Адрес e-mail:

Методы классической механики и теории динамических систем

Лектор: Сахаров Александр Вадимович


Курс посвящен изучению основ современных методов анализа, используемых в механике и теории динамических систем. Основная цель курса состоит в том, чтобы на примере классических механических и динамических систем опробовать методы, позволяющие определять наличие или отсутствие в системах тех или иных свойств и эффектов, таких как наличие периодических траекторий, бифуркаций, хаоса. Как аналитические, так и численные методы будут реализованы с применением широко известных пакетов символьных вычислений и математического моделирования (Matlab, Wolfram Mathematica, Python). Курс рассчитан на слушателей, обладающих базовыми знаниями по аналитической геометрии, алгебре, математическому анализу, а также механике (в рамках общей физики).


Программа


1. Понятие динамической системы. Фазовое пространство. Непрерывные и дискретные динамические системы. Аттракторы, репеллеры и локальные бифуркации в одномерных непрерывных динамических системах.


2. Устойчивые, асимптотически устойчивые и неустойчивые положения равновесия непрерывных динамических систем. Общее решение линейной системы дифференциальных уравнений. Теорема Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по линейному приближению.


3. Двумерные непрерывные динамические системы. Классификация положений равновесия: узел, седло, фокус, центр.


4. Фазовые портреты и бифуркации двумерных динамических систем. Консервативные механические системы с одной степенью свободы. Задача Ситникова, модель «хищник — жертва». Предельные циклы. Бифуркация рождения предельного цикла (бифуркация Пуанкаре — Андронова — Хопфа).


5. Критерии отсутствия и существования периодических траекторий. Теорема об отсутствии периодических траекторий для градиентных систем. Метод функций Ляпунова. Критерии Дюлака и Бендиксона. Теорема Пуанкаре — Бендиксона.


6. Понятие об орбитальной устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости периодического решения. Критерий Пуанкаре.


7. Одномерные дискретные отображения. Неподвижные и периодические точки. Лестница Ламерея. Логистическое отображение. Переход от регулярной к хаотической динамике: сценарий удвоения периода. Хаотическая динамика в простейших отображениях. Отображение удвоения угла окружности, отображение тент. Топологическая эквивалентность одномерных отображений. Показатель Ляпунова.


8. Метод малого параметра в теории возмущений. Метод Линштедта. Быстро-медленные переменные. Усреднение по быстрым переменным. Осциллятор Ван дер Поля.


9. Группы SO(2) и SO(3). Алгебра кватернионов. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела. Сложение поворотов с активной и пассивной точек зрения. Уравнение Пуассона.


Литература


1. Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. 3rd Edition, 2012. — P. 432.

2. Strogatz H. Steven. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Taylor&Francis. 2nd Edition, 2014. — P. 531.

3. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 428 с.

4. Анищенко В.С. Вадивасова Т.Е. Лекции по нелинейной динамике: учеб. пособие для вузов. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. — 516 с.

5. Мачулис В.В. Динамические системы. Специальный курс. Часть 1 — Тюмень: Вектор-Бук, 2005. — 130 с.

6. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984. — 528 с.

7. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. Физматлит, 2011. — 436 с.

8. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 184 с.

9. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций): Учеб. пособие для вызов. 2-е изд. перерав. и доп. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 2006. — 356 с.

10. Кузнецов А.П. Колебания, катастрофы, бифуркации, хаос. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. — 98 с.

11. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 2001.

12. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001; 3-е изд. — М.: Физматлит, 2008.
13. Амелькин Н.И. Динамика твердого тела: учеб. пособие. — 2-е изд. — М.: МФТИ, 2010.


Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2021 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Противодействие коррупции | Сведения о доходах

Политика обработки персональных данных МФТИ

Техподдержка сайта | API

Использование новостных материалов сайта возможно только при наличии активной ссылки на https://mipt.ru

МФТИ в социальных сетях