Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Основания статистической физики и кинетики и их связь с классической механикой

УДК 165; 501

Основания статистической физики и кинетики и их связь с классической механикой[1]

Липкин А.И.

Московский физико-технический институт (государственный университет), Москва

Во многих учебниках приводится “вывод” статистической механики из классической посредством рассмотрения многочастичной механической системы. Такой “вывод” провоцирует популярный вопрос: как обратимые уравнения классической механики порождают необратимые уравнения (и процессы) статистической механики?[2]

Но что представляет собой этот “вывод”, является ли он действительно выводом (тогда упомянутый вопрос законен), или, на что указывал один из создателей молекулярной и статистической физики Дж. Максвелл, это, как и в случае с электродинамикой, лишь “аналогия”, служащая путеводной нитью для введения дополнительных постулатов (тогда упомянутый вопрос не законен). Я попытаюсь показать, что имеет место последнее.

Исторически и логически (и это отражено в структуре всех учебников по статистической физике) статистическая физика (механика) вырастает из молекулярно-кинетической теории теплоты. Корни последней уходят к корпускулярной гипотезе античных натурфилософов, в рамках которой теплота рассматривалась как род движения. Параллельно этому в XVIII — начале XIX веков развивалась модель термодинамики на базе модели сплошной среды в виде невесомой жидкости, получившей название “теплорода”. Широкое распространение и длительное господство теории теплорода привело к тому, что корпускулярная гипотеза античных натурфилософов “мало-помалу забывалась вместе с трудами, в которых она излагалась. Этому обстоятельству в значительной степени способствовало... и отсутствие теоретической и экспериментальной основы, на которой могла бы развиваться корпускулярная гипотеза” [2, с. 260].

Переходу от натурфилософских (характерных для М.В.Ломоносова, Д.Бернулли, Б.Румфорда) к естественнонаучным моделям способствовали труды Р.Клаузиуса и Дж.Джоуля, где разрабатывался принцип эквивалентности теплоты и работы и некоторые дополнительные элементы молекулярно-кинетической модели. Но решающими были работы Л.Больцмана и Дж. Максвелла, где была сформулирована молекулярная модель теплоты на базе новой механической многочастичной модели газа, представленного как совокупность молекул в виде абсолютно твердых упругих шариков (не последнюю роль здесь сыграла аналогия с бильярдом). К этой модели Максвелл добавил представление о случайном характере движения молекул в газе – первая формулировка гипотезы «молекулярного хаоса», используя методы теории вероятности, получил вероятность распределения молекул по скоростям. Максвелл формулировал задачу так: “В целях создания основы для подобных исследований (детального теоретического исследования явлений переноса в газах – А.Л.) на строгих принципах механики я изложу законы движения неопределенного количества малых твердых и совершенно упругих шаров, действующих друг на друга только во время столкновения. Если окажется, что свойства подобной системы тел соответствуют свойствам газов, то этим будет создана важная физическая аналогия, которая может привести к более правильному познанию свойств материи” (Выд. – А.Л.) [2, с. 277]. Кроме того, Больцманом было введено важное для молекулярно-кинетической теории понятие степеней свободы[3] . В результате была создана статистическая многочастичная модель системы в молекулярной физике – совокупность очень большого числа молекул, движущихся случайным образом.  

На базе этой механической многочастичной модели уже в сер. 19 в. были получены основные термодинамические соотношения – уравнение состояния для идеального газа (закон Бойля-Мариотта), связывающее давление, объем и температуру (путем приравнивания средней кинетической энергии (живой силы) величине kБT (T – температура, kБ – постоянная Больцмана)), а также выражения для диффузии и теплопроводности[4] (см., например [7, гл. 1 и 3]).

Статистическая физика (и кинетика) развивает идеи статистической многочастичной модели молекулярной физики. Статистическая (и кинетическая) система представляет собой множество элементов (молекул), обладающих определенными внутренними характеристиками (степенями свободы) и находящимися в некотором случайном движении (процессе). Состояние этой системы определяет значение наблюдаемых средних значений (для классического и квантового случаев)

для соответствующих измеримых величин Fi (для квантового случая их представляют операторы Fi op -  их математические образы), набор которых зависит от конкретной задачи). r (p,q) - функция распределения вероятности (для квантового случая rop – матрица плотности) является математическим образом состояния статистической (и кинетической) многочастичной системы, подобно волновой функции в квантовой механике [13]. Система понятий статистической (и кинетической) физики отвечает общей структуре раздела физики, описанной в [12-14] (в центре ее лежит описание изменений как перехода физической системы из одного состояния в другое).

Отличие многочастичной (многоэлементной) модели в  динамической и статистической физике (механике) состоит, в первую очередь, во введении вероятности[5] . Последнее делается (для классических систем) посредством представляющего состояние статистической системы “ансамбля” многочастичных “динамических” систем[6] : данному состоянию многоэлементной статистической системы ставится в соответствие множество состоящих из таких же элементов многоэлементных (многочастичных) динамических систем. Каждый элемент такой динамической системы находится в различных элементарных динамических состояниях (микросостояниях). Состоянию многочастичной динамической системы отвечает математический образ в виде точки в фазовом пространстве и полагается (постулат!), что все состояния многочастичных динамических систем, обладающие одинаковой энергией, равновероятны (обобщение гипотезы молекулярного хаоса) и “равные элементарные фазовые объемы равновероятны” [6, с. 28; 11, с. 390].

Эта посредующая процедура введения понятия состояния физической системы в статистической физике была намечена Максвеллом, развита  Больцманом и обобщена Гиббсом. Она содержит ряд постулатов и поэтому говорить о “выводе” статистической механики (шире – физики) из динамической не приходится.

Больцман для этого использует модель перестановок по различным динамическим «микросостояниям» молекул. “Предположим, – говорит Больцман в статье “О связи между вторым началом механической теории теплоты и теорией вероятностей...” (1877), – что мы имеем n молекул. Пусть каждая из них может принимать значение живой силы (кинетической энергии – А.Л.) 0, e, 2e, 3e, …, pe. Эти живые силы должны быть распределены всеми возможными способами между n молекулами, причем так, что полная сумма живых сил всех молекул всегда остается одной и той же, например равной le=L. Каждый такой способ распределения... мы будем называть комплексией (которая представляет определенное состояние динамической многочастичной системы. – А.Л.)... Теперь зададимся вопросом о числе b комплексий, в которых w0 молекул имеют живую силу 0, w1 молекул – живую силу e, w2 молекул – живую силу 2e и т.д. ... wp молекул – живую силу pe ... Мы можем сказать: b показывает сколько комплексий при некотором распределении соответствует состоянию, в котором w0 молекул имеют живую силу 0, w1 молекул – живую силу e, w2 молекул – живую силу 2e и т.д.; иными словами оно определяет вероятность этого распределения состояний («микросостояний» – А.Л)”. “b представляет собой не что иное, как число перестановок из элементов распределения состояний, в силу чего b будет называться перестановочностью соответствующего распределения состояний (микросостояний – А.Л.)” [1, с. 193-194, 237]. Предполагая, что все сочетания равновероятны (!), Больцман получает, что с наибольшей вероятностью реализуется состояние, которому отвечает максимальное число перестановок, т.е. отвечающее максимальной величине перестановочности”. Это и есть равновесное состояние системы. Логарифм же от “перестановочности” обладает (с точностью до знака) свойством энтропии (“H-теорема Больцмана”[7]). В этой логике не важно какие частицы – классические или квантовые. Но для вывода полученных Больцманом выражений существенно, что число молекул и состояний очень велико. Система в статистической механике состоит из большого числа одинаковых (!) элементов, задающих определенный по количеству и, главное, качеству (“природе” в терминологии Гиббса) набор ее степеней свободы, зависящий от динамических свойств элементов и внешних условий (сил и границ).

Больцман работал с моделью газа. Последовательное описание “метода ансамбля” в общем случае для равновесной статистической механики (физики) принадлежит Гиббсу[8]. Гиббс, вслед за Больцманом (1871), вводит центральное для своего подхода понятие – “статистический ансамбль”, представляющий состояние системы. Гиббс (значение которого состоит в детальной разработке математического представления статистической физики) опирается на представление об “ансамбле тождественных по своей природе механических систем (динамических – А.Л.), подверженных действию сил с одинаковыми законами” [3, с. 358].

Подчеркнем, что говоря об этом ансамбле, говорят о представлении в статистической механике состояния системы, а не системы (!). “Можно представить себе, – продолжает Гиббс, – огромное число систем (динамических – А.Л.) одинаковой природы, отличающихся друг от друга конфигурациями (положениями в пространстве – А.Л.) и скоростями (совокупность того и другого задает состояние динамической системы и точку в фазовом пространстве являющуюся ее математическим образом в математическом слое – А.Л.), которыми они обладают в данный момент, и отличающихся не только бесконечно мало, но может быть и так, что охватывается каждая возможная комбинация конфигураций и скоростей...” [3, с. 350]. Концепция ансамбля через еще одно посредующее звено – плотность точек в фазовом пространстве, отвечающем пространству состояний рассматриваемой динамической системы – позволяет “придать точный смысл понятию вероятности... того, что произвольная система (точнее состояние динамической системы. – А.Л.) будет обнаружена в элементе фазового объема” [3, с. 364]. После этого, используя то, что число элементов очень велико, что систему можно разбить на аддитивные части, используя теорему Лиувиля для траекторий систем (динамических – А.Л.)[9] и вводя канонический (или микроканонический) ансамбль и распределение Гиббса[10] (постулат!), получают для плотности указанной вероятности известное выражение в виде экспоненциальной зависимости от суммарной энергии системы. Затем, выписывая выражение для усредненной по этой вероятности по системам (динамическим) энергии системы, ставят соответствующим средним в соответствие температуру,  энтропию и другие термодинамические величины (постулаты!) [17].

Итак, Больцман закончил формирование физической модели молекулярно-кинетической теории тепла и вытекающих из нее моделей физической кинетики и равновесной статистической физики, а Гиббс завершил построение математического представления (причем в максимально общем виде) для равновесной статистической физики.

 

Наиболее последовательное современное изложение этих процедур и для классического и для квантового случая можно найти в [10, гл. 1 и $ 28] [11]. Получение центрального и исходного для всех вычислений канонического распределения Гиббса (играющего роль “уравнения движения”) получается путем последовательного ряда  рассуждений и постулатов (сначала для вывода “микроканонического” распределения (для замкнутой системы, состоящей из исследуемой системы и “среды”), а потом из него “канонического” (исследуемой системы)). Этот ряд, который в той или иной форме включает процедуру опосредования гиббсовским ансамблем, производит впечатление вывода. Но введение дополнительных постулатов (обобщенный молекулярный хаос, эргодичность, аддитивность системы, простейший вид зависимости от интегралов движения при “выводе” “микроканонического” распределения и т.п.) указывает, что это скорее “метод аналогий” Максвелла, чем дедукция или построение теоретической модели какого-либо конкретного явления. Приводимые у Гиббса и в классических учебниках по статистической физике “выводы” статистической механики из динамической механики являются не строгими выводами, а описанием основной опосредующей процедуры: посредством введения

статистического ансамбля создается новое “нединамическое” математическое представление и статистическую модель. Метод ансамблей, с одной стороны, и исторически (по мысли Максвелла и Больцмана) и логически близок “методу аналогий” Максвелла, в полном виде он употребляется только при генеральном выводе. Это касается и классического и квантового случаев.

В квантовом случае переходу от состояния динамической системы к состоянию статистической системы соответствует переход от «чистого» состояния, описываемого волновой функцией, к «смешанному состоянию», описываемому матрицей плотности. Статистическому случаю отвечают именно смешанные состояния, в которых в (1кв) включено “как усреднение, связанное с вероятностным характером квантового описания…, так и статистическое усреднение… Необходимо, однако, иметь в виду, что эти элементы отнюдь не могут быть отделены друг от друга; все усреднение производится единым образом, и его невозможно представить как результат последовательно производимых чисто квантовомеханического и чисто статистического усреднений” [10, с. 32-33].

 

Что касается физической кинетики, то здесь многочастичная динамическая модель используется следующим образом. Состояниям N-частичной динамической системы (предполагающей динамическое описание всех N частиц) отвечают точки в соответствующем 6N-мерном фазовом пространстве. Состояние N-частичной статистической системы характеризуется N-частичной функцией распределения (в (1) ей отвечает матрица плотности), заданной в том же 6N-мерном фазовом пространстве (и служащим математическим образом ее состояния). Но N-частичной функции распределения – это тоже лишь посредующее звено. Реально физическая кинетика оперирует одно-, двух-, редко трех- частичными функциями распределения. Формально они определяются как статистически усредненные соответственно по N–1, N–2 и N–3 частицам N-частичной функции распределения, а реально – как решения соответствующего «уравнения движения», как правило приближенного и происходящего из кинетического уравнения Больцмана[12], использовавшего (как аналогию) модель N-частичной динамической системы.

Случай статистической физики по отношению к физической кинетике выступает как частный случай, отвечающий (как и равновесная термодинамика) равновесным состояниям, в которых функции распределения не зависят от времени. Для описания таких состояний, наряду с представлением «функций распределения», можно ввести более простые математические образы (и представления): «представление статсуммы», вариантами которого являются представления «конфигурационных интегралов», «групповых интегралов» (и их квантовомеханического аналога – «пропагаторного» представления), «вириального разложения» и др. [17; 6]. Во всех этих представлениях в соответствующее «уравнение движения», опирающееся на (микро)каноническое распределение, так или иначе входит функция exp{-E/kБT}, где kБ – постоянная Больцмана, Т – температура (по абсолютной шкале Кельвина), Е – суммарная энергия системы. Для молекулярной системы это сумма энергий изолированных молекул и межмолекулярного взаимодействия, которые зависят от координат и скоростей молекул и от молекулярного строения физической модели системы  и берутся из динамической многочастичной модели (в термодинамике же никаких предположений о строении вещества не делается[13]). Обычно это – система, состоящая из большого числа молекул (элементов), характеризующихся определенным спектром степеней свободы (поступательных, вращательных, колебательных и др.) и связанными с ними энергиями Ek, а также энергии межмолекулярного взаимодействия ejk. Эти характеристики “молекул” берутся из соответствующих  разделов “динамической” механики (классической или квантовой) – эта процедура напоминает процедуру “затравочной классической модели” в квантовой механике [13]. Введение функции энергии системы  в термодинамическое уравнение движения задает (в неявной форме) уравнение состояния для произвольной молекулярной системы, а не только для идеального газа. Правда, реально решить получаемые уравнения удается, как правило, лишь для моделей слабонеидеального газа[14]. Сведение поведения конденсированной системы к поведению слабонеидеального газа квазичастиц-возбуждений (фононов, поляронов,...) – типичный ход в теории твердого тела.

 

Итак, хотя формулировка и физической кинетики, и статистической физики представляется в виде ряда логически связанных утверждений, этот ряд содержит дополнительные постулаты. Вследствие этого они не выводятся из физики N-частичной динамической систем, а используют последние наподобие того, как Максвелл использовал гидродинамические аналогии при построении электродинамики. Поэтому Р.Фейнман начинает свой курс лекций “Статистическая механика” прямо с “основного принципа равновесной статистической механики”, состоящего, по его мнению, в следующем: “Если равновесная система может находиться в одном из N состояний, то вероятность того, что она находится в состоянии n с эренгией En равна exp(-En/kT)/Q, где Q=Sn=1 N exp(-En/kT)” - статсумма [18, с. 7].

Аналогичная ситуация имеет место и в создававшейся И.Пригожиным «новой науке» – его «физике неравновесных процессов» [15]. Последняя имеет две проекции: физическую и синергетическую. Нас будет интересовать здесь только первая. В центре ее для Пригожина - проблема «необратимости времени» («Мотивацией нашей работы был парадокс времени», – говорит он [Пригожин 1994, с.10]). Обычно этот парадокс рассматривают как явление, которое пытаются объяснить в рамках механической модели. И.Пригожин же, вслед за А. Бергсоном и Г. Рейхенбахом, кладет необратимость как принципиально немеханическое свойство и вводит его конструктивно, используя, по сути, упомянутый выше «метод затравочной классической модели»: берется «затравочная модель» из известных разделов «динамической» физики (типичный пример – система взаимодействующих частиц) и для нее а)составляется гамильтониан, который б)вместе с функцией распределения посредством определенных процедур переводят в новое по сравнению с «затравочным» математическое представление с новым уравнением движения, приводящим к новому типу поведения. В качестве «затравочного» здесь выступает широко используемое в статистической физике математическое представление функции распределения (плотности вероятности или матрицы плотности, соответственно, в классическом и квантовом случаях), отвечающее выражениям (1). Отталкиваясь от него, Пригожин создает новое математическое представление, вводя в математическом слое супероператоры и операторы с комплексными собственными значениями в «оснащенных» пространствах. С их помощью в [Пригожин 1994] вводится процедура «хронологизации» (в более ранней работе [Пригожин 1985] она связывалась с введением операторов микроскопической энтропии М и времени Т), которая «в общем случае приводит к принципиально вероятностной эволюции с нарушенной симметрией во времени» [Пригожин 1994, с. 129]. Т.е. И. Пригожин ввел в математическое представление образ необратимости – специфически термодинамического элемента физической модели, которому отвечает мнимая часть собственного значения оператора[15].

Созданная им неравновесная физика не позволяет осуществить его намерение «слить в единое целое динамику, статистическую механику и термодинамику» [17, с. 178]. Более того, он четко указывает границу между динамической механикой и его «физикой неравновесных процессов» (и статистической механикой). В классическом случае это – деление на определенные типы устойчивых и неустойчивых систем. И даже, более точно: пригожинская «неравновесная физика» рассматривает лишь, так называемые, Большие системы Пуанкаре (БСП), а в квантовом случае – системы с непрерывным неограниченным спектром типа «частицы в поле» (для систем с дискретным спектром, для которых и на которых и создавалась квантовая механика, нельзя ввести супероператор микроскопической энтропии [16, с. 274 – 275] и, следовательно, их нельзя рассматривать в рамках пригожинской неравновесной физики»). Т.о. несмотря на то, что в математическом слое гильбертово пространство, используемое в квантовой механике, оказывается частным (вырожденным) случаем «оснащенного» пространства пригожинской «неравновесной физики»[16] в физическом смысле (слое физических моделей) динамика и пригожинская «физикой неравновесных процессов» (как и статистическая физика) являются разными разделами физики, имеющими разные основания.

 

Альтернативное предлагаемому здесь представление развивается, например, в [5]. Там проводится последовательное рассмотрение относительно простой многочастичной динамической модели (системы спинов), допускающей решение в рамках динамики. При определенных допущениях (начальных условиях, типе взаимодействия) поведение этой системы очень похоже на поведение статистической системы. Но противоречит ли это вышесказанному? Мне представляется, что в этих модельных задачах мы имеем дело с чем-то аналогичным «динамическому хаосу» – хаотическому поведению относительно простых динамических систем [8], но для случая существенно многочастичных динамических систем. Мне представляется, что хотя хаотическое поведение статистической системы и динамической (в случае динамического хаоса) трудно различимы, это не мешает им относиться к разным типам физических систем[17].

По сути, в статистической физике вводится новая, по сравнению с локальной частицей и нелокальной сплошной средой, архетипическая модель[18] , в которой принципиально предполагается наличие очень большого числа частиц (элементов): “Предмет статистической физики… составляет изучение особого типа закономерностей, которым подчиняется поведение и свойства макроскопических тел, т.е. тел, состоящих из колоссального количества отдельных частиц – атомов и молекул” - указывает Л.Д.Ландау.  “Так называемые статистические - закономерности, обусловленные именно наличием большого числа составляющих тело частиц, ни в какой степени не могут быть сведены к чисто механическим закономерностям” (выд. – А.Л.) [10, с.13]. Принципиальная разница между этими разделами науки состоит в том, что в динамической физике рассматриваются системы с контролируемым внешним воздействием («замкнутые»), а в статистической физике – с неконтролируемым всевозможным внешним воздействием, что выражается постулатом о «молекулярном хаосе» и его аналогах (предполагающих специфический тип взаимодействия с окружающей средой (термостатом)[19]).

Т.о., приведенный выше анализ говорит в пользу того, что статистическая физика и кинетика не выводятся из физической динамики, хотя они используют последнюю как один из элементов (материал, аналогию) при формулировке своих оснований. Поэтому нет оснований для постановки «проблемы перехода от обратимых к необратимым процессам».

[1] Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ N 08-06-00229a.

[2] “Н-теорема (Больцмана) отражала удивительный результат: из обратимого механического уравнения следовало, что некая функция необратимо изменяется во времени в результате столкновения молекул" [9, с. 151-152]. «Основная проблема статистической механики необратимых процессов состоит в получении необратимости из обратимых законов динамики» [6, с. 186].

[3] Степени свободы «в механике соотвествуют независимым перемещениям механической системы, число которых определяется числом образующих систему частиц и наложенных на нее механических связей. В статистической физике соответст­вуют независимым обобщенным координатам, определяющим полную энергию системы" [19, с. 723-724].

[4] Но несмотря на впечатляющие достижения, молекулярная модель с трудом завоевывала себе популярность. Яркий пример - отказ в 1845 г. печатать работу Уотерсона, где впервые были получены многие эти результаты, с формулировкой, что эта работа "пустая, если не бессмысленная", основанная на "чисто гипотетических принципах" [2, с. 262] (эта работа увидела свет лишь через пол-века). Причина состояла в том, что в это время господствовало представление о теплоте как “невесомой материи” и действовал ньютоновский запрет на “измышление гипотез”, к которым относили гипотезу о движении невидимых маленьких частиц. Ситуация в этом смысле резко изменилась лишь после появления в 1905 г. теории броуновского движения Эйнштейна-Смолуховского  (подробнее см. в [2; 9, с. 167-172]).

[5] Сначала оно не воспринимается как качественно новое. Слу­чайность в статистической механике рассматривалась ее созда­телями не как принципиально новый "статистический" тип связи, а как результат недостаточного знания начальных усло­вий, недостаточной чувствительности органов чувств. Принци­пиальность этого шага была осознана значительно позже, после появления квантовой механики.

[6] Под “динамическими” системами и их состояниями имеется в виду физические системы и их состояния в обычной физике-динамике, а не то значение, которое термин «динамическая система» приобретает в синергетике и нелинейной механике (см. об этом, например, [8]).

[7] "Тот факт, что Н-функция, зависящая от характера распределения молекул в газе, в результате столкновения молекул обнаруживает необратимый во времени характер изменения, подобный... поведению термодинамической энтропии, позволил Больцману считать, что ему удалось получить микроскопическую интерпретацию второго начала термодинамики" [9, с. 151-152]. Результаты Больцмана подвергались жесткой критике со стороны И.Лошмидт и Э.Церемело и др. В этом споре Больцман успешно развивал свою теорию, но победным итогом стала статья П. и Т. Эренфест “О двух известных возражениях против Н-теоремы Больцмана” (1907), вышедшая уже после смерти Больцмана.

[8] Сравнивая построения Гиббса и Больцмана, М.Планк говорил: “Внешняя общность введенных Гиббсом различных определений энтропии в том смысле, что природа рассматриваемой системы не обязательно должна быть конкретизирована, приобретается ценой ограничения физического смысла этих определений. Все определения Гиббса вполне применимы и полезны для всех обратимых процессов, как и многие другие возможные определения еще более формальной природы. Наоборот, для необратимых процессов, дающих, по существу, понятию энтропии ее собственный смысл и служащих ключом к полному пониманию теплового равновесия, из всех до сего времени разработанных определений определение Больцмана оказывается самым адекватным и самым полезным” (по [4 с. 264]).

[9] При этом, правда, возникает сложная проблема обоснования воз­можности замены средних по времени средними по ансамблю, для решения которой Больцман выдвинул знаменитую эргодическую гипотезу, утверждающую, что физическая система, неза­висимо от начального состояния, обязательно пройдет через все состояния, характеризующиеся одним и тем же значением пол­ной энергии. Споры вокруг этой гипотезы имеют достаточно дли­тельную историю (подробности см. в [2, с. 376]).

[10] Каноническое распределение Гиббса (т.е. статистическое распределение для канонического ансамбля Гиббса) установлено Дж.У.Гиббсом (1901) как фундаментальный закон статистической физики и обобщен в 1927 Дж. Фон Нейманом для квантовой статистики [19, с. 242]. Каноническое распределение Гиббса — это математический аналог закона распределения Больцмана. Но если последний был применим только к газам, то распределение Гиббса имело гораздо более общий характер" [2, с. 378]. Т. Хилл приводит сводку различных вариантов ансамблей (канонический, мик­роканонический, большой канонический, изотермическо-изобарический и обобщенный), отвечающих различным типам контакта с окружающей средой. Там же сказано, что "если флуктуации малы, то результат не зависит от выбора ансам­бля, выбор ансамбля определяется удобством вычислений. Широкое использование канонического ансамбля в статисти­ческой физике, связано главным образом с удобством проводи­мых с ним математических вычислений. Однако в последние 10—20 лет (т.е. с 40-х гг. — АЛ.) стала понятна выгода приме­нения для решения некоторых задач и других ансамблей" [17, с. 87, 90]. Разные типы ансамблей отвечают разным эквивалентным математическим представлениям.

[11] Место элемента фазового пространства dpdq  в классическом случае в квантовом случае занимает число квантовых состояний dГ, ““приходящихся” на определенный бесконечно малый интервал значений ее энергий” [10, с. 37], а место теоремы Лиувиля – ее квантовый аналог [10, $6].

[12] Кинетическое уравнение Больцмана ведет к современной кинетической теории неравновесных процессов. Бесспорными успе­хами на этом пути является описание броуновского движения микрочастиц и других явлений переноса (диффузии и тепло­проводности) в различных молекулярных средах: подробное рассмотрение некоторых частных случаев, в которых уда­лось ввести малый параметр и использовать метод последова­тельных приближений Боголюбова, Борна, Кирквуда, Грина (ББКГ); введение модели нескольких масштабов времен, ха­рактеризующие области применимости приближения кинети­ческой теории и гидродинамического приближения.

[13] Поэтому области применимости термодинамики шире области применимости статистической физики и вторая не является раскрытием первой, это разные разделы физики, имеющие область пересечения, где они согласуются.

[14] Идеальный газ в статистической физике – это система, состоящая из множества элементов, не взаимодействующих друг с другом и потому ведущих себя почти независимо. В качестве элементов могут выступать молекулы, гармонические осцилляторы (всевозможные колебательные системы типа маятника) и др. В слабонеидеальном газе эти элементы взаимодействуют друг с другом, но слабо, по сравнению с характерными внутренними энергиями. Это взаимодействие между элементами учитывается как поправка (метод возмущений).

[15] Правда, поскольку в философско-методологическом плане он пользуется относительно бедными позитивистскими моделями (у него нет вводимых нами различений на «модельный» и «математический» слои, на «первичные» и «вторичные» идеальные объекты [14]), то в слое философско-методологических высказываний, он (как и высокопочитаемый им Л. Больцман) часто говорит не то, что делает и свою постановку проблемы сводит к ответу на вопрос: «Как возможно, что «исходя из программы (программа для ЭВМ является эквивалентом уравнения движения – А.Л.), составленной на основе классической динамики, мы получаем эволюцию с нарушенной симметрией во времени?" [16, с.128], т.е. к ответу на старый вопрос: «Как обратимые по времени и «детерминистические" уравнения (законы) движения классической и квантовой механики (и замалчиваемой им электродинамики), олицетворяемые для И. Пригожина траекториями и волновыми функциями, переходят в необратимые по времени и «несводимо» вероятностные описания в неравновесной термодинамике".

[16] То же можно сказать и о «квантовом парадоксе» (так И. Пригожин называет

проблему «редукции (коллапса) волновой функции»), проанализированного в [Липкин 2005, 2007]. Из того, что в математическом слое математический образ пространства состояний в «динамической» физике оказывается частным (вырожденным) случаем математического образа пространства состояний в «неравновесной физике» не следует, что в слое физической модели эйнштейновские ансамбли (так называемая статистическая интерпретация, к которой тяготеет И. Пригожин) получают преимущество по сравнению с копенгагенской интерпретацией. Указанный им переход в математическом слое в модельном слое вполне соответствует модели отдельных частиц (а не только ансамблей частиц). Таким образом, пригожинскую «брюссельскую» интерпретацию квантовой механики можно рассматривать как разновидность «статистической» интерпретации - с нашей точки зрения, здесь ничего принципиально нового не возникает (то же можно сказать и про вклад в решение проблемы измерения).

[17] На возможность существования наряду со статистическим и динамических «хаосов» указывает и то, что динамические «хаосы» могут быть разными (иметь разные аттракторы).

[18] «Архетипическая» в смысле прототипа для первичных моделей в различных разделах физики (первичных идеальных объектов в [14, гл. 7]).

[19] В синергетике это взаимодействие другое, там есть регулярный, а не хаотический подвод (и отвод) энергии, вещества или чего-то другого.

Литература

Больцман Л. Избранные труды. М.: Наука, 1984.

Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики. М.: Высш. шк., 1981.

Гиббс Д.В. Основные принципы статистической механики... М.-Л.: Гостехиздат, 1946.

Гроот Де С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1963.

Джепаров Ф.С. Эргодическая теорема для подсистемы примесных спинов в парамагнетике // ЖЭТФ, 1999, т. 116, вып. 4(10), с. 1398-1418.

Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика.М. 1976.

Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций)

Кузнецова О.В. Учение о теплоте в XIX веке: атомистика, термодинамика и статистическая механика. В кн.: Физика XIX-XX вв. в общенаучном и социокультурном контекстах. Физика XIX века. М.:"Наука",1995, с. 117-193.

Ландау Л.Д., Лифшиц И.М. Теоретическая физика в 10 тт. М.: Наука, 1965-1987.

Левич В.Г. Курс теоретической физики (в 2 тт.). М.: Наука, 1969.

Липкин А.И. Основания современного естествознания. Модельный взгляд на физику, синергетику, химию. - М.: Вузовская книга. 2001.

Липкин А.И. Квантовая механика как раздел теоретической физики. Формулировка системы исходных понятий и постулатов  // Актуальные вопросы современного  естествознания – 2005. – вып.3. – С. 31-43.

Липкин А.И. Объектная теоретико-операциональная  модель структуры научного знания // Философия науки (под ред. А.И. Липкина). – М.: ЭКСМО, 2007.

Фейнман Р. Статистическая физика. М., 1975.

ФЭС: Физический энциклопедический словарь. М.: Сов.энциклопедия, 1983.

Фок В.А. Критика взглядов Бора на квантовую механику. // Философские вопросы современной физики. М.: Госполитиздат, 1958.

Хилл Т. Статистическая механика. М.: Иностр. лит., 1960.

 

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика