Адрес e-mail:

Теоретическая механика ФАЛТ

Программа курса теоретическая механика для студентов факультета ФАЛТ


Лектор: Кириллов Олег Евгеньевич

1. Аксиоматика классической механики

Объекты механики (точка, системы точек, твердое тело) и среда (системы) для изучения движения объектов. Поступательное движение среды (системы отсчета).  Свойства пространства и времени.


2. Кинематика точки

Скорости и ускорения точки. Векторный способ. Базис Дарбу (естественный трехгранник). Разложение скорости и ускорения по осям естественного трехгранника.

Криволинейные системы координат: базис, коэффициенты Ламе. Разложение скорости и ускорения по осям криволинейной системы координат. Ортогональные криволинейные системы (полярная, цилиндрическая и сферическая). Скорость и ускорение точки в полярных координатах.


3. Кинематика твердого тела

Кинематика твердого тела. Скорость и ускорение твердого тела при поступательном движении. Разложение движения твердого тела на поступательное и вращательное. Частные случаи вращения: вокруг точки и оси. Плоскопараллельное движение твердого тела.

Задание ориентации твердого тела (углы и матрицы поворота).

Алгебра кватернионов. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела (присоединенное отображение). Параметры Родрига–Гамильтона. Кватернионные формулы сложения поворотов. Теорема Эйлера о конечном повороте твердого тела с неподвижной точкой.

Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона).

Угловая скорость твердого тела. Распределение скоростей точек твердого тела (формула Эйлера). Распределение ускорений точек твердого тела (формула Ривальса).

Кинематические уравнения Эйлера.


4. Сложное движение точки

Переносное и относительное движение. Сложение скоростей и ускорений при сложном движении точки. Теорема Кориолиса, переносное, относительное и кориолисово ускорения.


5. Сложное движение твердого тела

Сложение угловых скоростей и угловых ускорений при сложном движении твердого тела. Кинематика движения шарнирно закрепленной лопасти вертолета.


6. Теория скользящих векторов

Главный вектор и главный момент системы скользящих векторов. Изменение главного момента системы при изменении полюса. Инварианты системы скользящих векторов. Элементарные преобразования. Эквивалентные системы скользящих векторов. Критерий эквивалентности.

Простейшие системы скользящих векторов: вектор, пара, винт, векторный нуль. Приведение системы скользящих векторов к простейшему виду. Кинематические аналогии.

Система аэродинамических сил, действующих на профиль крыла, как пример плоской системы скользящих векторов: центр давления, фокус.


7. Динамика точки и системы материальных точек

Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Законы Ньютона. Количество движения (импульс), момент количества движения (кинетический момент), кинетическая энергия точки и системы материальных точек. Изменение кинетического момента при изменении полюса. Центр масс. Кёнигова система, ее применение для подсчета кинетического момента и кинетической энергии системы материальных точек (теоремы Кёнига). Внешние и внутренние силы. Момент силы, работа силы.


8. Основные теоремы динамики для системы материальных точек

Теоремы об изменении количества движения, кинетического момента, кинетической энергии для точки и системы материальных точек. Законы сохранения.

Потенциальные, гироскопические, диссипативные силы. Критерий потенциальности сил. Потенциальная энергия. Консервативные системы, закон сохранения полной энергии.


9. Теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета

Переносные и кориолисовы силы инерции. Вид основных теорем динамики в кёниговых системах отсчета.


10. Движение материальной точки в центральном поле

Законы сохранения. Интегрирование уравнений движения в квадратурах, случаи аналитической интегрируемости (степенная зависимость потенциальной энергии от радиуса). Общие свойства движения. Законы Кеплера. Интеграл Лапласа. Переменные, формула и уравнение Бине. Задача двух тел. Понятие о космических перелетах. Эллипс Гомана. Понятие о задаче трех тел.


11. Динамика систем переменного состава

Понятие о системе переменного состава и ее математической модели. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента для систем переменного состава. Уравнение Мещерского. Реактивное движение. Формула Циолковского. Многоступенчатые ракеты.


12. Динамика твердого тела

Кинетическая энергия и кинетический момент при движении твердого тела около неподвижной точки. Геометрия масс. Моменты инерции. Тензор инерции и эллипсоид инерции. Преобразование тензора инерции при повороте осей; главные оси инерции. Преобразование тензора инерции при параллельном переносе осей; теорема Гюйгенса–Штейнера.

Динамические уравнения Эйлера. Случай Эйлера. Первые интегралы. Движение динамически симметричного твердого тела в случае Эйлера, параметры свободной регулярной прецессии в случае Эйлера. Интегрирование уравнений движения свободного твердого тела в эллиптических функциях. Геометрическая интерпретация Пуансо. Интерпретация Мак-Каллога.

Момент сил, поддерживающий регулярную прецессию динамически симметричного твердого тела. Движение твердого тела с динамической симметрией в наблюдаемых переменных. Уравнения движения тяжелого гироскопа. Случай Лагранжа–Пуассона. Вынужденная регулярная прецессия. Интегрирование уравнений движения в случае малых углов нутации. Элементарная теория гироскопов. Гироскопы в аэрокосмической технике. Прецессия земной оси. Понятие о случае Ковалевской.


13. Уравнения Лагранжа

Основные понятия о связях. Классификация связей. Виртуальные перемещения. Число степеней свободы. Гипотеза идеальных связей. Голономные системы.

Конфигурационное многообразие голономной системы с конечным числом степеней свободы. Параметризация системы. Обобщенные координаты.

Обобщенные силы. Гироскопические и диссипативные силы. Уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил, лагранжиан. Обобщенный потенциал.

Свойства уравнений Лагранжа: ковариантность, разрешимость. Структура кинетической энергии.

Понятие первого интеграла динамической системы. Теорема об изменении полной энергии и ее приложения. Консервативные системы. Обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби–Пенлеве). Циклические координаты и циклические интегралы.


14.     Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия

Определение положения равновесия. Условия равновесия системы с идеальными связями (принцип виртуальных перемещений). Условия равновесия голономных систем.

Устойчивость по Ляпунову положения равновесия системы автономных дифференциальных уравнений. Понятие функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативных механических систем. Условие  неустойчивости консервативных систем по квадратичной части потенциальной энергии.

Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Критерий Рауса–Гурвица. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия. Условие Маиевского–Четаева устойчивости «спящего» волчка Лагранжа.

Элементы теории катастроф. Кривая равновесий. Основные типы бифуркаций в динамических системах. Дивергенция и флаттер.

Малые колебания консервативных систем вблизи устойчивого положения равновесия. Уравнение частот. Главные (нормальные) координаты. Общее решение. Случай кратных корней.

Вынужденные колебания линейной стационарной системы под действием гармонических сил. Частотные характеристики. Явление резонанса. Реакция линейной стационарной системы на негармоническое воздействие.


15.     Уравнения Гамильтона, вариационные принципы, интегральные инварианты

Переменные Гамильтона. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Преобразование Лежандра уравнений Лагранжа в уравнения Гамильтона. Функция Гамильтона для консервативной системы.

Первые интегралы гамильтоновых систем. Скобки Пуассона. Теорема Якоби–Пуассона. Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат и для обобщенно-консервативных систем. Уравнения Уиттекера.

Преобразование лагранжиана при замене координат и времени. Теорема Эмми Нетер.

Действие по Гамильтону. Вариация действия по Гамильтону Вариационный принцип Гамильтона.

Интегральные инварианты Пуанкаре–Картана и Пуанкаре. Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Теорема Лиувилля об инвариантности фазового объема гамильтоновой системы. Теорема Ли Хуа-чжуна об интегральных инвариантах первого порядка гамильтоновых систем.


16.     Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона–Якоби

Канонические преобразования. Локальный критерий каноничности. Критерий каноничности в терминах производящих функций.

Преобразования, допускающие (q,q˜)-описание (свободные преобразования). Правила преобразования гамильтонианов при канонических преобразованиях. Фазовый поток гамильтоновых систем как однопараметрическое семейство канонических преобразований. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Сохранение фазового объема гамильтоновой системы.


17.     Динамика твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости

Уравнения Кирхгофа. Гамильтонова форма уравнений Кирхгофа. Присоединенные массы и присоединенные моменты инерции.


Литература
1. Айзерман М.А. Классическая механика: учебное пособие. – 3-е изд. – М.: Физматлит, 2005.
2. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – 3-е изд. – М.: Физматлит, 2001.
3. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2001; 3-е изд. – М.: Физматлит, 2008.
4. Маркеев А.П. Теоретическая механика: учебник для университетов. Изд. 3-е, исправленное – М.: Издательство «Регулярная и хаотическая динамика». 2001.
5. Амелькин Н.И. Динамика твердого тела: учеб. пособие. – 2-е издание. – М.: МФТИ, 2010.
6. Амелькин Н.И. Лагранжева и гамильтонова механика: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2014.
7. Яковенко Г.Н. Краткий курс теоретической механики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.
8. Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ, 2004.
9. Трухан Н.М. Теоретическая механика. Методика решения задач: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2010.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li soc-yt
Яндекс.Метрика