8.6 Вириал. Теорема о вириале. Механическое подобие.


9. Движение свободной материальной точки под действием центральных сил

9.1 Закон площадей. Формулы Бине.

9.2 Рассеяние частиц. Формула Резерфорда.

9.3 Задача двух тел. Уравнения движения. Интеграл площадей; второй закон Кеплера.  Интеграл энергии. Интеграл Лапласа. Уравнение орбиты; первый закон Кеплера. Зависимость характера орбиты от величины начальной скорости. Третий закон Кеплера.


10. Геометрия масс

10.1 Момент инерции системы относительно оси. Моменты инерции относительно параллельных осей; теорема Гюйгенса–Штейнера.

10.2 Тензор и эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Свойства осевых моментов инерции.


11. Динамика твердого тела

11.1 Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси или вокруг неподвижной точки.

11.2 Кинетическая энергия твердого тела в частных случаях: поступательного движения, вращения вокруг неподвижной оси, вращения  вокруг неподвижной точки, произвольного свободного движения, плоского движения.

11.3 Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Уравнения плоского движения твердого тела.

11.4 Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера.

11.5 Случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки: первые интегралы динамических уравнений; перманентные вращения; регулярная прецессия в случае динамической симметрии тела; геометрическая интерпретация Пуансо движения твердого тела в случае Эйлера.

11.6 Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела. Основная формула гироскопии. Понятие об элементарной теории гироскопов.

11.7 Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Дифференциальные уравнения Эйлера – Пуассона и их первые интегралы. Понятие о случаях интегрируемости Эйлера, Лагранжа, Ковалевской. Качественный анализ движения твердого тела в случае Лагранжа.


12. Дифференциальные вариационные принципы механики

12.1 Общее уравнение динамики (принцип Даламбера–Лагранжа).

12.2 Общее уравнение статики (принцип виртуальных перемещений). Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах. Случай потенциального поля сил.


13. Дифференциальные уравнения аналитической динамики  (начало)

13.1 Уравнения Лагранжа первого рода.

13.2 Общее уравнение динамики в обобщенных координатах.

13.3 Уравнения Лагранжа второго рода.

13.4 Уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно обобщенных ускорений.

13.5 Теорема об изменении полной механической энергии. Гироскопические силы. Диссипативные силы, функция Релея.   

13.6 Обобщенный потенциал. Натуральные и ненатуральные системы.

13.7 Понятие о неоднозначности выбора функции Лагранжа материальной системы по ее уравнениям движения.

13.8 Первые интегралы лагранжевых систем.


14.  Устойчивость равновесия. Малые колебания

14.1 Общие понятия об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости равновесия. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы. Теоремы Ляпунова об обращении теоремы Лагранжа (без доказательства).

14.2 Теорема Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению (без доказательства).

14.3 Критерий Рауса–Гурвица (без доказательства).

14.4 Линеаризация уравнений движения в окрестности положения равновесия. Нормальные координаты и нормальные колебания.

14.5 Колебания консервативной системы под действием внешних периодических сил. Резонанс.

14.6 Малые колебания склерономной системы под действием сил, не зависящих явно от времени.

14.7 Влияние внешних периодических сил на малые колебания склерономной системы. Амплитудно-фазовая характеристика.


15. Дифференциальные уравнения аналитической динамики (продолжение)

15.1 Обобщенные импульсы. Преобразование Лежандра. Теорема Донкина о преобразовании Лежандра. Канонические уравнения Гамильтона. Физический смысл функции Гамильтона. Интеграл Якоби. Время и энергия как канонически сопряженные переменные. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений Гамильтона в случае существования циклических координат.

15.2 Уравнения Уиттекера и Якоби для консервативных и обобщенно-консервативных систем.

15.3 Уравнения Рауса: функция Рауса, уравнения Рауса.

15.4 Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения при помощи уравнений Рауса в случае существования циклических координат. Приведенный потенциал.

15.5 Скобки Лагранжа. Скобки Пуассона и их свойства. Скобки Пуассона и первые интегралы. Теорема Якоби–Пуассона.


16. Канонические преобразования

16.1 Понятие канонического преобразования. Обобщенная симплектичность матрицы Якоби – необходимое и достаточное условие каноничности преобразования. Другие критерии каноничности преобразования (выражение их через скобки Лагранжа, через скобки Пуассона, посредством дифференциальной формы).

16.2 Инвариантность скобок Пуассона при канонических преобразованиях. Канонические преобразования и процесс движения.

16.3 Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма.

16.4 Свободное каноническое преобразование и его производящая функция. Понятие о других типах производящих функций.

16.5 Канонические преобразования, близкие к тождественным и их применение в теории возмущений (на примере маятника с вибрирующим подвесом). Понятие о параметрическом резонансе в гамильтоновой  системе с одной степенью свободы (на примере уравнения Матье).


17. Метод Якоби интегрирования уравнений динамики

17.1 Уравнение Гамильтона–Якоби. Полный интеграл. Теорема Якоби.

17.2 Уравнение Гамильтона–Якоби для систем с циклическими координатами. Уравнение Гамильтона–Якоби для консервативных и обобщенно-консервативных систем. Разделение переменных.

17.3 Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновой системы в квадратурах. 


18. Интегральные инварианты

18.1 Понятие интегрального инварианта.

18.2 Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Теорема, обратная теореме об универсальном интегральном инварианте Пуанкаре. Теорема Ли Хуа – чжуна (без доказательства).

18.3 Интегральный инвариант Пуанкаре–Картана (основной интегральный инвариант механики). Теорема, обратная теореме об интегральном инварианте Пуанкаре – Картана.


19. Интегральные вариационные принципы

19.1 Принцип Гамильтона–Остроградского: прямой и окольный пути голономной системы, принцип Гамильтона–Остроградского, случай потенциального поля, действие по Гамильтону, понятие о характере экстремума действия по Гамильтону.

19.2 Замена переменных в уравнениях Лагранжа. Теорема Нетер. Связь законов сохранения (первых интегралов) со свойствами пространства и времени.

19.3 Принцип Мопертюи–Лагранжа: изоэнергетическое варьирование, принцип Мопертюи–Лагранжа, понятие о характере экстремума действия по Лагранжу. Сопоставление оптического принципа Ферма и принципа Мопертюи–Лагранжа.


Литература (основная)

1. Айзерман М.А. Классическая механика. − М.: Наука, 1980, 2005. 
2. Амелькин Н.И. Динамика твердого тела: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2010.
3. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. − 3-е изд. − М.: Физматлит, 2001.
4. Маркеев А.П. Теоретическая механика. – Москва− Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007.
5. Трухан Н.М. Теоретическая механика. Методика решения задач: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2010.
6. Яковенко Г.Н. Краткий курс теоретической механики. − М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

Литература (дополнительная)
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. 5-е изд., стереотип. М.: Физматлит, 2012.
8. Голдстейн Г, Пул Ч., Сафко Дж. Классическая механика. – Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012.

Дополнительная программа курса теоретическая механика для студентов факультета ФОПФ


1. Алгебра кватернионов и теория конечных поворотов твердого тела

Формула поворота. Вектор поворота. Алгебра кватернионов. Кватернионная запись поворота. Параметры Родрига–Гамильтона. Кватернионные формулы сложения поворотов. Выражение параметров Родрига - Гамильтона через углы Эйлера. Кинематические уравнения в параметрах Родрига – Гамильтона. 


2. Теория удара

Понятие ударных сил и ударного импульса, основные гипотезы, задачи теории удара. Коэффициент восстановления (гипотеза Ньютона). Удар материальной точки об абсолютно гладкую поверхность: нахождение угла отражения, послеударной скорости, ударного импульса; потеря кинетической энергии. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе. Общее уравнение динамики в теории удара. Теорема Карно. Уравнения Лагранжа второго рода в теории удара. 


3. Дифференциальные вариационные принципы механики (дополнение к соответствующему разделу основной части программы)

Понятие о вариационных принципах механики и их классификации. Эквивалентные системы сил. Энергетический критерий эквивалентности. Его выражение через обобщенные силы. Принцип Журдена. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения). Физический смысл принципа Гаусса. Экстремальное свойство реакций связей. Принцип   прямейшего пути Герца. 


4. Электромеханические аналогии

 Электрические аналоги кинетической энергии, потенциальной энергии и диссипативной функции Релея.  Уравнения Лагранжа для электрических цепей и электромеханических систем.


5. Устойчивость движения

 Основные понятия и определения. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теоремы Ляпунова и Четаева о неустойчивости.Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению (случай установившихся движений). Понятие о критических случаях в теории устойчивости. Решение задачи об устойчивости перманентных вращений твердого тела в случае Эйлера. Условие Маиевского–Четаева устойчивости «спящего» волчка Лагранжа. Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость равновесия консервативной системы.


6. Переменные действие–угол и адиабатические инварианты

Переменные действие–угол для системы с одной степенью свободы. Понятие о переменных действие–угол для  систем с n степенями свободы. Адиабатические инварианты. Понятие о точности их сохранения. Теорема Арнольда о вечном сохранении адиабатического инварианта в периодической по времени системе с одной степенью свободы.


7. Классическая теория  возмущений и динамический хаос

Вариация постоянных в задачах механики. Классическая теория возмущений для систем, близких к интегрируемым. Понятие о проблеме малых знаменателей в теории возмущений. Теорема Колмогорова – Арнольда – Мозера. Расщепление сепаратрис. Хаотические траектории и показатели Ляпунова. Модель Эно – Эйлеса.


Литература

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Физматлит, 1974.

2. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. 3-е изд. -М.: Физматлит, 2001.

3. Голдстейн Г, Пул Ч., Сафко Дж. Классическая механика. – Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012.

4. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. . М.: Физматлит, 2008.

5. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. 5-е изд., стереотип. М.: Физматлит, 2012.

7. Маркеев А.П. Теоретическая механика. – Москва – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li soc-yt
Яндекс.Метрика