Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Иван Харук "Роль симметрий в физике"

Введение

 

Целью настоящей работы является попытка проследить, как возникло и эволюционировало понятие симметрий в физике, какое влияние оказала эта концепция на развитие науки и каков её статус на сегодняшний день. Действительно, данный вопрос представляет значительный интерес, поскольку симметрии играют ключевую роль в построении моделей в современной физике, а некоторые фундаментальные проблемы, с которыми мы сталкиваемся в описании мира (такие, как проблема темной энергии и материи, объединение языков и понятий квантовой механики и общей теории относительности), вероятно, невозможно решить без пересмотра некоторых основополагающих принципов, в число которых входит и представление о роли симметрий в окружающем нас мире. В связи с этим, взгляд на историю этого вопроса позволил бы найти закономерности в том, как развивался этот вопрос, а через это и предположить, в каком направление будет развиваться наука в ближайшее время.

 Данное исследование начинается с рассмотрения древнегреческой философии, поскольку именно она во многом определила течение мысли в последующие века, как в плане общего направления, так и содержания, в том числе и в научном контексте, а заложенные в ней идеи, в число которых входит и понятие симметрии, лежат в основе физики и по сегодняшний день. Далее будет прослежено, как эволюционировали введенные греками понятия в новое время, взаимодействуя как с новыми чувствами человека относительно его места в этом мире, так и новым знанием, обретая со временем всё более строгое и полное математическое описание; как в дальнейшем эти идеи привели к созданию теории электромагнетизма и общей теории относительности, и какую важную роль они сыграли в физике элементарных частиц. В заключении будет представлено одно из направлений, в котором развивается представление о роли симметрий в окружающем мире в настоящее время и к каким последствиям эти взгляды могут привести.

Отдельный интересный вопрос, который также рассматривается в данной работе, состоит в том, как связаны между собой понятия научного знания и истинности с одной стороны и красоты и гармонии с другой – есть ли между ними связь или последние задают только направления и язык, в данном случаи симметрий, который, в конечном счете, может оказаться лишь изобретением человека и не имеющим отношения к реальности, от которого когда-то придется отказаться.


Зарождение концепции симметрий в древнегреческой мысли

 

Одной из отличительных черт древнегреческой мысли была её натурфилософская направленность – в отличии от восточной школы мысли, которая развивалась в первую очередь от и в плоскости метафизики.

Греческая традиция началась с Милетской школы, подход которой можно охарактеризовать как научный. Действительно, представителей этой школы в первую очередь интересовал вопрос, что является первоэлементом всего сущего, причём эти достаточно смелые гипотезы носили научный характер – каждую из них пытались обосновать логически и эмпирически, показать, что одна является лучше другой; иначе говоря, вокруг них велась дискуссия. Можно сказать, что с этого момента начался поиск некоторого универсального начала, которое бы объяснило весь существующий мир, что в наши дни достаточно аналогично поиску теории великого объединения.

Первым, кого стоит упомянуть из представителей этой школы, является Анаксимандр, который в скрытой форме заложил идею закона как главенствующего над всем начала, о чём можно судить из его знаменитого высказывания: “А из чего возникают все вещи, в то же самое они и разрешаются, согласно необходимости. Ибо они за свою нечестивость несут наказание и получают возмездие друг от друга в установленное время”. Конечно, этой формулировке еще недостаточно точности и в ней ничего не сказано о характере этих законов, в частности и о том языке, на котором они должны быть сформулированы, но сама идея о том, что все в мире подчинено общим законам, в нём уже явно присутствует.

Следующей фигурой, которую невозможно опустить на этом пути, является Пифагор. Нам он в первую очередь интересен тем, что он утверждал, что “всё суть числа”, и также, что “числа имеют форму”. Содержание данных утверждений состоит в том, что, по взглядам Пифагора, любое явление можно описать посредствам чисел, а любой объект мира есть ничто иное как их проявление. Эти идеи тесно связаны с тем, как в то время понимался термин “теория” и как изменилось его понимание благодаря личности Пифагора: изначально это был орфический термин, означающий страстное и сочувственное созерцание, который был впоследствии расширен Пифагором и на интеллектуальную сферу. Чтобы понять, как это было сделано, достаточно представить себе, что происходит, когда мы, например, доказываем некоторую математическую теорему – мы как будто мысленно переносимся в её мир, начиная ей “сочувствовать”, что, в частности, может начать направлять наш ход мысли.

Можно выделить два важным следствия, к которым привели данные взгляды. Во-первых, понятие первопричины стало более глубоким – если ранее это означало указание на некоторый первоэлемент и обоснование этих взглядов, то теперь за ним можно было искать более фундаментальное математическое обоснование; то есть, этот вопрос стал более умозрительным. Во-вторых, это означало смешивание математики, физики и эстетики. Проиллюстрируем последнее утверждение более подробно. Покажем сначала, как влияли друг на друга математика и эстетика. Для этого необходимо вспомнить, что иррациональные числа были отвергнуты древними греками только потому, что они противоречили их чувству прекрасного – то, что две величины могут сосуществовать и при этом быть несоизмеримыми, в корне нарушало их веру в красоту окружающего мира.

Далее, чтобы увидеть появившиеся связи между математикой и физикой, а заодно и зарождение концепции симметрий, обратимся к фигуре одного из основателя атомизма, Демокрита. Он утверждал, что Вселенная состоит только из атомов, которые подчиняются чисто механическим законам. Это означает, что в основу физических законов он ставил математику, отвергая метафизические смыслы, приписываемые реальности его оппонентами в лице Платона и Аристотеля. Тем самым им был начат синтез физики и математики, идущий и по сегодняшний день. Особенно интересным для нас является его высказывание о том, что в пустоте нет ни верха, ни низа, а значит и у атомов нет выделенного направления движения. Эта идея уже несёт в себе достаточно большой уровень абстракции: по сути, в ней постулируется изотропность пространства, что является фундаментальной симметрией в современной науке, а наличие Земли и иных тел трактуется как факторы, нарушающие эту симметрию при движении объектов. Что также интересно, данная симметрия является у Демокрита не просто эмпирическим данным, а специального рода “первопричиной”, через которую он объяснял иные явления и их закономерности. Единственное, чего не хватает его концепции по сравнению с сегодняшним пониманием этого вопроса, это соответствующего математического аппарата, который позволил бы ему формализовать его высказывания. Этот пример является одним из немногих случаев, когда физика шла впереди математики, опережая последнюю на века. Таким образом, этот момент можно считать рождением концепции симметрий, ставшей результатом проникновения математики и эстетики (что будет показано чуть далее) в физику.

Перейдем теперь к последней паре – физике и эстетике. Воплощением этой связи можно назвать Аристотеля и систему миропонимания, созданную им. Действительно, в его системе учёный является наблюдателем, который должен найти место вещи в мире и сделать так, чтобы она оказалась именно в этом месте. В этом взгляде явно заложен элемент эстетики, поскольку определение места вещи непосредственно связанно с понятием и поиском гармонии, что, в конечном счете, является эстетическим понятием. Другим важным примером в связи с данной темой являются представления древних о движении в надлунном мире – единственное возможное движение там считалось круговым, поскольку оно являлось идеальным, или, говоря иными словами, максимально симметричным. Так представления о красоте стали находить своё место в физике, становясь руководящим принципом в систематизации имеющихся и поисках новых знаний и представлений об окружающем нас мире. Одним из продуктов этого синтеза также стало понятие симметрии как о определенной форме красоты, которая должна быть заложены в природе.

 


Развитие понятия симметрии в новые времена

 

Однако, мир порядка и гармонии, созданный Аристотелем, через некоторое время был разрушен – после сделанных Кеплером открытий стало невозможным сохранение прежних взглядов на мир, когда человек был его центром, а в идеальном надлунном мире господствовала красота и постоянство. Наоборот, стало понятно, что подлунный и надлунный миры устроены одинаковым образом, что в каждом из них есть место изменению, уничтожению и рождению. Можно сказать, что окружающий мир стал представляться гораздо менее упорядоченным, то есть менее симметричным, чем до этого, а старые взгляды должны были быть заменены новыми, которые только предстояло найти посредствам опытов и их осмысления. При этом вера в красоту не исчезла, но её понимание должно было стать более тонким, прежде чем она вновь была бы открыта.

Одним из первых шагов к восстановлению симметрий был предпринят Галилео Галилеем в его “Диалоге о двух системах мира”, где он ввёл принцип относительности, ныне носящий его имя. Он гласил, что “для предметов, захваченных равномерным движением, это последнее как бы не существует и проявляет своё действие только на вещах, не принимающих в нём участия.” На фоне привнесённого открытиями Кеплера хаоса в понимании устройства мира, это наблюдение Галилея вновь возвращало некоторую упорядоченность, поскольку говорило, что любые физические процессы будут идти одинаково в любой системе отсчета, движущейся равномерно и прямолинейно относительно Земли, что подразумевало под собой и новую красоту законов мира. Развитие и уточнение этой мысли привело к созданию таких теорий, как механика Ньютона и общая теория относительности Эйнштейна, поэтому недооценивать важность этой мысли невозможно.

Подобная ситуация, когда новое знание сначала играет отрицательную роль, разрушая старое и упорядоченное миропонимание, но затем становится источником новых, но в тоже время просто углубленных старых знаний, достаточно обща. Помимо только что приведенной ситуации, аналогичные изменения произошли при открытии электромагнитной теории и при обнаружении роли теории групп в физике элементарных частиц. К последним двум событиям мы обратимся в дальнейшем, а сейчас отметим это как важное историческое замечание, впервые проявившееся в столь больших масштабах.

Следующей ключевой фигурой является Исаак Ньютон, важность работ которого заключается в том, что он существенно уточнил взгляды Галилея и упорядочил новое знание о мире. Для нас наиболее важен первый пункт, получивший свою реализацию в книге “Математические начала натуральной философии”, где им были введены законы, именуемые ныне тремя законами Ньютона. Поскольку все они в определенной степени связаны с понятием симметрии, то мы вкратце рассмотрим каждый из них. Первые два из них в исторической формулировке говорят о том, что “всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние,” и о том, что “изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует” соответственно. По своему идеологическому содержанию, они являются первой и не полной формализацией принципа относительности Галилея, хотя в них и вводится принципиально новая и важная категория силы. Действительно, эти два закона, в частности, говорят о том, что равномерное движение принципиально ничем не отличается от состояния покоя, а единственное, что может изменить характер этого движения, это взаимодействие с иными телами. Последнее же можно рассматривать как фактор, нарушающий симметрию. Подобный подход, поскольку он позволил находить явное аналитическое выражение для различных сил, стал также в будущем фундаментом для поиска симметрий, который объяснял бы их происхождение, как это, например, было сделано Эйнштейном в случае с гравитацией или усилиями Максвелла и Лоренца в электромагнетизме. Тем не менее, принцип относительности Галилея был шире приведенных двух законов Ньютона, поскольку в нём была неявно заложена идея инвариантности физических законов при переходе из одной системы отсчета в другую, двигающуюся равномерно и прямолинейно, что отсутствует в законах Ньютона. Рассмотрим теперь последний закон Ньютона, который в оригинальной формулировке утверждает, что “действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны.” За этим утверждением также лежит симметрия, заключающаяся в равноправии двух различных систем – ни одна из них не является выделенной по отношению к другой, и поэтому взаимодействие системы «один» на систему «два» должно быть таким же, как и системы «два» на систему «один». Разумеется, подобная интерпретация законов Ньютона является достаточно искусственной и не исторической, но имеющей право на существование и позволяющей увидеть скрытую за ними красоту.

Параллельно с этим начинает развиваться и математический аппарат, приведший в дальнейшем, в частности, к появлению теории групп. Рене Декартом, Пьером Ферма и Франсуа Виетом были заложены основы аналитической геометрии, а Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем – дифференциального и интегрального исчислений. В этих работах еще не содержалось идей, которые могли бы привести к пониманию роли симметрий в физике, но именно они заложили фундамент этих представлений, начав абстрактно рассматривать само пространство без привязки к какой бы то не было физической системе в аналитической геометрии, а свойства самих чисел и функций в дифференциальном и интегральном исчислениях. Это было той математикой, которая стала находить для себя в дальнейшем роль в физике.


Создание и развитие теории групп.

 

Как показывает история, многие физические открытия были связанны с использованием нового математического аппарата, позволяющего по-новому описать известные феномены. Примеров этому много, но, пожалуй, одним из наиболее важных и глубоко проникшим в физику примером этого обогащения является использование дифференциально-интегрального исчисления, использование которого и позволило Ньютону сформулировать его известный второй закон, выражающий связь между ускорением и действующей на предмет силой. Аналогичную роль сыграла и теория групп, которая, будучи совмещенной с вариационным принципом и требованием инвариантности действия относительно определенных групп (то есть обладания некоторыми симметриями), привела в итоге к созданию современной Стандартной Модели в физике элементарных частиц. Далее мы рассмотрим, как зародилась и развивалась теория групп, влияние которой на физику до сих пор крайне велико.

Теория групп обязана своим происхождением проблеме поиска решений уравнений пятого порядка в радикалах. Как было показано Эваристом Галуа, каждому уравнению соответствует некоторая группа симметрий, возникающая как результат всевозможных перестановок корней этого уравнения. Нетривиальным следствием этого подхода являлось открытие факта, что начиная с пятого порядка и выше выписать решение в радикалах в общем случае оказалось невозможным. Ключевым моментом этого нового подхода было изучение не просто решений и возможных методов их получения, но свойств самих этих уравнений, их структуры. Это позволило математике подняться на новый уровень абстракции, поскольку теперь вопрос стоял шире – не каковы корни некоторого уравнения, а какими свойствами они будут обладать исходя из структуры уравнения. Также это дало ключ к изучению гораздо более сложных систем, в которых явное построение решения затруднительно или просто невозможно, но некоторые критические важные свойства решений оказывается возможным указать исходя из самих уравнений.

         Следующий важный вклад в этот вопрос был внесён Уильямом Роуэном Гамильтоном. Хотя его работы не имеют прямого отношения к теории групп, но именно он, в попытках обобщения и более полного осмысления комплексных чисел, первым смог отказаться от требования коммутативности умножения, что позволило ему создать алгебру кватернионов размерности четыре. Как было понято в дальнейшем, за каждое увеличение размерности алгебры приходится чем-то платить – потерей упорядоченности при переходе от обычных чисел к комплексным, или же некоммутативностью при переходе к от последних к кватернионам. Но важность этого шага состояла в том, что это позволило математикам осознать, что коммутативность некоторой бинарной операции является скорее исключением, чем правилом, и подобные структуры необходимо изучать. Кроме того, как нам сейчас известно, подавляющее большинство представляющих физический интерес групп являются некоммутативными.

         Важный шаг на пути вперед был затем предпринят Феликсом Клейном, который осознал, что геометрия и группы являются по своему вопросу изучения одним и тем же, только описывающие его с различных сторон. Данное утверждение необходимо понимать в том смысле, что каждой геометрии соответствует её группа симметрий, а представлению некоторой группы в векторном пространстве, чьей симметрией является рассматриваемая группа, соответствует определенная геометрия. Таким образом, изучение этих двух вопросов в указанном выше смысле эквивалентно, а понимание этого факта заметно облегчило восприятие и понимание физики специальной теории относительности.

Софус Ли и Вильгельм Киллинг были следующими, внесшими свой вклад в развитие теории групп. Можно сказать, что как дифференциальные уравнения являлись обобщением и следующим шагом вперед по сравнению с алгебраическими уравнениями, так и теория групп Ли является обобщением уже существовавшей в то время теории групп. Подобно Абелю и Галуа, Ли занялся поискам решений уравнений, но уже дифференциальных. И в изучении этого вопроса ему существенно помогла установленная им совместно с Клейном эквивалентность геометрии и теории групп. Оказалось, что как алгебраическим уравнениям, так и дифференциальным, соответствует некоторая группа симметрий, но на этот раз состоящая уже не из конечного числа элементов, а из их континуума. Таким образом стали рассматриваться не только дискретные, но и непрерывные группы. С математической точки зрения важным было также то, что многие группы, получившие в дальнейшем название групп Ли, можно было представлять в виде гладких многообразий. Данный факт является важным, поскольку он позволяет локально линеаризовать теорию, переходя от неевклидовой геометрии к плоской, посредствам рассмотрения касательного пространства. Такой подход сделал изучение симметрий систем технически возможным, что нашло своё воплощение, например, в теореме Нётер, связывающей симметрии системы с сохраняющимися величинами.

Киллинг в своих работах первым провёл классификацию простых групп Ли, основываясь на рассмотрении всевозможных, так называемых, простых корней, между которыми и рассматриваемой группой имеется взаимно однозначное соответствии. При его жизни эти труды были малоизвестны, а их важность была понята только тогда, когда Эли Жозеф Картан независимо повторил все его вычисления, также местами уточняя их. Не смотря на кажущийся чисто математический интерес, эти вычисления оказали влияние также и на развитие физики – благодаря им была найдена связь между свойствами некоторых наборов частиц и диаграммой простых корней некоторой группы. Это позволило предсказать существование новой частицы и её характеристики, которая затем действительно была успешно обнаружена. Тем самым, была обнаружена новая связь между математикой и физикой, но более подробно об этой будет далее.

 


Влияние теории групп на физику

 

Одним из ключевых моментов, с которого началось проникновение теории групп в физику, является написание Джеймсом Максвеллом уравнений электромагнитного поля. Хотя при этом он не исходил из каких-либо строгих соображений симметрии, но критическую роль в их написании сыграла попытка “симметризовать” роль электрического и магнитного полей, выраженная в единообразии уравнений, которым они подчинялись. Это событие, в неявной форме, также представляет собой первое объединение двух, казалось бы, различных сил – электрической и магнитной. Как оказалось в дальнейшем, за этим объединением стояла симметрия группы Лоренца, а обнаружение и осознание этого факта привело к резкому развитию принципа симметрий в физике, в том числе и к созданию изменившей представления о фундаментальных физических свойствах пространства и взаимодействий специальной теории относительности.

Это открытие, конечно, не состоялось бы, если бы Майкл Фарадей не обнаружил явление электромагнитной индукции. Оно заключается в том, что переменное магнитное поле порождает электрическое поле. Он продемонстрировал это открытие, опуская и вынимая обратно постоянный магнит из катушки, в которой, при этом, как показывал прибор, возникал ток. Это было первым сигналом к тому, что если электрические и магнитные поля имеют не одинаковую или очень схожую природу, то сильно переплетены между собой. Однако, поскольку Фарадей был экспериментатором, то потребовались ещё Максвелл, а за ним Лоренц и Эйнштейн, чтобы понять, какая математика лежит за этим фактом, и найти ей подобающее место в физической картине мира.

Заслуга Максвелла заключалась в том, что он смог выписать полные уравнения электромагнетизма, уточнив их вид – он добавил в них член, делающий электрическое и магнитное поля более равноправными, иначе говоря, он симметризовал их. Изменение заключалось в том, что, в соответствии с его системой уравнений, не только переменное магнитное поле порождает электрическое, но и наоборот, переменное электрическое поле порождает магнитное, что также косвенно следовало из экспериментов Фарадея с двумя катушками. При этом из написанных им уравнений сразу следовало, что электромагнитное поле суть поперечная волна, движущаяся с конечной скоростью, скоростью света. То есть, свет не может быть представлен как некоторый объект классической механики, поскольку он суть переменная волна, распространяющаяся с конечной скоростью, несмотря на отсутствие массы.

Но более интересным для нашей работы следствием этих уравнений является то, что они были не инвариантны относительно преобразований Галилея, и тем самым нарушали его принцип эквивалентности, подразумевавший моментальное взаимодействие – возможность “распространения” с бесконечно скоростью. Из этого факта следовало две принципиально разные возможности. Первая из них состоит в том, что уравнения Максвелла действительно должны выглядеть различно в различных инерциальных системах отсчета, а та, в которой они выглядят оригинальным образом, является выделенной и совпадает с системой покоя эфира, существование которого еще не было исключено в то время. Вторая же возможность заключалась в том, что неверен сам принцип относительности Галилея, а, значит, и класс инерциальных систем отсчета иной. Опыт и время показали, что все явления электромагнетизма проявляются одинаковым образом в движущихся системах отсчёта, что исключило первую возможность, но, тем не менее, не исключало возможность существования эфира (благодаря разработанной Лоренцом теории, включавшей в себя также эффекты специальной теории относительности, но имевшей иные корни). В свою очередь, это означало необходимость найти группу, относительно которой уравнения Максвелла были инварианты. Преобразования, соответствующие этой группе, и образовывали бы класс инерциальных систем отсчёта.

Хендрик Лоренц обнаружил эту группу, которая в последствии стала носить его имя. Особенностью найденных им преобразований было то, что они не действуют на пространство и время независимо, но перемешивают их, помещая их в рамки одного формализма, чего раньше не было. Этот результат, конечно, был ожидаем в силу конечности скорости света, но в тоже время и принципиально нов – он подсказывал, что со временем можно работать так же, как и с пространством. Таким образом, сам мир стал более симметричен благодаря этому открытию – время стало менее выделенной координатой, чем было ранее. Другой особенностью этих преобразований являлся факт существование максимальной скорости распространения частиц, поскольку возможность её превышения для какого-нибудь сорта частиц означало не что иное как возможность движения обратно по времени, то есть путешествия во времени, что тем самым нарушало бы причинность, в то время как положение и незыблемость последней крепки и по сей день. Но, поскольку Лоренц был приверженцем электромагнитного описания мира, для него применение найденных следствий было бы шагом назад, обратно к механике, и поэтому был нужен другой человек, чтобы применить их в другой плоскости.

Им оказался Альберт Эйнштейн. В своей работе по специальной теории относительности он начал связывать структуру пространства-времени с группой Лоренца – можно сказать, что он начал воплощать идеи Клейна и Ли о тождестве геометрии и теории групп, только в физике, заменяя евклидову геометрию на геометрию Минковского, порожденную группой Пуанкаре. Начиная с этого момента становилось все понятнее, что преобразования Лоренца важны не только в электромагнетизме, но во всех секторах физики – любые уравнения, описывающие физическую систему, должны обладать Лоренц-инвариантностью, что автоматически переносилось на симметричность действия относительно этой группы. Использованный Эйнштейном метод был нов и увенчался огромным успехом, что дало мощный толчок к развитию физики в этом направлении.

Но специальная теория относительности была только разминкой перед созданием более сложной и фундаментальной теории – общей теории относительности. К ней шли два человека двумя различными путями: Эйнштейн, который в построении своей теории исходил более из физических и общих соображений, и Давид Гильберт, который подходил к теории со стороны математики; подход Эйнштейна был более подходом сверху, в то время как Гильберта – снизу. В обоих подходах присутствуют новаторские соображения, но в различных формах. В первом случае они лежали в области идеологии, то есть они были основой и стимулом для попытки построения подобной теории, и по своему содержанию являлись взглядами Эрнста Маха. Ключевым в этом плане являлся принцип Маха – утверждение, что локальные свойства любых тел должны определяться также распределением энергии, то есть других тел, во всей Вселенной. Хотя в дальнейшем сам Эйнштейн и подвергал эти взгляды критике, они сыграли важную роль в построении общей теории относительности. Гильберт же в своих работах исходил из требования общекоординатной ковариантности уравнений. Это требование уже было большим, чем постулирование некоторой симметрии, поскольку уравнения должны были выглядеть одинаковым образом в любой системе координат. Важно, что при этом он использовал вариационный принцип, до этого еще ни разу не применяемый для вывода уравнений теории, то есть получил теорию только исходя из имеющихся в ней симметрий. Но при этом он не мог придать своей теории правильного физического смысла (он не думал, что его уравнения описывают гравитацию). В связи с этим, можно сказать, что в общей теории относительности мир стал максимально симметричен.

Особую роль симметрии сыграли также и в физике элементарных частиц. В начале и середине 20-ого века в различных экспериментах физики стали находить все больше и больше элементарных частиц, причём их количество становилось неприлично большим, а эта ситуация иногда характеризовалась как “зоопарк элементарных частиц”. Это стимулировало попытки найти структуру в их характеристиках и как-то их упорядочить, как химические элементы в таблице Менделеева. Первая и, в определенном смысле, нечаянная попытка было предпринята Вернером Гайзенбергом, который объединил протон и нуклон в один дублет, пытаясь объяснить силы внутри ядра. Вскоре оказалось, что изначальная идея была неверна на корню, поскольку ядерные силы зарядонезависимы, но идея объединения различных частиц в группы стала развиваться. Было замечено, что многие из них обладают близкой массой, и их можно группировать по этому признаку. Далее оказалось, что если ввести понятие изотопического спина и расположить частицы на плоскости соответствующим образом, то они будут образовывать мультиплеты. Этот факт указывал на то, что за этими частицами стоит некоторая группа, некоторая более фундаментальная симметрия, а все эти частицы должны получаться путём действия этой группы на более фундаментальные частицы. Более того, на основе такой мультиплетной структуры Марри Гелл-Маном было предсказано существование не открытой еще в то время частицы – Омега-гиперона, которая дополняла одну из групп, а через некоторое время была и обнаружена в эксперименте. Подобные наблюдения сыграли одну из ключевых ролей в построении Виджином Вигнером теории сильного взаимодействия, обладающей SU(4) симметрией.

 


На пути объединения теорий

 

Описание электрических и магнитных сил посредствам одного поля стало первым примером объединения считавшихся различными фундаментальных взаимодействий. Это открытие стимулировало дальнейшие попытки синтеза – объединение сильного, слабого, электромагнитного и гравитационного взаимодействий в рамках единой теории, в то время как каждая из них отвечала за свой, казалось, независимый сектор Вселенной: гравитация отвечала за крупномасштабную структуру Вселенной, сильные силы - за стабильность атомного ядра, слабые - за взаимопревращения элементов, и, наконец, электромагнитные - за макроскопические свойства тел. Причем механизм подобного объединения стал ясен – необходимо было найти симметрию, которая объединила бы в себе эти различные явления. Подобную “теорию всего” стали именовать “теорией великого объединения”. После создания общей теории относительности Эйнштейн пытался построить именно такую теорию, пробуя решить эту задачу сверху, то есть пытаясь написать эту теорию исходя из общих физических, математических и философских соображений, но потерпел неудачу. Единственным существенным и перспективным продвижением на этом пути была выдвинутая Теодором Калуцой теория, позволяющая объединить гравитацию и электромагнетизм путём добавления дополнительного компактного пятого измерения. В его теории уравнения Максвелла были лишь уравнениями Эйнштейна для дополнительного измерения, но создать полную самонепротиворечивую и согласованную с феноменологией теорию оказалось сложной задачей, также не нашедшей пока своего решения. Несмотря на незначительные успехи, поиски “теории всего” продолжаются, поддерживаемые как пока не нашедшими удовлетворительного объяснения явлениями (тёмная энергия, проблема космологического совпадения), говорящими о том, что нам есть куда идти в понимании Вселенной, так и верой в красоту окружающего мира. Последнюю, возможно, лучше всего выразят слова Эйнштейна о том, что “Господь Бог изощрён, но не зло намерен”, и, перефразируя одно из его высказываний, “все просто, но не более того”.

 Другой подход заключался в поиске решения снизу – сначала в объединении электромагнитных сил со слабыми, затем с сильными, а затем и с гравитационными. Все шаги, кроме последнего, к настоящему времени увенчались успехом.

На этом пути стали искать не только новые симметрии, но и иначе их применять. В результате этих поисков появилась концепция локальных симметрий, содержание которой лучше всего продемонстрировать на примере фермионов и фотонов. Дело состоит в том, что физически наблюдаемой величиной для любых полей является не сама фаза поля, но их относительная разность (о чём нам, например, говорит явление интерференции). Поэтому логично предположить, что симметрия подобных полей должна заключаться не в одновременном изменении фазы поля на одинаковую величину во всем пространстве, но фазу можно изменять в каждой точке независимо, лишь бы разность фаз оставалась прежней. Так, уравнения Дирака в их изначальном виде этой расширенной симметрией не обладают: они инвариантны только относительно глобальных фазовых вращений, группы U(1), соответствующей изменении фазы поля во всем пространстве на одинаковую величину. Однако если допустить более общие преобразования, описанные выше, то есть потребовать локальную калибровочную инвариантность, то это позволяет в рамках одной теории описать как электроны, так и их взаимодействие с фотонами. Стоит при этом заметить, что это требование с необходимостью приводит к введению электромагнитного поля, посредствам замены обычной производной на ковариантную, тем самым также углубляя лежащую в этом математику.

Рассмотрение симметрий описанным выше образом помогло также при построении квантовой хромодинамики, в которой калибровочной группой является уже некоммутативная группа SU(3). Этот пример также интересен тем, что он построен на основе теории Янга-Милса, получившей свое название от имён двух её изобретателей – Янга Чженьнин и Роберта Милса, которые обобщили построение калибровочных теорий на случай неабелевых групп. Таким образом, очередное математическое обобщение и построение нашло своё место в физической картине мира.

Следующим событием после объединения электрического и магнитных полей в рамки единой теории стало объединение электромагнитного и слабого взаимодействий в электрослабую теорию Вайнберга-Глэшоу-Салама, названную в честь её создателей Стивена Вайнберга, Шелдона Ли Глэшоу и Абдуса Салама. Она основана на симметрии относительно калибровочной группы SU(2)×U(1) и использует так называемый механизм Хигса. Последний был разработан Питером Хигсом и показывает, что если вакуумное состояние не обладает симметрией изначального действия, то, грубо говоря, спектр теории меняется – в следствии смешивания полей некоторые из безмассовых калибровочных полей становятся массивными. Именно это и происходит в электрослабой теории – фотон, не приобретающий массу в процессе спонтанного нарушения симметрии, становится переносчиком электромагнитного взаимодействия, а ставшие массивными W- и Z- бозоны становятся ответственны за слабое взаимодействие, и, в следствии своей массивности, в отличии от фотона, являются переносчиками короткодействующей силы.

Идея о спонтанном нарушении симметрии играет важную роль при построении подобных теорий. Действительно, если бы не происходило никаких нарушений, то подобная теория могла бы описывать только достаточно схожие явления, в то время как её нарушение позволяет получить доступ к более широкому классу явлений, как это можно видеть на примере электрослабой теории. Это также достаточно сильно связанно с изучением ренорм-группы квантовых теорий поля. Данная связь заключается в том, что при различных энергиях теория ведет себя по-разному: в частности, константы взаимодействия, строго говоря, не являются константами – их эффективное значение будет зависеть от энергии, на которой рассматривается теория, и при некотором её значении, если некоторая симметрия была нарушена, теория может вновь стать полностью симметричной относительно заложенных в её действие симметрий. Еще одним интересным следствием применения реноргруппового подхода стало вычисление, показавшее, что константы взаимодействия всех известных фундаментальных сил стремятся к одинаковому значению в пределе высоких энергий. Тем самым гипотеза о том, что теория великого объединения существует, получила еще одни довод в свою пользу, и казалось, что необходимо найти эту общую симметрию и затем правильно её нарушить, чтобы получить наблюдаемый мир.

Далее последовало объединение электрослабой теории и теории сильных взаимодействий в Стандартную Модель. Это объединение было сделано достаточно тривиальным образом – было написано действие, обладающее SU(3)×SU(2)×U(1) симметрией, то есть произведением каждой из симметрий в отдельных секторах. При этом все предсказания этой теории оказываются справедливыми с очень высокой точностью, а такие феномены, как осцилляция нейтрино, показывающие неполноту Стандартной Модели, требовали лишь незначительной её модификации и усложнений. Тем не менее, даже если считать, что эта модель может полностью удовлетворительно описать осцилляции нейтрино, она по-прежнему остаётся неполной, поскольку не включает в себя описание темной материи, в то время как её учёт может потребовать серьёзных изменений, лежащих также за пределами идей Стандартной Модели. Помимо этого, она не является достаточно удовлетворительной и с “эстетической” точки зрения, поскольку содержит много внешних параметров и не объясняет такие проблемы, как иерархия масс и взаимодействий. Уместно привести достаточно обширную цитату, в которой Иэн Стюарт наглядно и красиво демонстрирует, почему такой подход к построению стандартной модели является не до конца удовлетворительным и с точки зрения симметрий: “Предположим, у вас есть мяч для гольфа, пуговица и зубочистка. Мяч для гольфа имеет сферическую симметрию SO(3), пуговица имеет симметрию окружности SO(2), а зубочистка обладает, скажем, просто отражательной симметрией O(1). Можно ли найти некоторый объединенный объект, обладающий всеми этими тремя типами симметрий? Да, можно — просто положите все три в бумажный пакет. Теперь вы можете применять SO(3) к содержимому пакета за счет вращения мяча для гольфа, SO(2) за счет вращения пуговицы, a O(1) — за счет переворачивания зубочистки. Группа симметрии содержимого пакета есть SO(3)×SO(2)×O(1). Стандартная Модель соединяет симметрии таким же образом. … И страдает от того же недостатка: она просто сваливает различные системы в кучу и комбинирует их симметрии очевидным и довольно тривиальным способом. Гораздо более интересный способ комбинирования трех групп симметрий может состоять в построении чего-то, что содержит те же объекты, но более изящным способом, чем просто в бумажном пакете. Может быть, у вас получится уравновесить зубочистку на мяче для гольфа, а на конце ее прикрепить пуговицу. Или у вас может быть целая система зубочисток, подобная спицам колеса; установите пуговицу на втулку и крутите колесо на мяче для гольфа. Если вы хорошенько исхитритесь, быть может, построенный объект будет обладать огромной симметрией, скажем, группой K(9). (Такой группы нет. Я придумал ее для этого обсуждения.) Группы симметрии SO(3), SO(2) и O(1) по отдельности могли бы при везении оказаться подгруппами в K(9). Это был бы куда более впечатляющий способ объединить мяч для гольфа, пуговицу и зубочистку.” [2, стр. 242] Возможно, конечно, что иного правильного объединения этих симметрий нет, ровно как возможно и нет полноценного объединения сил вообще, но, тем не менее, накапливающиеся необъясненные данные скорее говорят о том, что мы пока не можем правильно найти эту общую симметрию, нежели об её отсутствии. Тем не менее, подобные попытки иного объединения есть, хотя они еще не получили ни своего экспериментального подтверждения, ни опровержения.

         На роль выдуманной выше группы К(9) претендуют несколько групп, например, SU(5) или E6. Последняя из них представляет отдельный интерес, поскольку является одной из исключительных групп Киллинга, которые пока не нашли своего места в физике и, возможно, ждут своего времени. В частности, в различных вариантах теории струн E6 является одной из групп симметрий, а сама теория струн (именно как теория, а не как физическая реальность) уже дала несколько важных подсказок в виде новых подходов к физическим явлениям, дав, например, начало дуальности гравитация/калибровочная теория.

         Но даже если будет найдена новая симметрия для стандартной модели, то этого будет не достаточно для построения теории великого объединения, поскольку подобный синтез не будет включать в себя гравитацию. Возможно также, что построение этой симметрии невозможно без учета гравитации. Но сама проблема соединения этих двух секторов фундаментальна – каждая из них написана на своём языке, совместить которые пока не удалось. Причина здесь не просто в том, что ОТО является классической детерминистической теорией, которую пока не удалось проквантовать, а в том, что стандартная модель является квантовой теорией поля, которая пока удовлетворительно сформулирована только при фиксированной метрике, в то время как общая теория относительности говорит о том, что сама метрика является динамическим полем. Причем это противоречие более глубокое, чем может показаться на первый взгляд – приверженцы квантового подхода могли бы сказать, что гравитацию необходимо квантовать как возмущение над метрикой Минковского, но этим самым они бы противоречили главному уроку, которому нас научила общая теория относительности – а именно тому, что метрика должна быть полностью динамической. Однако, между этими двумя различными языками есть нечто общее, и этим является не что иное как понятие симметрии. В каждой из них у неё есть свои особенности, как дискретные симметрии в квантовом подходе или общекоординатная ковариантность в теории относительности, но само понятие и его важность в теории одинаковы. Эта одна из причин, которая побуждает искать дальнейшее объединение именно через поиски новых симметрий, что именно с помощью неё можно проложить дорогу к теории великого объединения.

 


Текущие направления исследования

 

Создание квантовой теории гравитации является, пожалуй, как одним из главных стимулов для создания новых теоретических моделей, так и уже непосредственным полигоном для работ в целом. В исследованиях по данному направлении можно выделить относительно небольшое количество ветвей развития. Первая из них заключается в расширение стандартной общей теории относительности с сохранением Лоренц-инвариантности и без радикальных изменений во взгляде на структуру Вселенной. Однако, не смотря на многочисленные попытки, на этом пути пока не получено удовлетворительной теории, и поэтому многие коллективы ученых пытаются найти альтернативные подходы к этому вопросу. Вторая ветвь исследований предлагает изменить некоторые наши представление об окружающем мире коренным образом. Одной из подобных теорий, а также и одной из наиболее перспективных, является теория петлевой гравитации, согласно которой само пространство-время является дискретной структурой. Стоит упомянуть, что в данном направлении были даже получены некоторые проверяемые предсказания. Другой ветвью является попытка подойти к созданию квантовых теорий с другого кона: обычно мы пользуемся некоторыми правилами для перехода от классической теории к квантовой, но почему бы не попытаться найти такие фундаментальные аксиомы, которые бы привели к квантовой теории напрямую? У этого похода есть два неоспоримых преимущества. Первое из них состоит в том, что квантовая теория более фундаментальна по сравнению с классической, а, значит, непосредственное знание аксиом последней намного важнее. Второе из них заключается в том, что рецепт перехода на квантовый уровень, например, в случае гравитации может быть принципиально неприменим и единственный способ построения такой теории заключается именно в подходе с конца.

 Но наиболее интересной ветвью в контексте данной работы является попытка переосмысления роли симметрий в физике – их возникновения и характера, что, в свою очередь, открывает множество перспектив, в том числе не только в области гравитации. Исторически, сначала было осознано, что отказ от Лоренц-инвариантности позволяет преодолеть ряд препятствий при построение квантовой гравитации, главным из которых было поднятие энергетического масштаба, до которого была справедлива соответствующая теория гравитации. Это замечание показало, что попытки отказа от Лоренц-инвариантности действительно имеют физический интерес, и тем самым также стимулировало развитие вопроса, на сколько далеко мы можем отходить от стандартных симметрий и наших представлениях о них, чтобы теория по-прежнему оставалась физической, не теряя связь с действительностью. Стоит также сказать, что данный подход пока тоже не дал результата в виде законченной самосогласованной теории.

Таким образом, одной из ключевых идей описанного выше подхода является мысль, что Лоренц-инвариантность не является фундаментальной симметрией природы, но должна тем или иным образом формироваться в предел низких энергий, чтобы теория не потеряла согласованность с феноменологическими данными. Поведение теории на различных масштабах энергий, как уже говорилось ранее, описывается её ренормгрупповым потоком, а наложенное выше требование однозначно фиксирует её поведение в инфракрасной зоне – Лоренц-инвариантная точка должна быть аттрактором в переделе низких энергий. Сложность состоит в том, что это стремление должно быть достаточно быстрым, чтобы Лоренц-нарушение не проявлялось во всем диапазоне экспериментально проверенных энергий. Суммируя и обобщая все выше сказанное, можно сказать, что главная идея этого подхода состоит в том, что Лоренц-инвариантность является не фундаментальной симметрией природы, но возникает необходимым образом как динамическая симметрия в пределе низких энергий. Таким образом, эта гипотеза обладает также математической красотой специального рода – вне зависимости от того хаоса и “уродства” уравнений, которые могут иметь место на высоких энергиях, сама структура этих уравнений такова, что с неизбежностью математики они становятся упорядоченными и “красивыми” в пределе низких энергий. Эта идея может быть применена и к остальным симметриям, таким как киральная или калибровочная, подразумевая также их динамическое происхождение.

Идеологически это означает, что наука отходит от концепции, согласно которой всем управляют симметрии и скрытая за ними красота, что они являются такими же фикциями, как и надлунный мир, считавшийся идеальным миром гармонии, но оказавшийся только плодом человеческой фантазии и неполноты его знания об окружающей Вселенной. Как в прошлом, так и сейчас, этот идеальный мир может рухнуть, показав, что мир устроен гораздо более хаотично, чем мы о нём сейчас думаем. Но, в тоже время, это будет означать, что сама математика (быть может, самый фундаментальный закон во Вселенной) устроена таким образом, что эта красота с неизбежностью возникает сама собой, а мир, как и в прошлом, тем самым опять обнаружит свою красоту, но на более глубоком уровне.

Проводя аналогию с прошлым, видно, что, возможно, современная наука находится на стадии, предшествующей открытию законов Ньютона, и, возможно, аналог кометы Галилея ждёт своего открытия.

С другой стороны, необходимо также отметить, что симметрии играют ключевую роль как в общей теории относительности, так и в квантовой картине мира. Если одна из важнейших задач современной физики состоит в объединении этих подходов, то симметрии должны сыграть в этом значительную роль. Таким образом, кроме разрушения идеализации роли симметрий, описанной выше, параллельно должен идти и обратный процесс, выражающий роль симметрий в описании мира на более глубоком уровне, как это оказалось после открытия законов Ньютона, разрушивших старую гармонию, но вылившихся в новую красоту специальной теории относительности.

 


Философско-гносеологические замечания

 

Возможно, что описание окружающего мира посредствам симметрий и их нарушений является самым естественным для нас, людей, подходом. Причина этого лежит в самой структуре языка, который мы при этом используем – человек работает в категориях объект-субъект, что автоматически означает необходимость выделения того, что называется объектом. В этом и заключается особенность, поскольку в качестве объекта мы выбираем нечто, что можно выделить из всего остального по тем или иным характеристикам. Применительно к физическим вопросам, это означает выделение объектов, слабо взаимодействующих со всем остальным, то есть выделение некоторых почти замкнутых систем. Примером этого разделения, в частности, является выделение четырёх фундаментальных взаимодействий – электромагнитного, слабого, сильного и гравитационного, каждое из которых ответственно за свой сектор и влияет на остальные пренебрежимо малым образом. С математической точки зрения это означает возможность нахождения некоторой группы, относительно которой рассматриваемые явления были бы инвариантны, то есть нахождение соответствующей группы симметрий. Однако, говоря о мире в целом, никакая из этих симметрий не может быть точной, поскольку мы знаем о наличии того или иного сектора через его взаимодействие с другими секторами, нарушающими симметрию первого. Поэтому, следующим шагом при использовании подобного языка была бы попытка объединения двух слабо связанных секторов путём нахождения симметрии, которая бы объединяла их отдельно взятые симметрии, но также могла бы на них “распадаться”. Примером этого процесса является объединение электромагнитных, слабых и сильных сил, механизм Хигса. Выходя на новый уровень, эти шаги можно пытаться повторять и повторять далее, надеясь, в конечном счете, добраться до теории великого объединения.

С другой стороны, прямые попытки объединить различные симметрии могут потерпеть неудачу по двум причинам. Первая из них состоит в том, что помимо пути вверх, на объединение, должен быть и путь вниз, к разбиванию симметрий. Под этим подразумевается необходимость выделения “следующих” фундаментальных частиц, как это было при обнаружении кваркового состава протонов и нейтронов, поскольку пути объединения двух секторов, без перехода на более фундаментальный уровень, просто может не быть. Говоря иначе, это означает необходимость изучения вопроса, не является ли некий сектор смесью двух или более других секторов, которые мы не можем выделить друг от друга потому, что они сильно взаимодействуют между собой, тем самым требуя более тонких опытов для обнаружения своей более сложной структуры. Вторая причина заключена в том, что при этом мы оперируем человеческими понятиями, которые могут не иметь прямого отношения к тому, как мир устроен на самом деле – мы изучаем не мир, а наше видение мира.


Список литературы

 

1)    Рассел Б. «История западной философии» – М. «Академический проект», 2009.

2)    Стюарт И. «Истина и красота. Всемирная история симметрии» – М. «Издательство Астрель», 2010.

3)    Oriti D. (editor), «Approaches to quantum gravity» – Cambridge, «Cambridge university press», 2009.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика