Адрес e-mail:

Динамические системы и методы математического моделирования

Программа курса динамические системы и методы математического моделирования


Лектор: Притыкин Дмитрий Аркадьевич


В курсе на популярном уровне даются основные понятия теории динамических систем и обсуждаются методы их исследования. Цель курса состоит не столько в серьёзном изучении математических теорий, сколько в том, чтобы обозначить ряд возникающих проблем и наметить подходы к их исследованию.


Курс состоит из двух основных частей, которые могут быть условно озаглавлены: "кто виноват?" (в сложном поведении систем) и "что делать?" (с подобными системами). В первой части внимание уделяется теории устойчивости и бифуркаций, теории фракталов и размерности, теории гамильтоновых систем, анализируются  нелинейные эффекты, связанные с возникновением хаоса в динамических системах. Математическая строгость материала сознательно приносится в жертву наглядности, и весь материал скорее обсуждается на примерах, с помощью "весёлых картинок" и анимаций. Вторая часть курса посвящена методам имитационного моделирования сложных систем. 


Уровень подготовки студентов для понимания излагаемого материала примерно соответствует второму курсу МФТИ (аналитическая геометрия, математический анализ, дифференциальные уравнения, теоретическая механика).


Продолжительность курса - 1 семестр (14 лекций), после каждой лекции слушателям предлагается решить ряд "лёгких домашних упражнений" для закрепления пройденного материала. Решение домашних упражнений предполагает использование математических пакетов (например, Wolfram Mathematica). Зачёт выставляется на основании количества решённых домашних задач.


1. Понятие о динамических системах. Математическая модель динамической системы. Фазовое пространство. Фазовая траектория. Консервативные и диссипативные системы. Линейные и нелинейные системы. Потоки и каскады. Примеры динамических систем разной физической природы.


2. Регулярная динамика. Бифуркации. Фазовые потоки на прямой. Геометрическое представление решений ОДУ. Линеаризация вблизи неподвижной точки. Бифуркации фазовых потоков на прямой. Фазовые потоки на плоскости. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. Предельные циклы. Бифуркации фазовых потоков на плоскости. Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.


3. Характеристики динамического хаоса. Эргодичность и перемешивание. Отображение Пуанкаре. Показатель Ляпунова.


4. Понятие аттрактора и бассейна в динамических системах. Хаос в одномерных отображениях и диссипативных системах. Треугольное отображение. Логистическое отображение. Примеры хаотического поведения в непрерывных динамических системах. Аттракторы Лоренца и Рёсслера. Построение и интерпретация отображения Пуанкаре. Вычисление показателей Ляпунова.


5. Фракталы и хаотическая динамика. Понятие фрактального множества. Рекурсивное построение фракталов (ковер Серпинского, кривая Дракона).  Множества Мандельброта и Жюлиа. Связь фракталов с каскадом бифуркаций. Фрактальная размерность. Размерность и геометрическая структура аттракторов. Примеры хаотических и не хаотических аттракторов. Понятие странного аттрактора. Примеры систем, обладающих странными аттракторами.


6. Логистическое отображение и переход к хаосу. Неподвижные точки и их устойчивость. Каскад бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу Окна периода 3 в области хаотического режима. Самоподобие. Масштабная инвариантность. Универсальность Фейгенбаума. Непрерывные системы и переход к хаосу через бифуркации удвоения периода. Другие сценарии перехода к хаосу. Турбулентность.


7. Модель неустойчивого движения. Подкова Смейла. Символическая динамика. Сдвиг Бернулли.


8. Гамильтоновы системы. Интегрируемость гамильтоновых систем. Теорема Лиувилля-Арнольда. Элементы теории возмущений интегрируемых гамильтоновых систем. Элементы теории КАМ. Нелинейный резонанс.


9. Автоколебания. Переход от осциллятора Ван-дер-Поля к системе реакции-диффузии. Автоволны. Уравнение эйконала. Спиральные волны.


10. Методы Монте Карло в математическом моделировании. Общее понятие о группе методов Монте Карло. Примеры вычисления числа пи. Примеры вычисления интегралов. Вычисление многомерных интегралов. Случайные блуждания и уравнение теплопроводности. Алгоритм Метрополиса-Гастингса. Сэмплирование. Алгоритм имитации отжига. Модели Изинга и Поттса.


11. Клеточные автоматы. Классификация и примеры. Моделирование роста шероховатой поверхности. Моделирование процесса образования речного русла. Модель Поттса для формирования сердечной ткани.


12. Модели самоорганизованной критичности. Модель кучи с песком (BTW-модель). Горение лесных массивов. Основы теории перколяции. Основная терминология. Постановки задач. Примеры применения. Перколяционные задачи и степенные законы распределения вероятностей.


Литература

1. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е. Лекции по нелинейной динамике. – М.–Ижевск: изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 2011.

2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., «Математические аспекты классической и небесной механики». – М.: УРСС, 2002.

3. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Структуры и хаос в нелинейных средах. – М.: Физматлит, 2007.

4. Бак П. Как работает природа: теория самоорганизованной критичности. – М.: 2013.

5. Белецкий В.В.  Регулярные и хаотические движения твёрдых тел.. – М.–Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2007.

6. Булавин Л.А., Выгорницкий Н.В., Лебовка Н.И.  Компьютерное моделирование физических систем. ИД Интеллект, 2011.

7. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику». – М.: «Наука», 1988.

8. Заславский Г.М. «Физика хаоса в гамильтоновых системах». – М.–Ижевск: 2004.

9. Ильяшенко Ю.С. Избранные задачи теории динамических систем. – М.: МЦНМО - 2011.

10. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. – М.: Факториал. 1999.

11. Лихтенберг А.Либерман М. - Регулярная и стохастическая динамика. – М.: Мир, 1984.

12. Спротт Дж.К. Элегантный хаос: алгебраически простые хаотические потоки. 2012.

13. Табор М. «Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике». – М.: УРСС, 2001.

14. Шустер Г. «Детерминированный хаос. Введение». – М.: Мир, 1988.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li soc-yt
Яндекс.Метрика