Адрес e-mail:

Методы классической механики и теории динамических систем

Лектор: Сахаров Александр Вадимович


Курс посвящен изучению основ современных методов анализа, используемых в механике и теории динамических систем. Основная цель курса состоит в том, чтобы на примере классических механических и динамических систем опробовать методы, позволяющие определять наличие или отсутствие в системах тех или иных свойств и эффектов, таких как наличие периодических траекторий, бифуркаций, хаоса. Как аналитические, так и численные методы будут реализованы с применением широко известных пакетов символьных вычислений и математического моделирования (Matlab, Wolfram Mathematica, Python). Курс рассчитан на слушателей, обладающих базовыми знаниями по аналитической геометрии, алгебре, математическому анализу, а также механике (в рамках общей физики).


Программа


1. Понятие динамической системы. Фазовое пространство. Непрерывные и дискретные динамические системы. Аттракторы, репеллеры и локальные бифуркации в одномерных непрерывных динамических системах.


2. Устойчивые, асимптотически устойчивые и неустойчивые положения равновесия. Устойчивость по линейному приближению. Двумерные непрерывные динамические системы. Классификация положений равновесия на плоскости: узел, седло, фокус, центр.


3. Локальные бифуркации в двумерных непрерывных динамических системах. Консервативные механические системы с одной степенью свободы. Фазовый портрет. Задача Ситникова. Модель «хищник — жертва». Бифуркация рождения предельного цикла (бифуркация Пуанкаре — Андронова — Хопфа). Уравнение Ван дер Поля и модель гликолиза Селькова.


4. Теорема об отсутствии предельных циклов для градиентных систем. Метод функций Ляпунова. Критерии Дюлака и Бендиксона. Теорема Пуанкаре — Бендиксона. Понятие об орбитальной устойчивости и устойчивости по Жуковскому. Критерий Пуанкаре асимптотической устойчивости периодического решения.


5. Элементы теории возмущений. Разделение системы на быстро-медленные переменные. Метод усреднения. Построение решения возмущенной системы в виде ряда по малому параметру. Секулярные члены. Метод Линштедта.


6. Одномерные дискретные отображения. Неподвижные и периодические точки. Лестница Ламерея. Логистическое отображение. Переход от регулярной к хаотической динамике: сценарий удвоения периода.


7. Хаотическая динамика и ее свойства. Отображение удвоения угла окружности. Отображение тент. Топологическая эквивалентность одномерных отображений. Показатель Ляпунова как количественная характеристика хаоса на примере логистического отображения.


8. Алгебра кватернионов. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела. Параметры Родрига–Гамильтона. Сложение поворотов. Группа SO(3). Уравнение Пуассона.


9. Анализ и прогнозирование временных рядов. Семейство моделей ARIMA.


Литература


1. Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. 3rd Edition, 2012. — P. 432.

2. Strogatz H. Steven. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Taylor&Francis. 2nd Edition, 2014. — P. 531.

3. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 428 с.

4. Анищенко В.С. Вадивасова Т.Е. Лекции по нелинейной динамике: учеб. пособие для вузов. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. — 516 с.

5. Мачулис В.В. Динамические системы. Специальный курс. Часть 1 — Тюмень: Вектор-Бук, 2005. — 130 с.

6. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984. — 528 с.

7. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. Физматлит, 2011. — 436 с.

8. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 184 с.

9. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций): Учеб. пособие для вызов. 2-е изд. перерав. и доп. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 2006. — 356 с.

10. Кузнецов А.П. Колебания, катастрофы, бифуркации, хаос. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. — 98 с.

11. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 2001.

12. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001; 3-е изд. — М.: Физматлит, 2008.
13. Амелькин Н.И. Динамика твердого тела: учеб. пособие. — 2-е изд. — М.: МФТИ, 2010.


Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2021 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Противодействие коррупции | Сведения о доходах

Политика обработки персональных данных МФТИ

Техподдержка сайта | API

Использование новостных материалов сайта возможно только при наличии активной ссылки на https://mipt.ru

МФТИ в социальных сетях