Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

1.2.4. Трансцендентальная эстетика

Так называется раздел кантовской системы, в котором анализируются априорные механизмы, присутствующие  в самом чувственном опыте. Эстетикой Кант, в отличие от современного значения  этого слова, называет здесь учение о чувственном познании.  А понятие «трансцендентальное» относится к выходящим  за пределы  опыта условиям возможности этого опыта. Что это значит?   Нам наш чувственный опыт представляется «просто» результатом воздействия внешних предметов на наши органы чувств. Мы отнюдь не замечаем при этом – и в принципе не могли бы заметить, - что мы не просто воспринимаем, но привносим в воспринимаемый предмет нечто от себя. В этом смысле априорные синтезирующие механизмы выходят за пределы любого возможного опыта, ибо мы не воспринимаем их. В то же время, опыт был бы невозможен без этих синтезирующих механизмов, ибо, как объясняет Кант, опыт есть синтез данных чувственного восприятия согласно некоторым априорным принципам; без них опыт был бы не знанием, а набором восприятий.

Нормальному человеческому опыту присущи некоторые формы, которые априори привносятся в опыт субъектом. Все, что мы ни воспринимаем, все впечатления внешнего мира представляют собой восприятия вещей в пространстве и времени. Может быть, в будущем, на далеких планетах, в недрах земли или мирового океана человечество будет наблюдать самые неожиданные явления. Но, какими бы они ни были неожиданными, мы можем предсказать, что они будут происходить в пространстве и времени.  И, поскольку мы не можем вообразить ничего вне времени и никакой внешней вещи - вне пространства, то Кант делает вывод об априорном характере пространства и времени.

Но разве не опыт учит младенца тому, что все вещи располагаются в пространстве?  Нет, говорит Кант,   «представление о пространстве должно уже быть дано заранее, чтобы те или иные ощущения были относимы к чему-то вне меня (т.е. к чему-то в другом месте пространства, а не в том, где я нахожусь) а также  для того, чтобы я мог представлять их ….не только как различные, но как находящиеся в разных местах. ….сам внешний опыт становится возможен благодаря представлению о пространстве» [Кант, Т. 3, с. 130].

Пространство и время - это не понятия, а априорные формы созерцания. Точнее,  пространство есть  форма внешнего чувства (т.е. форма восприятия чего-либо как находящегося вне нас), тогда как  время есть  форма внутреннего чувства, что означает организацию всего нашего внутреннего опыта, как потока ощущений, переживаний и пр., следующих друг за другом. Все внешнее мы воспринимаем рядоположно, а все свои  внутренние  переживания - последовательно.

Обратим внимание также на то, что пространство и время  являются  именно формами созерцания. Они определяют собой не содержание, не характер или своеобразие тех или иных ощущений, а только общую форму их организации. Априорные формы чувственности функционируют одновременно с актами чувственного восприятия, синтезируя многообразные данные чувственного восприятия в формы пространства и времени. Благодаря этому получается, что все воспринимаемые нами предметы обладают определенными пространственными характеристиками. Например, они трехмерны. Таким образом, априорные формы чувственности, определяя характер нашего восприятия, определяют и предмет нашего восприятия. Ниже мы еще вернемся к этой теме.

В то же время, Кант утверждает, что познающий субъект способен и к «чистому, внечувственному созерцанию».  Он называет созерцание чистым, когда оно свободно от элементов   чувственной данности. Но что же это за созерцание, свободное от эмпирической данности? Что именно созерцается в акте чистого созерцания?  - Сама форма возможных предметов чувственного созерцания, т. е. пространственность и временность как таковые. Свидетельством того, что познающий субъект действительно обладает такой способностью, являются, по Канту, математические науки – арифметика и геометрия.

Поэтому учение о пространстве и времени как априорных формах созерцания является основанием для ответа на поставленный в начале исследования вопрос, как возможна математика?

Для Канта,  характерная черта математики  состоит в том, что она должна представить свой объект в созерцании. Но это есть чистое, нечувственное созерцание, а вовсе не созерцание эмпирически существующих объектов. Такое созерцание представляет собой конструирование соответствующего объекта.  Возьмем, например, утверждение: “Треугольник имеет три стороны”. Оно  априорное (потому что треугольники, о которых говорит геометрия, не являются эмпирическими объектами, встречающимися в опыте) и синтетическое (потому  что в понятии треугольника мыслится фигура, имеющая три угла, и не более того). Благодаря чему возможно подобное априорное синтетическое утверждение? Благодаря тому, что мы  как бы построили пред своим умственным взором некий треугольник вообще, и потому знаем, что иначе как с тремя сторонами его построить нельзя. Т.е. конструируя такой объект, я создаю этим условие, при котором отдельные единичные треугольники только и могут мыслиться. И в то же время мы построили  его как конкретный единичный объект (точнее, это схема конструирования произвольного треугольника!) и потому можем его созерцать и формулировать относительно него  синтетические  и необходимые суждения.

Геометрия опирается на априорное созерцание пространства, а арифметика – на априорное созерцание времени.

Кант объясняет это на примере    арифметического суждения   “7+5=12”. Кант доказывает, что подобное суждение  является синтетическим априори, обосновывая это  следующим образом: “понятие суммы 7 и 5 содержит только соединение  этих двух чисел в одно, и от этого вовсе не мыслится, каково то число, которое охватывает оба слагаемых. И сколько бы я ни расчленял свое понятие возможной  суммы, я не найду в нем числа 12. Для этого необходимо выйти за пределы этих понятий, прибегая к  помощи созерцания,  соответствующего одному из них, например, своих пяти пальцев, или ...пяти точек, и присоединять постепенно единицы числа 5, данного в созерцании, к понятию семи” [Кант, Т. 3, с.114 – 115].

Таким образом, Кант обосновывает свою трактовку математики как науки, в которой определяющую роль играют синтетические суждения априори, доказывая, что рассуждения в геометрии и арифметике опираются на представления особого рода:  созерцание конкретного, и одновременно  всеобщего объекта, который на самом деле является схемой построения возможных объектов определенного рода.

Однако современная математика далеко выходит за пределы арифметики и евклидовой геометрии, о которых рассуждал Кант. Она конструирует объекты, которые очень трудно себе представить в наглядном созерцании. Современная  наука, далее,  признает  геометрией физического пространства неевклидову геометрию. И это заставляет поставить вопрос о том,  устарело или не устарело кантово понимание математики.

Разумеется, дальнейшее развитие математики и точного естествознания потребовало развития и модификации кантовских идей. Это осуществили, например, неокантианцы, о которых пойдет речь в конце данной главы. И в то же время можно привести аргументы в пользу того, что кантовский подход и его основные идеи не утратили своей актуальности.

Например, Кант рассматривает евклидову геометрию как «встроенную» в наш аппарат чувственного восприятия и, вследствие этого, в структуру чувственно воспринимаемого мира. Именно благодаря этому предложения евклидовой геометрии, с его точки зрения, являются синтетическими априорными истинами.  В какой мере устарело это его представление?  Поскольку мы продолжаем прилагать евклидову геометрию к миру нашего опыта, оно не очень устарело. Конечно, современная математика создала много теорий и конструкций, отличающихся от описаний Канта. Но она не изменила наше восприятие мира и наши способы счета окружающих нас предметов. А Кант связывает евклидову геометрию и арифметику с априорными формами восприятия, а не с априорными понятиями.

Кантово утверждение, что равенство 5+7=12 является синтетическим  и требует определенного созерцания, также часто вызывает возражения у современных студентов, особенно тех, кто знаком с идеями логицизма и формализма[1]. Суть возражения состоит в том, что все арифметические утверждения являются дедуктивными следствиями из некоторого набора аксиом или рекурсивных схем.  Эти схемы определяют все свойства чисел. Поэтому никакого конструирования арифметического объекта для созерцания не происходит и не требуется.

Для ответа на подобное возражение мы воспользуемся идеями Анри Пуанкаре, выдающегося математика, который придерживался убеждения в существовании синтетических априорных принципов, на которые опирается математическое познание.

Пусть имеется полная и адекватная система аксиом арифметики или евклидовой геометрии, и, работая в рамках этой аксиоматики, математик уже не прибегает ни к каким созерцаниям. Но что позволяет ему утверждать, что доказываемые им теоремы являются теоремами арифметики (евклидовой геометрии?). Не требуется ли для этого изначальное содержательное представление об объектах этих теорий?

Далее, допустим, что в арифметической теории имеется рекурсивная схема, определяющая, что такое число. Однако для того, чтобы такая схема давала нам определение любого числа, она должна опираться на неявное допущение возможности повторения одной и той же операции (взятие объекта,  «следующего за») сколько угодно раз. А подобное допущение, составляющее необходимый компонент принципа математической индукции, близко тому, что Кант говорит об интуиции времени, лежащей в основе арифметики.

Кант  осуществил очень тонкий анализ, который позволил указать на эту необходимую интуицию, первичную даже по отношению к доказательствам  логицистов.  Как утверждал А. Пуанкаре,  математическая индукция является синтетическим априори принципом, лежащим в основе и арифметики, и всех доказательств адекватности любых формальных систем. В самом деле, доказательства того, что некоторая формальная система непротиворечива и способна выражать именно арифметику, используют математическую индукцию.

Часто утверждают также, что современные математические теории аналитичны, ибо представляют собой дедуктивные следствия из принятых аксиом.

Однако при этом забывают, что: во-первых,  сами аксиомы не являются аналитическими (они не являются частным случаем закона тождества хотя бы потому, что существуют системы с взаимоисключающими аксиомами).  Во-вторых, идея “предзаложенности всех теорем в аксиомах” имеет смысл в  случае, когда имеется эффективная «процедура разрешения» (т.е. установления того, является ли некоторое предложение теоремой системы или нет) либо можно указать какое-то общее свойство аксиом, сохраняемое правилами вывода (истинность, например).

Чтобы говорить об истинности аксиом, надо иметь модель, относительно  которой аксиомы истинны. Но откуда берется такая модель? Не из   содержательных ли рассмотрений? 

В то же время, для большого количества нетривиальных и сильных систем не существует процедуры разрешения, как и доказательства непротиворечивости. И это означает, что идея «предзаложенности всех теорем в аксиомах» не имеет достаточно определенного и четкого смысла. Например, учтем, что теоремы  не вытекают из аксиом сами собой. Их выводят люди. Иногда для этого создаются особые конструкции, неожиданные методы рассуждения. Представим себе ситуацию, когда математик, имевший опыт работы с  одними системами,  начиная работать  с совсем другими аксиоматическими системами, в другой области математики, вдруг видит возможность ввести на основе непривычной для него аксиоматики структуры, ему привычные, и так получить веер результатов, аналогичных привычной ему области.  Было ли это предзаложено в аксиомах или нет?

Возможность задавать вопросы такого рода показывает, что кантовская трактовка предложений математики  не утратила своей актуальности.

Подведем предварительные итоги.

Кантова трансцендентальная эстетика показывает, что чувственный опыт  имеет сложную структуру.  Его невозможно рассматривать как простой результат воздействия внешнего предмета на наши органы чувств. Внешние предметы, по Канту, воздействуют на наши органы чувств, но познающий субъект при этом не является пассивным регистратором этих воздействий. Субъект выступает как  единство пассивности и активности; восприимчивости и спонтанности.

Таким образом, познающий субъект  изначально -  не “чистая дощечка, свободная от каких бы то ни было знаков”. Скорее, в духе кантианской философии, познающего субъекта надо уподобить компьютерной программе, определенным образом обрабатывающей данные, поступающие на его вход. Все чувственные восприятия  упорядочиваются в некоторой координатной сетке, образуемой временем, имеющим одно измерение, и пространством, имеющим три измерения.

Отсюда становится понятным,  почему  арифметика и евклидова геометрия  применимы к познанию внешнего мира. Ведь эти науки, по Канту,  формулируют законы той самой координатной сетки, посредством  которой мы организуем многообразие полученных нами чувственных впечатлений в  трехмерную реальность, к которой и привыкли.  

Обычный здравый рассудок считает  ее  не зависящей от него реальностью. Но так ли это? Если пространство и время являются формами нашего чувственного восприятия, то какие у нас основания считать, что вещи сами по себе, не зависимые от нашего сознания, рядоположны в пространстве и последовательны во времени?  Поэтому Кант подчеркивает, что  созерцания дают нам только явления, а не вещи сами по себе: “…наше чувственное представление никоим образом не есть представление о вещах самих  по себе, а есть представление только о том способе, каким они нам являются” [Кант, Т. 4.,Ч.1, с.103]. «Все, что может быть дано нашим чувствам (внешним – в пространстве, внутреннему – во времени), мы созерцаем только так, как оно нам является, а не как оно есть само по себе…» [Кант, Т. 4. Ч.1, с.101]

Итак, Кант противопоставляет явление и вещь саму по себе. Вещь сама по себе (иногда говорят «вещь в себе»)  независима от нашего восприятия ее. Она существует вне сознания. Кант  утверждает, что вещи сами по себе существуют. Многообразие чувственных впечатлений, с которых начинается наше познание внешней реальности,  вовсе не есть порождение познающего субъекта. Он не вытягивает их из себя, как паук – паутину. Нет, они  возникают у нас  благодаря тому, что вещи сами по себе каким-то образом воздействуют на наш воспринимающий аппарат - аффицируют его, как выражается Кант. Но, тем не менее, в каждом акте восприятия задействован весь априорный аппарат познающего  субъекта. Благодаря этому, воспринимаемый объект  несет в себе структуру этого априорного аппарата.  Априорная форма восприятия оказывается одновременно и необходимой формой любого возможного объекта восприятия.   Условия возможности опыта, таким образом, являются  условиями  возможности объектов опыта.

В силу этого,  у нас нет никаких оснований надеяться на то, что явления «похожи» на вещи сами по себе. «Нам даны вещи как вне нас находящиеся предметы наших чувств, но о том, каковы они сами по себе, мы ничего не знаем, а знаем только их явления, т.е. представления, которые они в нас производят, воздействуя на наши чувства, - говорит Кант. – Следовательно, я, конечно, признаю, что вне нас существуют тела, т.е. вещи, относительно которых нам совершенно неизвестно, каковы они сами по себе, но о которых мы знаем по представлениям, доставляемым нам их влиянием на нашу чувственность и получающим от нас название тел, - название, означающее, таким образом, только явление того неизвестного нам, но тем не менее действительного предмета» (Кант. Т.4. Ч.1, с.105].

Таким образом, учение Канта показывает нам, сколь сложную структуру имеет опыт. Поэтому отождествление  знания, данного посредством опыта, с апостериорным  знанием, неправомерно. А ведь именно на таком отождествлении базировался классический эмпиризм, а впоследствии позитивизм.  При этом надо учесть, что опыт, согласно кантианскому учению, имеет еще более сложную структуру, ибо в его формировании участвует также и рассудок с собственными априорными структурами.

Раздел  кантовского исследования,  посвященный выявлению и рассмотрению работы априорных структур рассудка,    называется трансцендентальной  логикой. Эта логика, в свою очередь, подразделяется на трансцендентальную аналитику и   трансцендентальную диалектику.


[1] Логицизм – направление в философии математики, восходящее к Лейбницу. Основная идея заключается в том, что математические утверждения представляют собой частный случай законов логики.  В  XIX  для обоснования этой позиции  Г. Фреге предпринял реформу логики  и создал новую, математическую логику.  В   ХХ веке логицизм активно защищали Б. Рассел, Р. Карнап и  др. Для логицистов, законы логики неопровержимы, потому что неинформативны (являются логическими тавтологиями), например: «если всякий предмет обладает свойством А, то существует предмет, обладающий свойством А», « если  суждение р истинно, то  суждение р истинно» и т. п. Тогда математические утверждения должны выступать либо как результаты подстановки в подобные логические аксиомы определений математических понятий, либо как дедуктивные выводы из таких подстановок.

Формализм – это еще одно влиятельное направление в философии математики ХХ века. Его связывают обычно с именем Д. Гильберта.  Одним из аспектов программы  формализма являлось представление арифметики, евклидовой геометрии (да и любой другой математической теории)  как системы графических объектов – математических символов, с которыми оперируют по явно заданным правилам и аксиомам, полностью отвлекаясь от их смысла. См. подробнее: Клини Ст. Введение в метаматематику.  Френкель А. , Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. – М., 1966.

 Общая идеология обоих направлений заставляла смотреть на математику как на аксиоматическую систему, в которой  математические предложения, будучи дедуктивными следствиями из аксиом,  не несут никакой информации, кроме той, которая уже содержится в аксиомах и не опираются ни на какие созерцания. 

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика