Адрес e-mail:

Интегрируемые системы гамильтоновой механики

Лектор: Соколов Сергей Викторович



Предполагается, что слушатели владеют математическим анализом, линейной алгеброй, простейшими понятиями дифференциальной геометрии, обыкновенными дифференциальными уравнениями, аналитической механикой в объеме первых двух курсов. Понятия выходящие за рамки вышеперечисленных дисциплин будут вводиться в самом курсе.


Программа


1. Уравнения Гамильтона. Уравнения Эйлера-Пуассона на алгебрах Ли. Примеры: колебания, движение твердого тела с голономными и неголономными связями, задача N тел, некоторые задачи математической физики.


2. Интегралы. Инвариантные соотношения. Группы симметрий. Полная интегрируемость. Примеры. Разделение переменных. Представление Гейзенберга. Алгебраическая интегрируемость. Теория возмущений. Нормальные формы.


3. Топология конфигурационного пространства интегрируемой системы. Геометрические препятствия к интегрируемости. Топологические препятствия к существованию линейных интегралов. Симметрии. Случай систем с двумя степенями свободы.


4. Метод Пуанкаре. Группы симметрий. Критерий интегрируемости для тригонометрического потенциала. Рождение изолированных периодических решений. Асимптотические поверхности и условия их расщепления. Бифуркации сепаратрис.


5. Метод Зигеля. Неинтегрируемость систем, зависящих от параметра. Ветвление решений и отсутствие однозначных интегралов. Метод малого параметра Пуанкаре. Группы монодромии гамильтоновых систем с однозначными интегралами. Метод Биркгофа. Возмущения гамильтоновых систем с некомпактными инвариантными поверхностями. Влияние гироскопических сил.


Литература


1. Маркеев А.П. Теоретическая механика. ЧеРо, 1999.

2. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. Физматлит, 2008.

3. Татаринов Я.В. Лекции по аналитической динамике. МГУ, 1984.

4. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. ГИФМЛ, 1963.

5. Ламб Г. Гидродинамика. Гостехиздат, 1947.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. Наука, 1979.

7. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. // Совр. пробл. мат. Фунд. направл. Т.3. ВИНИТИ, 1985.

8. Козлов В.В. Общая теория вихрей. Удмуртский университет, 1998.

9. Леонов Г.А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения. РХД, 2006.

10. Гориэли А. Интегрируемость и сингулярность. РХД, 2006.

11. Kozlov V.V. Linear Hamiltonian Systems: Quadratic Integrals, Singular Subspaces and Stability, Regular and Chaotic Dynamics (2018) v. 23, n. 1, pp. 26-46.


Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях