Кватернионы в геометрии, механике, релятивистской физике, теории поля
Программа курса кватернионы в геометрии, механике, релятивистской физике, теории поля для студентов 2–5 курсов МФТИ
Кватернионные методы, относящиеся к современным методам теоретической механики, нашли эффективное применение в навигации, управлении движением тел, небесной механике, механике космического полёта, приборостроении, робототехнике, релятивистской механике, теории поля, компьютерной графике. Наряду с изложением доказательств теории Гурвица и Фробениуса, ставящих алгебру кватернионов в один ряд с алгеброй вещественный и комплексных чисел, уделено внимание конкретным вопросам применения кватернионов и октав в механике, теории поля.
1. Гиперкомплексные числа
- арифметики чисел;
- алгебра кватернионов;
- кватернионы и векторная алгебра;
- процедура удвоения, октавы;
- кольцо, тело, поле, алгебры;
- изоморфизм двойных, дуальных, комплексных чисел, матриц;
- изоморфизм гиперкомплексных чисел, кватернионов, матриц, тензоров;
- исключительность алгебр действительных и комплексных чисел, кватернионов, октав (теоремы Фробениуса, Гурвица).
2. Винтовое исчисление
- системы скользящих векторов, мотор и винт;
- аналитическая теория винтов - дуальная векторная алгебра;
- дуальное исчисление (умножение на число, дуальный угол, скалярное умножение винтов, винтовое умножение винтов, дифференцирование, интегрирование…);
- аналитическая теория винтов в дуальном векторном пространстве;
- дуальные кватернионы;
- принцип перенесения.
3. Теория конечных перемещений твёрдого тела
- повороты тела с неподвижной точкой;
- конечные винтовые перемещения твёрдого тела;
- общая теория винтов и динамика твёрдого тела.
4. Кватернионы в релятивистской физике
- преобразования Лоренца, пространство Минковского;
- динамика релятивистской частицы (функция Лагранжа, Гамильтона, Уиттекера).
5. Кватернионы и октавы в теории поля
- уравнения Максвелла;
- форминвариантность уравнений поля;
- поля кватернионов как обобщение уравнений Максвелла;
- поля октав.
Литература
1. Кантор И.Л. Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Изд. «Наука», 1973.
2. Диментберг Ф.М. Теория винтов и её приложения. – М.: Изд. «Наука», 1978.
3. Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачёв Е.А. Кватернионы в релятивисткой физике. Минск. «Наука и техника», 1989.
4. Котельников А.П. Теория винтов и комплексные числа. Сб. «Некоторые приложения идей Лобачевского в механике и физике». Изд. «КомКнига», 2006.
5. Гохман Э.Х. Моторное исчисление и его приложение к механике твёрдого тела. Тр. Одесского института инженеров водного транспорта, 1935.
6. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твёрдого тела и их приложения – М.: Физматлит, 2006.
