Адрес e-mail:

Аналитическая механика ФОПФ

Программа курса теоретическая механика для студентов факультета ФОПФ


Лектор: Маркеев Анатолий Павлович

Теоретическая механика излагается как первый раздел курса теоретической физики и ставит своей целью познакомить студентов с понятиями и методами теоретической (аналитической) механики, которые могут оказаться полезными и важными в теории поля, квантовой механике, термодинамике, статистической физике. При этом студенты должны узнать, откуда и как возникли эти понятия и методы, когда и где можно их применять.


Кратко, но полно, строго и тщательно, изложены необходимые для дальнейшего изучения курсам вопросы кинематики точки и твердого тела, а также  раздел, касающийся  теорем об изменении основных динамических величин (количества движения, кинетического момента, кинетической энергии). Излагаются также элементы механики сплошных сред (тензор напряжений, тензор деформаций и скоростей деформаций, уравнения Эйлера и Навье–Стокса).

Основная часть курса (аналитическая динамика) посвящена наиболее ценным для теории и ее приложений темам, с которыми должен быть знаком почти каждый специалист в области теоретической и прикладной физики: дифференциальным и интегральным вариационным принципам, лагранжевой и гамильтоновой динамике, каноническим преобразованиям, уравнению Гамильтона–Якоби и ее интегрированию методом разделения переменных, теории возмущений, переменным действие–угол и адиабатическим инвариантам, скобкам Пуассона, интегральным инвариантам, теореме Нетер, изучению законов сохранения и их связи со свойствами пространства и времени, движению в центральном поле, включая случай Кеплера, описанию рассеяния частиц, теории малых колебаний механических систем со многими степенями свободы; динамике твердого тела, включая важнейшие классические задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой в однородном поле тяжести. Значительная часть курса посвящена нелинейным динамическим системам: структурным свойствам траекторий, методу усреднения и нормальным формам уравнений движения, теории детерминированного хаоса, близким к интегрируемым системам Гамильтона и КАМ–теории.

1. Кинематика точки

1.1. Материальная точка. Материальная система. Задачи кинематики. Скорость и ускорение точки. Естественный трехгранник. Разложение ускорения точки на тангенциальное и нормальное.
1.2. Криволинейные координаты. Основной и взаимный базисы. Коэффициенты Ламе. Ковариантные и контравариантные компоненты вектора скорости точки в криволинейных координатах. Правило поднимания и опускания индексов.
1.3. Ускорение точки в криволинейных координатах. Оператор Лагранжа.


2. Кинематика твердого тела

2.1. Твердое тело. Задачи кинематики твердого тела. Задание движения твердого тела. Углы Эйлера. Теорема Эйлера о конечном перемещении твердого тела, имеющего неподвижную точку.
2.2. Скорости и ускорения точек твердого тела в общем случае его движения. Угловая скорость. Угловое ускорение. Частные случаи: вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, вращение вокруг неподвижной точки. Плоское движение твердого тела. Мгновенный центр скоростей.
2.3. Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.


3. Кинематика сложного движения точки и твердого тела

3.1. Абсолютная и относительная производные вектора и соотношение между ними.
3.2. Понятие сложного движения точки. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки.
3.3. Понятие сложного движения твердого тела. Сложение мгновенно поступательных движений, сложение мгновенных вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг параллельных осей. Пара вращений.
3.4. Общий случай сложения мгновенных движений твердого тела; приведение общего случая к случаям простейших мгновенных движений.


4. Общие основания кинематики системы

4.1. Свободные и несвободные системы. Связи, их классификация. Системы голономные и неголономные.
4.2. Возможные положения, скорости, ускорения и перемещения точек системы. Действительные и виртуальные перемещения. Синхронное варьирование. Число степеней свободы системы.
4.3. Обобщенные координаты. Координатное пространство. Обобщенные скорости и ускорения.


5. Основные понятия и аксиомы динамики

5.1. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Первый закон Ньютона (аксиома инерции). Сила. Масса. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона (аксиома взаимодействия материальных точек). Аксиома о параллелограмме сил, приложенных к материальной точке. Активные силы и реакции связей. Принцип детерминированности Ньютона–Лапласа. Силы внешние и внутренние.
5.2. Задачи динамики. Равновесие. Статика. Главный вектор и главный момент системы сил. Элементарная работа сил системы. Работа сил, приложенных к твердому телу. Силовое поле. Силовая функция. Потенциальная энергия. Элементарная работа сил системы в обобщенных координатах. Обобщенные силы.
5.3. Идеальные связи. Выражение реакций идеальных связей при помощи их уравнений и неопределенных множителей Лагранжа.


6. Основные теоремы динамики

6.1. Центр масс (центр инерции) системы. Понятие о движении системы относительно центра масс; кениговы системы координат.
6.2. Количество движения. Теорема об изменении количества движения системы в инерциальной системе отсчета. Теорема о движении центра масс.
6.3. Момент количества движения относительно заданного центра. Соотношение между его значениями для различных центров. Теорема Кенига о вычислении кинетического момента. Теорема об изменении кинетического момента в инерциальной системе отсчета.
6.4. Кинетическая энергия системы. Теорема Кенига о вычислении кинетической энергии. Теорема об изменении кинетической энергии в инерциальной системе отсчета.
6.5. Основные теоремы динамики в неинерциальной системе отсчета и для движения относительно центра масс.


7. Элементы механики сплошной среды

7.1. Сплошная среда. Объёмные и поверхностные силы. Напряжения. Тензор напряжений.
7.2. Задание положения и движения сплошной среды. Переменные Лагранжа и Эйлера. Перемещения, скорости и ускорения точек сплошной среды в переменных Лагранжа. Ускорения точек среды в переменных Эйлера. Бесконечно малое перемещение элементарного объема сплошной среды. Теорема Гельмгольца. Тензоры деформаций и скоростей деформаций.
7.3. Уравнения динамики сплошной среды. Уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости. Уравнения Навье–Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости.

8. Геометрия масс. Динамика твердого тела

8.1. Момент инерции системы относительно оси. Моменты инерции относительно параллельных осей; теорема Гюйгенса-Штейнера. Тензор и эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Свойства осевых моментов инерции.
8.2. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси или вокруг неподвижной точки.
8.3. Кинетическая энергия твердого тела в частных случаях: поступательного движения, вращения вокруг неподвижной оси, вращения вокруг неподвижной точки, произвольного свободного движения, плоского движения.
8.4. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Уравнения плоского движения твердого тела.
8.5. Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера. Случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки: первые интегралы динамических уравнений; перманентные вращения; регулярная прецессия в случае динамической симметрии тела; геометрическая интерпретация Пуансо движения твердого тела в случае Эйлера.
8.6. Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела. Основная формула гироскопии.
8.7. Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Дифференциальные уравнения Эйлера–Пуассона и их первые интегралы. Понятие о случаях интегрируемости Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.
8.8. Качественный анализ движения твердого тела в случае Лагранжа.

9. Движение свободной материальной точки под действием центральных сил

9.1 Закон площадей. Формулы Бине.
9.2. Задача двух тел. Уравнения движения. Интеграл площадей; второй закон Кеплера. Интеграл энергии. Интеграл Лапласа. Уравнение орбиты; первый закон Кеплера. Зависимость характера орбиты от величины начальной скорости. Третий закон Кеплера.


10. Дифференциальные вариационные принципы механики

10.1. Понятие о вариационных принципах механики и их классификации.
10.2. Уравнения Лагранжа первого рода.
10.3. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера–Лагранжа).
10.4. Общее уравнение статики (принцип виртуальных перемещений). Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах. Случай потенциального поля сил.
10.5. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения). Физический смысл принципа Гаусса. Экстремальное свойство реакций связей. Принцип прямейшего пути Герца.


11. Уравнения Лагранжа второго рода

11.1. Общее уравнение динамики в обобщенных координатах.
11.2. Уравнения Лагранжа второго рода.
11.3. Уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно обобщенных ускорений.
11.4. Теорема об изменении полной механической энергии. Гироскопические силы. Диссипативные силы, функция Релея.
11.5. Обобщенный потенциал. Натуральные и ненатуральные системы. Понятие о неоднозначности выбора функции Лагранжа материальной системы по ее уравнениям движения.
11.6. Первые интегралы лагранжевых систем. Интеграл Якоби. Уравнения Якоби.

12. Интегральные вариационные принципы. Теорема Нетер

12.1. Принцип Гамильтона–Остроградского: прямой и окольный пути голономной системы, принцип Гамильтона–Остроградского, случай потенциального поля, действие по Гамильтону, понятие о характере экстремума действия по Гамильтону.
12.2. Замена переменных в уравнениях Лагранжа.
12.3. Теорема Нетер. Связь законов сохранения (первых интегралов) со свойствами пространства и времени.
12.4. Принцип Мопертюи–Лагранжа: изоэнергетическое варьирование, принцип Мопертюи–Лагранжа, понятие о характере экстремума действия по Лагранжу.
12.5. Принцип Якоби и геодезические линии в координатном пространстве.
12.6. Сопоставление оптического принципа Ферма и принципа Мопертюи–Лагранжа.


13. Введение в теорию устойчивости

13.1. Понятие об устойчивости положения равновесия. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы. Теоремы Ляпунова об обращении теоремы Лагранжа.
13.2. Понятие об устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости движения. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению (случай установившихся движений). Понятие о критических случаях в теории устойчивости.
13.3. Критерий Рауса–Гурвица.

14. Малые колебания 
14.1. Линеаризация уравнений движения консервативной системы в окрестности ее положения равновесия. Нормальные координаты и нормальные колебания. 
14.2. Колебания консервативной системы под действием внешних периодических сил. Резонанс в вынужденных колебаниях. Влияние внешних периодических сил на малые колебания склерономной системы.

15. Введение в теорию нелинейных колебаний
15.1. Фазовая плоскость консервативной системы с одной степенью свободы. Равновесия, периодические движения, сепаратрисы.
15.2. Классификация особых точек на плоскости. Понятие об автоколебаниях, предельные циклы.
15.3. Понятие о методе нормальных форм.
15.4. Элементы теории бифуркаций. Бифуркации «смена устойчивости» и «седло-узел», бифуркация «вилки». Бифуркация рождения цикла (бифуркация Андронова–Хопфа).
15.5. Понятие о методе усреднения. Построение первого приближения по малому параметру для дифференциальных уравнений в стандартной форме.

16. Уравнения Гамильтона. Уравнения Рауса. Скобки Пуассона
16.1. Обобщенные импульсы. Преобразование Лежандра. Теорема Донкина о преобразовании Лежандра. Канонические уравнения Гамильтона.
16.2. Физический смысл функции Гамильтона. Уравнения Уиттекера для консервативных и обобщенно консервативных систем.
16.3. Время и энергия как канонически сопряженные переменные.
16.4. Уравнения Рауса. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения при помощи уравнений Рауса в случае существования циклических координат. Приведенный потенциал.
16.5. Скобки Лагранжа. Скобки Пуассона и их свойства. Скобки Пуассона и первые интегралы. Теорема Якоби–Пуассона.

17. Канонические преобразования
17.1. Понятие канонического преобразования. Обобщенная симплектичность матрицы Якоби — необходимое и достаточное условие каноничности преобразования. Другие критерии каноничности преобразования (выражение их через скобки Лагранжа, через скобки Пуассона, посредством дифференциальной формы).
17.2. Инвариантность скобок Пуассона при канонических преобразованиях. Канонические преобразования и процесс движения. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма.
17.3. Свободное каноническое преобразование и его производящая функция. Канонические преобразования с производящей функцией, зависящей от старых координат и новых импульсов.

18. Метод Якоби интегрирования уравнений динамики
18.1. Уравнение Гамильтона–Якоби. Полный интеграл. Теорема Якоби.
18.2. Уравнение Гамильтона–Якоби для систем с циклическими координатами. Уравнение Гамильтона–Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. Разделение переменных.

19. Классическая теория возмущений. Адиабатические инварианты
19.1. Переменные действие–угол для системы с одной степенью свободы. Понятие о переменных действие–угол для систем с несколькими степенями свободы.
19.2. Классическая теория возмущений. Нерезонансный и резонансный случаи в теории возмущений. Проблема малых знаменателей. Преобразование Биркгофа.
19.3. Параметрический резонанс в линейной системе Гамильтона. Уравнение Матье.
19.4. Понятие адиабатического инварианта. Теорема Арнольда о вечном сохранении адиабатического инварианта в периодической по времени гамильтоновой системе с одной степенью свободы.

20. Интегральные инварианты
20.1. Понятие интегрального инварианта.
20.2. Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Теорема, обратная теореме об универсальном интегральном инварианте Пуанкаре. Теорема Ли Хуа-чжуна.
20.3. Интегральный инвариант Пуанкаре–Картана (основной интегральный инвариант механики). Теорема, обратная теореме об интегральном инварианте Пуанкаре–Картана.

21. Элементы теории детерминированного хаоса
21.1. Регулярные и хаотические аттракторы. Эргодичность и перемешиваемость. Экспоненциальное разбегание траекторий и показатели Ляпунова.
21.2. Метод поверхностей сечения Пуанкаре.
21.3. Логистическое (квадратичное) отображение. Сценарий перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода.
21.4. Универсальности Фейгенбаума. Понятие о фрактальной размерности аттрактора.

22. Интегрируемые и неинтегрируемые системы Гамильтона. Теория КАМ
22.1. Понятие интегрируемости гамильтоновых систем. Теорема Лиувилля об интегрируемости. Представление движения на инвариантных торах.
22.2. Невырожденность и изоэнергетическая невырожденность интегрируемых систем.
22.3. Теорема Пуанкаре–Биркгофа о неподвижной точке.
22.4. Формулировка основной теоремы КАМ-теории (теории Колмогорова–Арнольда–Мозера).
22.5. Расщепление сепаратрис. Условие Мельникова.
22.6. Теоретико-числовые свойства частот. Механизм разрушения инвариантных торов.


Литература (основная)

1. Айзерман М.А. Классическая механика. − М.: Наука, 1980, 2005. 
2. Амелькин Н.И. Динамика твердого тела: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2010.
3. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. − 3-е изд. − М.: Физматлит, 2001.
4. Маркеев А.П. Теоретическая механика. – Москва− Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007.
5. Трухан Н.М. Теоретическая механика. Методика решения задач: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2010.
6. Яковенко Г.Н. Краткий курс теоретической механики. − М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

Литература (дополнительная)

7. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Физматлит, 1974.

8. Голдстейн Г, Пул Ч., Сафко Дж. Классическая механика. – Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012.

9. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. . М.: Физматлит, 2008.

10. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. 5-е изд., стереотип. М.: Физматлит, 2012.

12. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. — М.: УРСС, 2004.
13. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. — М.: УРСС, 2001.


Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях