Адрес e-mail:

Математические методы аналитической механики

Программа курса математические методы аналитической механики


Лектор: Батхин Александр Борисович


Дисциплина рассчитана на весенний семестр третьего курса МФТИ и будет полезна студентам, желающим познакомиться с современными методами и проблемами аналитической механики.


1. Аксиоматика классической механики
Постулаты классической механики. Понятие силы. Инерциальные системы отсчёта и законы Ньютона. Группа преобразований Галилея, инвариантность уравнений механики.

2. Кинематика точки и твёрдого тела
Элементы дифференциальной геометрии кривых в R𝑛: кривизна, кручение, трёхгранник Френе. Криволинейные координаты, коэффициенты Ламе. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах. Комплексная форма описания плоско-параллельного движения точки и твёрдого тела. Алгебра кватернионов. Кватернионное описание кинематики твёрдого тела. Параметры Родрига-Гамильтона. Кватернионное сложение поворотов. Кватернионное уравнение Пуассона. Описание прецессионного движения.

3. Лагранжев формализм
Связи и их классификация. Конфигурационное многообразие голономной системы. Обобщённые координаты и обобщённые скорости. Касательное расслоение и его свойства. Понятие гладкого многообразия. Уравнения Лагранжа голономной системы с идеальными связями и их свойства: ковариантность, невырожденность. Преобразование функции Лагранжа. Первые интегралы лагранжевой системы. Задача Кеплера. Комплексная форма уравнений движения. Понятие регуляризации уравнений движения. Сведение задачи Кеплера к задаче движения гармонического осциллятора. Законы Кеплера.

4. Гамильтонов формализм
Элементы выпуклого анализа: выпуклые функции и преобразование Юнга-Фенхеля. Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона и её свойства. Канонические уравнения. Скобки Пуассона и их свойства. Первые интегралы системы Гамильтона. Понятие группы преобразований и алгебры Ли. Алгебры Ли гамильтонианов и первых интегралов. Теорема Якоби-Пуассона. Свойства фазового потока системы Гамильтона: теорема Лиувилля и теорема Пуанкаре о возвращении.

5. Вариационные принципы механики
Понятие задачи вариационного исчисления с закреплёнными концами. Вариационный принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа. Варианты вариационного принципа (укороченное действие, принцип Мопертюи, принцип Якоби). Инфинитезимальная образующая группы симметрий. Теорема Э. Нётер. Законы сохранения основных динамических величин.

6. Некоторые приложения аналитической механики
6.1 Динамика вблизи положения равновесия (ПР). Принцип виртуальных перемещений. Теоремы об устойчивости и неустойчивости ПР. Движение вблизи ПР: малые колебания вблизи устойчивого ПР, понятие нормальной формы уравнений движения по Пуанкаре, центральное многообразие и движения на нём.
6.2 Движение твёрдого тела с неподвижной точкой. Тензор и эллипсоид инерции твёрдого тела. Случай Эйлера: первые интегралы, геометрическая
интерпретация Пуансо. Случай Лагранжа: первые интегралы. Свободная и вынужденная прецессия.
6.3 Периодические движения консервативной системы. Теория Флоке системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Задача о движении 𝑁-тел. Центральные конфигурации. Хореографии и принцип наименьшего действия.

Литература (основная)

1. Амелькин Н. И. Лагранжева и гамильтонова механика. — М. : МФТИ, 2014. — 112 с.
2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 3-е, испр. и доп. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 472 с.
3. Болотин С. В., Карапетян А. В., Кугушев Е. И., Трещёв Д. В. Теоретическая механика. — М. : Издательский центр «Академия», 2010. — 432 с.
4. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов. — 3-е. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005.
5. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — 2-е изд. — М : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
6. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. — 3-е изд. — М. : Физматлит, 2008. — 304 с.
7. Маркеев А. П. Теоретическая механика: учебник для университетов. — 3-е изд. — М. : Изд–во «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 592 с.

Литература (дополнительная)
8. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. — 3-е. — М. : Эдиториал УРСС, 2009. — 416 с.
9. Барбашова Т. Ф., Кугушев Е. И., Попова Т. В. Теоретическая механика в задачах. Лагранжева механика. Гамильтонова механика: Учебное пособие. — М. : МЦНМО, 2013. — 392 с.
10. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твёрдого тела. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 384 с.
11. Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. — 2-е изд. — М. : Изд–во МГУ, 2000. — 719 с.
12. Лидов М. Л. Курс лекций по теоретической механике. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 496 с.
13. Поллард Г. Математическое введение в небесную механику. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2012. — 188 с.
14. Симо К., Смейл С., Шенсине А. Современные проблемы хаоса и нелинейности. — Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2002. — 304 с.
15. Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. — Ижевск : Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. — 588 с.
16. Ханукаев Ю. И. Кватернионы в механике, релятивистской физике, теории поля: учебное пособие. — М. : МФТИ, 2012. — 200 с.
17. Шенсине А. Четыре лекции о задаче 𝑁-тел // Математическое введение в небесную механику / Г. Поллард. — М.–Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2012. — С. 21—52.
18. Яковенко Г. Н. Краткий курс аналитической динамики. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. — 238 с.
19. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. — М. : Наука, 1972. — 720 с.
20. Ярошевский В. А. Лекции по теоретической механике: учебное пособие. — М. : МФТИ, 2001. — 244 с.
Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li soc-yt
Яндекс.Метрика