Адрес e-mail:

Методы классической механики и теории динамических систем

Лектор: Сахаров Александр Вадимович


Курс посвящен изучению основ современных методов анализа, используемых в механике и теории динамических систем. Основная цель курса состоит в том, чтобы на примере классических механических и динамических систем опробовать методы, позволяющие определять наличие или отсутствие в системах тех или иных свойств и эффектов, таких как бифуркации и хаос. Как аналитические, так и численные методы будут реализованы с применением широко известных пакетов символьных вычислений и математического моделирования (Matlab, Wolfram Mathematica, Python). Курс рассчитан на слушателей, обладающих базовыми знаниями по геометрии, алгебре, основам дифференциального и интегрального исчисления.


Программа


1. Понятие динамической системы. Фазовое пространство. Непрерывные и дискретные динамические системы. Аттракторы, репеллеры и локальные бифуркации в одномерных динамических системах.

2. Устойчивые, асимптотически устойчивые и неустойчивые положения равновесия. Устойчивость по линейному приближению. Двумерные динамические системы. Классификация положений равновесия на плоскости: узел, седло, фокус, центр.


3. Локальные бифуркации в двумерных динамических системах. Консервативные механические системы с одной степенью свободы. Фазовый портрет. Задача Ситникова. Модель «хищник — жертва». Бифуркация рождения предельного цикла (бифуркация Пуанкаре — Андронова — Хопфа). Уравнение Ван дер Поля и модель гликолиза Селькова.


4. Теорема об отсутствии предельных циклов для градиентных систем. Метод функций Ляпунова, критерий Дюлака и теорема Пуанкаре — Бендиксона.


5. Логистическое отображение. Переход от регулярной к хаотической динамике: сценарий удвоения периода. Понятие хаоса в динамических системах. Отображение тент и понятие о топологической сопряженности и полусопряженности отображений.

6. Символическая динамика. Пространство последовательностей и ее метрика. Отображение сдвига. Символическая динамика как метод изучения хаотических систем.

7. Простейшие фракталы. Размерность Хаусдорфа. Канторово идеальное множество: свойства и связь с хаосом в динамических системах. Подкова Смейла.


Литература


1. Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. 3rd Edition, 2012. — P. 432.

2. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций): Учеб. пособие для вызов. 2-е изд. перерав. и доп. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 2006. — 356 с.

3. Анищенко В.С. Вадивасова Т.Е. Лекции по нелинейной динамике: учеб. пособие для вузов. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. — 516 с.

4. Мачулис В.В. Динамические системы. Специальный курс. Часть 1 — Тюмень: Вектор-Бук, 2005. — 130 с.

5. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. Физматлит, 2011. — 436 с.

6. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 184 с.

7. Кузнецов А.П. Колебания, катастрофы, бифуркации, хаос. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. — 98 с.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях