Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Заседание 14 октября 2010 года

 

Центр философии и истории науки МФТИ (РФО)

Семинар по философии науки

Заседание 14 октября 2010 года ( в 18.00)

по адресу Климентовский пер. 1 (филиал МФТИ)

"Место понятий и принципов «парящих над» отдельными разделами физики" (ПНД и энергия и др.),

Докладчик: д.ф.н., к.ф.-м.н. А.И.Липкин

 

С вопросами обращаться к рук. семинара

Аркадию Исааковичу Липкину

arkadiy.lipkin@gmail.com

Материалы к семинару:

Место понятий и принципов «парящих над» отдельными разделами физики

А.И. Липкин

 

Современная физика, наиболее адекватно представленная в фундаментальных курсах теоретической физики (таких как "Теоретическая физика" Л.Д.Ландау и Е.М. Лифшица или "Курс теоретической физики" В.Г. Левича), представляет собой совокупность разделов физики. Каждый раздел физики (это его и определяет) имеет свои основания, в рамках которых определяются основные понятия данного раздела[1]. При этом в качестве основной структуры оснований разделов физики выступает представление физического процесса («движения») как перехода физической системы (объекта) из одного состояния в другое. Описание этого перехода дается с помощью двухслойной структуры, состоящей из «модельного слоя», где фигурируют понятия физической системы (объекта) и ее состояний, и «математического слоя», где фигурируют их математические образы и «уравнение движения». «Математический слой» может быть реализован в виде различных математических представлений (например, ньютоновский, лагранжев, гамильтонов в классической механике, гейзенберговский, шредингеровский, взаимодействия -  в квантовой). Такой взгляд дает универсальный подход к основаниям всех разделов физики [Липкин 2001, 2005, 2007].

Но существует ряд понятий и принципов, как бы "парящих над" отдельными разделами физики (т.е. относящихся ко многим разным разделам физики). К ним относятся понятия энергии и импульса, законы их сохранения, принципы симметрии и "принцип наименьшего действия" (ПНД). В данной статье делается попытка понять природу этого "над".

 

1. "Интегралы движения", "кинетические состояния" и свойства симметрии

Рассмотрим сначала связанные между собой понятия "интегралов движения",  "кинетических состояний" и свойств (принципов) симметрии. Согласно теореме Нетер существует взаимнооднозначное соответствие между симметриями пространства и времени и законами сохранения для интегралов движения (энергии, импульса, момента количества движения). Положение "над" отдельными разделами физики указанных законов сохранения и интегралов движения связано с таким же положением в физике пространства и времени.

Законы сохранения выделяют движения, которые часто называют "естественными»: типа равномерного прямолинейного движения свободной частицы, или планетарных орбит в центральном поле, или атомных и молекулярных электронных орбиталей[2]. Подобное движение можно назвать "состоянием движения" (каковым у Ньютона было состояние равномерного прямолинейного движения) или "кинетическим состоянием". "Кинетическое состояние" следует отличать от широко используемого в теоретической физике "статического" или "мгновенного" состояния, называемого просто "состоянием", которое относится к определенному моменту времени и служит для описания физического "движения" (процесса) как перехода из одного состояния в другое. Так в классической механике состояние (статическое) частицы задается ее положением и скоростью в данный момент времени, соответственно ньютоновскому состоянию равномерного прямолинейного движения будет отвечать совокупность разных "статических" состояний. Такое описание не использует интегралов движения и связанных с ними законов сохранения.

Существуют симметрии не пространственно-временного, например, симметрия относительно калибровочных преобразований, из которой следуют законы сохранения зарядов (электрического, барионного, лептонного и др.), изотопической инвариантности, из которой следует сохранение изотопического спина в процессах сильного взаимдействия [Герштейн]. При таком подходе в квантовой теории поля (КТП) соответствующие элементарные частицы (например, адроны) можно рассматривать как кинетические состояния (кварков)). Физическая модель КТП основывается на выделяемых сохраняющихся величинах – «зарядах», их носителях – «частицах» («заряженных»)и «частицах-переносчиках взаимодействия» (вид которых следует из локальной калибровочной симметрии). Оба типа «частиц» являются квантами соответствующих полей. Уравнения движения для этой системы взаимодействующих полей получается с использованием «калибровочной симметрии» [Ефремов]. В ходе этой процедуры «частицы-переносчики взаимодействия» (фотоны, глюоны, промежуточные бозоны,…) представляются как калибровочные (компенсирующие) векторные поля (принадлежащие к классу полей Янга — Миллса), обеспечивающие инвариантность уравнений движения относительно калибровочных преобразований. "Над" различными квантовыми теориями поля, каждая из которых имеет свои основания и поэтому является отдельным разделом физики (квантовая электродинамика, квантовая хромодинамика, квантовая теория электро-слабого взаимодействия) «возвышается» общий для них принцип «калибровочной симметрии».

Математическим аппаратом для работы с этими свойствами симметрии является аппарат теории групп.

2. Принцип наименьшего действия

Теперь обратимся к принципу наименьшего действия (ПНД). Первую формулировку "принцип наименьшего действия" дал П. Мопертюи в 1744 году (хотя родоначальником этого направления, наверное, надо считать Лейбница[3]), сразу же указав на его универсальную природу, считая его приложимым к оптике и механике (при этом он подводил под него теологическое основание). Эйлер и Лагранж, дистанцировавшись от теологии и ограничившись областью механики, развили этот принцип в рамках аналитической механики. Затем Гамильтон, чье имя с тех пор и носит этот принцип, развил эту линию.

Взяв в качестве меры действия (S) интеграл по времени от разности между кинетической (T) и потенциальной (U) энергиями[4], называемой "функцией Лагранжа" или лагранжианом (L = T-U; S = ? Ldt), Гамильтон сформулировал принцип наименьшего действия в следующем виде: "действительным движением, реализующимся в природе, является то, для которого это действие принимает наименьшее [5] значение" [Ланцош, с. 17]. При этом Гамильтон и его последователи вывели действие этого принципа за рамки механики. В весьма общей формулировке П.Дирака в его лекции «Метод Гамильтона» он звучит так: «существует принцип действия, зависящий от вида движения системы, такой, что из условия его (действия S = ? Ldt – А.Л.) стационарности при изменения движения мы получаем уравнение движения (выд. - А.Л.)» [Дирак, с. 410, 411].

Сравнивая закон сохранения энергии и ПНД, М. Планк в статье «Принцип наименьшего действия» [Планк] говорит, что распространение ПНД на другие разделы физики сначала физиками рассматривалось как курьез, как нечто несерьезное и непонятное, но затем он стал фундаментальным принципом в теоретической физике. При этом он напоминает, что и с законом сохранения энергии происходило нечто подобное. Потребовалось время, чтобы он вышел за пределы механики и стал рассматриваться как общий закон для всех разделов физики.

Однако это очень интересное сравнение позволяет выявить и существенную разницу между понятиями энергии и действия. Энергия существует как хорошо определенная и измеримая физическая величина. Действие же не только не существует как измеримая величина, но и используется только как метод получения уравнения движения [6], что наводит на мысль о том, что речь здесь идет, в первую очередь, о другом «математическом представлении» (кстати, Дирак представлял свою лекцию «Метод Гамильтона» как «математический метод») [Дирак, с. 408]) – использование вариационного исчисления вместо дифференциальных уравнений.

ПНД исходит из общей для всех разделов физики схемы описания «движения» как перехода физической системы из одного состояния (начального) в другое (конечное). К этому добавляется утверждение, что можно ввести такую функцию размерности энергии L, что для нее будет верно приведенное выше утверждение П.Дирака для действия S = ? Ldt [Дирак, с. 412][7]. К этому следует добавить, что любое вариационное уравнение может быть переведено в дифференциальное, и для непосредственных вычислений проще пользоваться последними (поэтому этот перевод, как правило, используется). Во многих случаях верно и обратное[8]. Отсюда возникает гипотеза, что ПНД – это математическая форма в рамках вариационного исчисления, а действие, в отличие от энергии, не физическая величина, а математический объект (математический образ). Но если лагранжиан и гамильтониан являются математическими образами физической системы в рамках соответствующего математического представления [Липкин 2001, 2005, 2007], то действие оказывается математическим образом системы в связке с ее начальным и конечным состоянием, т.е. изоморфно всему уравнению движения, а не его элементу. Поэтому выбор конкретного вида действия аналогичен выбору дифференциального уравнения. Здесь есть свои простейшие связи (подобные ньютоновской F = m a   - простейшей (линейной) форме связи между силой и ускорением), что с большим искусством используют физики (например, Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц в своей "Теоретической физике")[9].

В пользу утверждения о том, что используемое в ПНД действие относится к новому математическому представлению, а не новой физической величине, говорят и примеры классической и квантовой механики.

В классической механике, согласно К. Ланцошу, "ньютоновскую" и аналитическую механику можно рассматривать как два "направления развития" механики (точнее два формализма или математических представления, имеющих свои преимущества): "Теория Ньютона базируется на двух основных векторах: на "импульсе" и на "силе"; "вариационная теория, основанная Эйлером и Лагранжем, базируется на двух скалярных величинах: "кинетической энергии" и "силовой функции" (потенциальной энергии U – А.Л.)" [Ланцош, с. 19][10]. При этом каждое из направлений имеет свои преимущества в определенных областях применимости. Для систем со связями аналитический подход оказывается более экономичным и простым. "Аналитический метод… позволяет обойтись лишь кинематическими  условиями… Задание таких априорных кинематических условий намного проще, чем детальное изучение сил" [Ланцош, с. 26-27]. Более того, "третий закон движения Ньютона не охватывает всех случаев (связи – А.Л.)… С другой стороны, … силы типа трения, не имеющие силовой функции, оказываются вне области применимости вариационных принципов[11], в то время как ньютоновская схема охватывает их без каких бы то ни было затруднений" [Ланцош, с. 19] [12].

Отличаются и идеологии двух подходов. В "ньютоновском" подходе "задача заключается в выявлении всех сил, действующих на каждую данную частицу, после чего движение однозначно определяется… Аналитический подход к задаче о движении совсем иной. Частица уже более не является изолированным объектом, а представляет собой часть "системы". Под "механической системой" понимается совокупность частиц взаимодействующих между собой… Поэтому целесообразно рассматривать задачу динамики системы в целом, не разбивая эту систему на части"[13] [Ланцош, с. 15, 26-27]. Л.С. Полак к этому добавляет, что "лагранжев формализм (формализм S-матриц – его аналог) характеризует картину процесса вдоль траектории в целом" [Полак, с. 359 ], в то время как ньютоновский дает изменение состояний системы во времени. Рассмотрение «траектории в целом», как и ссылка на формализм S-матриц указывает на близость этого формализма идеологии теории столкновений, где ищется ответ на вопрос о связи лишь между начальным и конечным состояниями.

Но с точностью до этих уточнений "ньютоновский" и "аналитический" подходы - "это два различных математических описания одной и той же совокупности явлений природы" [Ланцош, с. 19], т.е. два эквивалентных математических описания (представления) одних и тех же физических моделей.

 

В случае квантовой механики логика ПНД проводится Р. Фейнманом с помощью "интегралов по траекториям" [Фейнман, Хибс].

Согласно академику А.А. Славнову, кратко это можно описать так. "Функционального интеграла метод метод квантования физических систем, альтернативный волновой механике Шрёдингера и операторному методу Гeйзенберга. В основе этого метода, предложенного в 40-х гг. Р. Фейнманом, лежит предположение о том, что амплитуда вероятности перехода механической системы из начального состояния, характеризуемого координатами ха, в состояние с координатами хb пропорциональна сумме амплитуд, отвечающих всевозможным траекториям, связывающим точки а и b [14] . … Несмотря на то, что явно вычислить удаётся фактически лишь гауссовы интегралы, этого достаточно для метода теории возмущений в квантовой статистике и квантовой теории поля. С помощью функциональных интегралов были впервые получены правила Фейнмана (Фейнмана диаграммы) для вычисления матрицы рассеяния S в квантовой электродинамике[15]… Метод функционального интегрирования оказался особенно полезен в задачах, в которых необходимо суммировать большое (а иногда и бесконечное) число диаграмм" [Славнов].

Но Фейнман показал, что от его интегралов по траекториям можно перейти к уравнениям Шредингера, т.е. интегралы по траекториям в квантовой механике, как и вариационный метод в классической механике, – это лишь иное эквивалентное математическое представление [Фейнман, Хибс, с. 89][16].

 

Т.о., положение ПНД «над» разделами физики объясняется тем, что ПНД дает математическое описание «движения» как перехода физической системы из одного состояния (начального) в другое (конечное), что имеет место во всех разделах физики, а "непостижимая эффективность" ПНД, о которой говорит Вл.П. Визгин [Визгин]– это, главным образом, "эффективность" вариационного исчисления как математического аппарата, который надо сравнивать с "эффективностью" аппарата дифференциальных уравнений (выбор конкретного вида действия, как указывалось выше, аналогичен выбору дифференциального уравнения). Поэтому я согласен с указанием Вл.П. Визгина на аналогичность вопросов о "непостижимой эффективности" ПНД и о "непостижимой эффективности" математики в физике (Е. Вигнер), хотя наши взгляды на суть этой аналогии сильно расходятся[17].

 

3. Вопрос Е. Вигнера о "непостижимой эффективности" математики

 

Одна из формулировок вопроса-удивления Вигнера выглядит так: «закономерности в явлениях окружающего нас мира допускают формулировку с помощью математических понятий, обладающих сверхестественной точностью… Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов» [Вигнер, с. 194, 197] (текст Вигнера написан в 1959 г., но весьма почитаем и сегодня). В качестве иллюстраций он приводит три примера: закон всемирного тяготения Ньютона, теорию основного состояния гелия, лэмбовский сдвиг, которые эмпирически подтверждены с очень высокой точностью.

Эта «непостижимость» у Вигнера существенно связана с эмпиристской и позитивистской эпистемологической позицией, в центре которой находится обнаружение законов природы, выражаемых с помощью математических формул и получаемых из эмпирических данных (по позитивистски интерпретированной бэконовской схеме: эмпирические факты – эмпирические закономерности – теоретические законы): “Математическая формулировка полученных физиком зачастую не слишком точных экспериментальных данных приводит в огромном числе случаев к удивительно точному описанию широкого класса явлений. Это свидетельствует о том, что математический язык… отвечает существу дела” [Вигнер, с. 190].

Но если от позитивисткой схемы перейти к постпозитивистской структуре физического знания, изложенной в [Липкин 2001, 2005, 2007], то картина будет выглядеть совсем по-другому.

1) в рамках этой схемы (как и схем Т.Куна и И.Лакатоса) выделяется два уровня и, соответственно, два типа работы. Первый уровень отвечает формулировке оснований раздела физики, где задаются исходные понятия, включая «первичные идеальные объекты» – ПИО (типа пустоты в теории падения тел Галилея, классической или квантовой частицы, электромагнитного поля и т.п.). ПИО не выводятся из опыта, а «вводятся» в опыт, т.е. это теоретические «проекты без прототипов», которые с определенной точностью реализуются в материале;

2) в современной физике используется неявный тип определения, в котором вводится сразу целая группа взаимосвязанных понятий, куда входят и рассматриваемые Вигнером математические понятия и уравнения («уравнения движения», отвечающие «законам» Вигнера);

3) теоретические модели (теории) различных явлений, которые я назову «вторичными идеальными объектами» – ВИО, строятся на втором уровне из ПИО. Поэтому в центре физических теорий оказываются не законы, а ПИО и ВИО, законы (в виде уравнений движения) оказываются элементами описания ПИО.

Из п.1 следует, что утверждение Вигнера, что «законы свободного падения были установлены в результате экспериментов» – неверно. Оно не подтверждается ни современной историей науки, ни логическим анализом «Бесед…» Галилея, где эта теория сформулирована. Из «Бесед…» вытекает другая базисная схема: пустота, по определению, – такая совокупность условий, где тело падает равномерно ускоренно с абсолютной точностью (за отклонение от такого движения ответственна «среда», третье после «тела» и «пустоты» понятие модельного слоя Галилея), но реализуется она приближенно. В этом причина «эмпирического закона эпистемологии» Вигнера, состоящего в том, что «законы природы обладают почти фантастической точностью, но строго ограниченной сферой применимости» [Вигнер, с. 193].

Из п. 2 следует, что математика не является ни языком, на котором что-то выражается, ни «существом дела». Математические понятия (математика) являются элементами конструкции оснований раздела физики ("ядра раздела физики"), наряду с понятиями модельного слоя и техническими операциями приготовления и измерения [Липкин 2001, 2005, 2007]. Ту или иную математику включают в основания раздела физики (подобно тому, как колесо включается как элемент в конструкцию повозки). При этом математика не является ни языком для выражения чего-то существующего вне нее, ни отражением или выражением реальности (как у Платона), а служит инструментом (как у Декарта), если конечно уйти от позитивистской "стандартной" структуры физического знания, где модельный слой отсутствует (подробнее см. [Липкин 2001, 2005, 2007]).

Тогда вигнеровское «чудо точности» законов физики и «эффективности математики» превращается в «чудо точности осуществления ПИО», «эффективности ПИО». Последнее опирается на наличие множества однотипных простых объектов (камней, планет, атомов) и элементаристском характере многих сложных объектов. Но если бы дело обстояло иначе, то не было бы физики, которая на этом основана. Возможно ключ к ответу на вигнеровские «чудеса» состоит и в том, что мы имеем не «два… чуда – существование законов природы и человеческого разума, способного раскрыть их», а их взаимосвязь (например, по Канту). Здесь, правда, мы выходим на спор «реализма» и «конструктивизма», выходящий за рамки данной статьи.

Т.е. утверждения Е.Вигнера и сама постановка его вопросов сильно зависят от эпистемологической позиции. Проиллюстрирую это еще на анализе двух примеров Вигнера.

1. Вигнер говорит: «Ньютон постулировал свой закон всемирного тяготения, опираясь… на весьма грубое численное совпадение» [Вигнер, с. 191]. Это эмпиристский миф о создании теории тяготения. “Математические начала натуральной философии” И.Ньютона вводят динамику (классическую механику) и теорию тяготения для теоретического вывода трех законов Кеплера, описывающих движение планет по эллипсам. Для теоретического вывода законов Кеплера требуется абсолютная точность этих двух теорий Ньютона (уточняться могла лишь константа гравитационного взаимодействия), независимо от точности доступных реальных наблюдений.

2. В качестве демонстрации того, что «законы приоды должны формулироваться на языке математики» Вигнер формулирует «аксиомы квантовой механики» в следующем виде: «В основу квантовой механики положены два понятия: понятие состояний и понятие наблюдаемых. Состояния – это векторы в гильбертовом пространстве; наблюдаемые самосопряженные операторы, действующие на векторы состояния. Возможные значения наблюдаемых определяются собственными значениями этих операторов и т.д.» [Вигнер, с. 189]. Это описание квантовой механики сформулировано в рамках позитивистской «стандартной схемы», неадекватность которой интенсивно обсуждалась в 1960-1970-х гг. В [Липкин 2001, 2005, 2007] дана совсем другая формулировка оснований той же квантовой механики, созданной в 1925-1927 гг.

Вывод из этого обсуждения состоит в том, что постановка вопроса об «эффективности» (ПНД, математики) и попытки ответов сильно зависят от эпистемологической позиции и отнюдь не очевидны, как это часто преподносят.

 

Заключение

Т.о., физика представляется как совокупность "разделов физики", имеющих собственные основания, в рамках которых задаются базовые понятия раздела. Но существует ряд понятий и принципов, применимость которых  выходит за рамки отдельного раздела физики, расположенных как бы "над" ними.

Первую группу таких понятий составляют пространство, время и связанные с ними симметрии и интегралы движения. Эти понятия имеют ясный физический смысл и четкие процедуры измерения. Их можно отнести к модельному слою. В качестве математического аппарата здесь широко используется теория групп.

Вторую группу составляют понятия, относящиеся к математическому представлению и обозначающие типы математических образов физической системы (лагранжиан, гамильтониан и др.). Сюда же мы относим и понятие действия (и принцип наименьшего действия), которое, по сути, представляет и физическую систему, и ее «начальное» и «конечное» состояния, т.е. все уравнение движения, а не отдельный его элемент.

 

Литература

Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971.

Визгин Вл.П. Непостижимая эффективность аналитической механики в физике. // Философия физики. Актуальные проблемы. Материалы научной конференции 17-18 июня 2010 г.М., 2010.

Герштейн С. С. Симметрия // Физическая энциклопедия (http://femto.com.ua).

Ефремов Л.В. Калибровочная симметрия // Физическая энциклопедия (http://femto.com.ua).

Ланцош К. Вариационные принципы механики. М., 1965.

Липкин А.И. Объектная теоретико-операциональная  модель структуры научного знания // Философия науки (под ред. А.И. Липкина). М.: ЭКСМО, 2007.

Липкин А.И. Основания современного естествознания. Модельный взгляд на физику, синергетику, химию. М.: "Вузовская книга", 2001.

Липкин А.И. Квантовая механика как раздел теоретической физики. Формулировка системы исходных понятий и постулатов // Актуальные вопросы современного естествознания. 2005, вып.3, с. 31-43.

Логунов А.А. Теория классического гравитационного поля

//УФН, 165 (2) 187-203 (1995).

Планк М. Единство физической картины мира. Сб. ст. М.: Наука, 1966.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики М., 1961.

Славнов А.А. Функционального интеграла метод // Физическая энциклопедия (http://femto.com.ua).

Фейнман Р., Хибс А.  Квантовая механика и интегралы по траекториям



[1] Такое понятие "раздел физики", которое вводится в [Липкин 2001, 2005, 2007], достаточно привычно для физиков, но отсутствует в работах по философии и истории науки, точнее прячется за менее четкими понятиями типа "фундаментальная теория" или "теория с замкнутой системой понятий". Это связано с тем, что там, как правило, исходят из "одноуровневой" модели, в которой не проводят четкого различения между ПИО и ВИО.

[2] В ОТО нет этих свойств, поэтому там нет таких простых законов сохранения (их отсутствие послужило для А.А. Логунова основанием развивать альтернативную релятивистскую теорию гравитации [Логунов]), все движения по геодзическим линиям являются «естественными», в силу чего там возникают вопросы к понятию гравитационного поля (под силовым полем, образцом которого служит электромагнитное поле, обычно понимают источник отклонения от «естественного» движения).

[3] "В то время как Ньютон предложил действие силы измерять ее импульсом,… Лейбниц, современник Ньютона, ратовал за другую величину vis viva, или живую силу (удвоенную кинетическую энергию – А.Л.), считая именно ее правильным мерилом динамического действия силы… Он заменил "силу" Ньютона "работой силы". Эта "работа силы" была впоследствии заменена еще более фундаментальной величиной – "силовой функцией"… Лейбниц является основателем второй ветви механики, обычно называемой "аналитической механикой", в которой изучение равновесия и движения во всех случаях исходит их двух основных величин, "кинетической энергии" и "силовой функции", причем последняя часто заменяется "потенциальной энергией"" [Ланцош, с. 15].

[4] "Кинетическая энергия, энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек… Потенциальная энергия, часть общей механической энергии системы, зависящая от взаимного расположения частиц, составляющих эту систему, и от их положений во внешнем силовом поле. Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю. Из определения следует, что понятие потенциальной энергии имеет место только для консервативных систем, т. е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы" (Тарг С.М. // БСЭ). Эти понятия, а следовательно и указанное выражение для действия, можно ввести не только для классической механики.

[5] Точнее – экстремального (т.е. включая и случай максимума), а еще точнее – стационарного, т.е. не зависящего от времени.

[6] Размерность действия имеет постоянная Планка h, но это ее качество, использовавшееся в «старой» квантовой теории первой четверти 20 в., не используется в современной квантовой механике, где важно, что hn (где n - частота) – это энергия. В некоторых рассуждениях квантовой статистической физики это свойство используется для ряда промежуточных рассуждений при получении, по сути, аналога уравнения движения.

[7] «Для некоторых простых типов полей, рассматриваемых в физике, – пишет П.Дирак, – лагранжиан квадратичен по скоростям и подобен лагранжиану, используемому в нерелятивистской динамике частиц», откуда и вышел ПНД, но формулировка Дирака шире. 

[8]  "Законы различных областей физики выражаются… дифференциальными уравнениями, свойством которых является то, что они могут быть сформулированы в виде вариационного принципа "Вообще говоря, всякое линейное  дифференциальное уравнение второго порядка может быть приведено к типу Штурма-Лиувиля, и, след, сформулировано в виде вариационного принципа…" [Ланцош, с. 15].

[9] Вариационная форма "позволяет записать эти уравнения в форме, независимой от системы координат, а также… позволяет использовать вариационные принципы для отыскания таких уравнений" [Полак, с. 363-364].

[10] Аналитическая механика на основе вариационного принципа – это лишь одна из возможных ее форм представления, но именно она нас здесь интересует.

[11] Точнее – требует существенных усилий для обхода этих трудностей в более изощренных вариантах этого подхода.

[12] "Ньютоновский" (по Полаку) подход исходит из "статических" состояний физической системы в каждый момент времени, движение (процесс) описывается как  множество "статических" состояний, связанных между собой посредством "уравнения движения" (в механике – уравнением Ньютона и его аналогами). Предложенная в [Липкин 2001, 2005, 2007] единая структура оснований раздела физики принадлежит к этому типу.

[13] Это существенное отличие. В "ньютоновском" подходе исходными единицами являются физические объекты и взаимодействие между ними, что предполагает построение из них различных "объектных" моделей, теоретическое движение идет от объектов-элементов к системе, основная часть работы идет в "модельном слое" [Липкин 2001, 2005, 2007], а в "аналитическом" подходе основная часть работы проходит в "математическом слое" уравнений, относящихся к системе в целом.

[14] "Функциональный интеграл Фейнмана является обобщением интегралов по траекториям, введённых в работах А. Эйнштейна и М. Смолуховского (М. Smoluchowski) по теории броуновского движения. Основы математической теории интегралов по траекториям были заложены в 20-х гг. Н. Винером (N. Wiener), однако строгая математическая теория функциональных интегралов, встречающихся в ряде физических задач, до сих пор отсутствует" [Славнов].

[15] "Ньютоновский" (по Полаку) подход исходит из "статических" состояний физической системы в каждый момент времени, движение (процесс) описывается как  множество "статических" состояний, связанных между собой посредством "уравнения движения" (в механике – уравнением Ньютона и его аналогами). Предложенная в [Липкин 2001, 2005, 2007] единая структура оснований раздела физики принадлежит к этому типу.

[16] В вариационном подходе к квантовой теории поля Дж.Швингера квантовое действие является оператором, в то время как в подходе "интегралов по траекториям" (функциональных интегралов) действие является классической функцией. Однако современная формулировка этих двух формализмов идентична. Родственным швингеровскому является подход П.Дирака (и Дирак был здесь первым), развивавшего «процедуру, связанную с получением из интеграла действия, взятого в качестве исходной величины, лагранжиана, с переходом от лагранжиана к гамильтониану и затем с переходом от гамильтониана к квантовой теории» [Дирак, с. 412].

[17] Вл.П. Визгин разделяет позицию Е. Вигнера, а я, как будет видно ниже, нет.

 

 

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика