Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Заседания 08 06 2009

Очередное заседание семинара по философии науки состоится

в пн. 08.06.09 в 17.00, Клементовский пер. 1 (рядом с метро "Новокузнецкая" и "Третьяковская")

 

Тема:

Архетип модели сплошной среды и его воплощение в различных разделах физики

(термодинамике, механике сплошных сред, электродинамике)

 

Докладчик: А.И.Липкин

Материал прилагается

 

arkadiy.lipkin@gmail.com

 

 

 

Архетип модели сплошной среды и его воплощение в различных разделах физики (термодинамике, механике сплошных сред, электродинамике)

А.И.Липкин

 

Что такое физика? В чем ее специфика по сравнению с другими естественными науками, например, химией?

В [Липкин 2001; 2007 (гл.7)] утверждается, что специфика физики, как и других естественных наук, определяется теми моделями, с помощью которых она описывает (упорядочивает) мир природы.

Без математического описания нельзя работать, нельзя предсказывать поведение физической системы. Однако основу физической теории составляет физическая модель явления (объекта), которая по сути отсутствует в стандартном представлении (Received View) позитивистов [Suppe p. 10–12, 3-4][1] . Но, как уже говорилось, понимание физической теории наступает после создания (выделения и понимания) соответствующей физической модели[2]. Центральное место физической модели в физике проявляется в том, что одна и та же физическая модель может обслуживаться разными эквивалентными “математическими представлениями” (в классической механике - это представления Ньютона, Лагранжа, Гамильтона). Выбор математического представления в физике во многом аналогичен выбору разных систем координат (декартовой, цилиндрической, сферической и т.п.) в аналитической геометрии. В обоих случаях этот выбор исходит из соображений удобства.

Итак модели лежат в центре понимания физических явлений. Нас интересует понимание, а следовательно модели.

 

Согласно проводимой автором линии [Липкин 2001, 2007, …] современная форма представления физического знания наиболее адекватно представлена в структуре теоретической физики, сложившейся на границе 19 – 20 вв. (на отрезке от создания электродинамики Фарадея-Максвелла до создания новой квантовой механики в 1925-27 гг.). Новая форма знания – продукт методологической революции, происшедшей как ответ на возникший в конце 19 в. кризис в основаниях механики и физики в целом. Этот кризис развивался параллельно аналогичному кризису в основаниях геометрии в связи с появлением неэвклидовых геометрий. В физике аналогичную роль сыграло появление неньютоновского по своей сути электромагнитного поля. Ответом, как и в геометрии, стал переход к неявному типу определения основных понятий. В результате физика в своей новой форме – теоретической физике – предстала в виде совокупности разделов, в каждом из которых есть свое основание в виде системы постулатов (называемых мной «ядром раздела физики» - ЯРФ), осуществляющих неявное определение основных понятий, включая базовые объекты – «первичные идеальные объекты» (ПИО) данного раздела физики. Наиболее четко эта структура проявлена в таких разделах физики как классическая и квантовая механика и теория относительности, т.е. тех разделов, которые непосредственно были вовлечены в указанный «кризис оснований».

 

Все разделы физики имеют сходную структуру ЯРФ, в которой можно выделить теоретическую и операциональную части.

Теоретическая часть состоит из физической модели и ее математического представления. Основными элементами физической модели являются “физическая система” (A) – то, что не меняется (в классической механике – механические частицы), и ее “состояния” (SA(j)) – то, что меняется (в классической механике – положения и скорости механических частиц). Эта пара понятий, представляющая физический процесс (движение) как переход физической системы A (ПИО или ВИО) из одного состояния (SA(1)) в другое (SA(2)), является центральной в современной теоретической физике [Липкин 2007 а; 2001 а]:

<П| [SA (1) è {SA(2) = УД=>SA(2)} ] |И> è SA(2) .             (1)           

При этом связь между состояниями физической системы задается с помощью “уравнения движения” УД (например – уравнения Ньютона), для чего вводится “математическое представление” (выделено подчеркиванием), состоящее из математических образов физической системы, внешних воздействий (сил и т.п.), состояний физической системы и «законов природы» в виде “уравнения движения” (УД).

Состояние физической системы – одно из центральных понятий физики (хотя в курсе общей физики и в школе, этого понятия избегают). Знание состояния задает полную возможную информацию о системе в данный момент времени, а посредством уравнения движения – и в другие моменты времени. Так в классической механике, где уравнением движения является уравнение Ньютона, для случая физической системы, состоящей из одной частицы, зная положение и скорость частицы с помощью уравнения движения, можно ответить на любой вопрос про движение частицы, как в этот момент времени, так и в любой другой. Поэтому знание положения и скорости частицы и задает состояние частицы в классической механике.

Физическая модель, с одной стороны, связана с математическим представлением, а с другой – с процедурами приготовления и измерения.

В операциональную часть входят операции приготовления <П| (системы и ее начального состояния) и измерения |И> (основу последней составляют эталон и операции сравнения с эталоном).

Все элементы этой структуры взаимосвязаны и определяются (как и основные понятия геометрии) совместно.

Из анализа ПИО различных разделов физики следует, что модели самих ПИО основываются (вырастают), главным образом, из двух архетипических моделей – модели локальной частицы и нелокальной сплошной среды. На натурфилософском уровне они были обозначены в споре картезианцев с ньютонианцами[3]. На естественнонаучном уровне они впервые были разработаны соответственно в механике Ньютона и гидродинамике идеальной жидкости Эйлера, а при появлении электромагнитного поля Фарадея-Максвелла проявляется четко обозначается их противопоставление.

 

Воплощение модели локальной частицы в классической и квантовой механике, а также в теории относительности были рассмотрены в [Липкин 2005; 2006; 2001; 2007], ее существенная модификация в виде множества частиц, лежащая в основе статистической физики – в [Липкин 2008].

Данная статья посвящена рассмотрению второго архетипа и его реализации в различных разделах физики: термодинамике, механике сплошных сред, электродинамике.

Отметим, что в стандартных изложениях последних указанная выше структура раздела физики, как правило, выражена слабо. При их изложении акцент делается на «выводе» исходных уравнений и применении их к типовым классам задач. Это прямой путь к овладению предметом, т.е. приобретению способности решать задачи. Но если начинать с понимания, то необходимо сначала выделить исходный физический объект (систему) и связанные с ним возможные его состояния. А уж потом переходить к типовым классам задач.

Наиболее последовательно такая схема реализована в книге Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. (М.: Мир, 1964) (а также в статье Д.Н. Зубарева «Термодинамика неравновесных процессов» в БСЭ) Мы предварим обращение к этой книге рассмотрением двух наиболее простых реализаций (воплощений) архетипа сплошной среды в гидродинамике идеальной жидкости Эйлера и электродинамике Максвелла.

 

Начнем с самой простой и исторически первой реализации архетипа сплошной среды в гидродинамике идеальной жидкости Эйлера.

В качестве физической системы здесь выступает жидкость, имеющая определенную плотность, занимающая определенное пространство, ограниченное соответствующей границей. Состояние этой физической системы задается значениями скорости v и давления p во всех точках данного пространства. Это типологическое отличие состояний сплошной среды, имеющей бесконечное число степеней свободы, от состояний локальных частиц, имеющих конечное (как правило, небольшое) число степеней свободы. Внешнее воздействие осуществляется через границу – граничные условия (внешние поля мы пока не рассматриваем). Операции измерения соответствующих величин предполагают использование "пробного тела", с помощью которого выделяется определенная локальная окрестность некоторой точки x в занимаемом жидкостью пространстве. Математическими образами соответствующих физических величин являются их значения. Связь состояний фиксируется уравнением движения в форме уравнений Эйлера.

 

Обобщая эту модель, архетип сплошной среды сведем к следующей общей схеме:

1)                      физическая система – сплошная среда, занимающая определенное пространство, ограниченное соответствующей границей и характеризующаяся плотностью некоторых измеримых характеристик;

2)                      2) состояние этой физической системы задается значениями определенного набора измеримых величин во всех точках данного пространства;

3)                      3) внешнее воздействие осуществляется, во-первых, через граничные условия для входящих в пункт 2 величин, во-вторых к ним могут быть добавлены внешние силы или поля одновременно с дополнительными характеристиками физической системы - сплошной среды – плотности заряда и т.п., которые ответственны за взаимодействие с этими внешними силами и полями;

4)                      4) операции измерения соответствующих величин, характеризующих состояние системы, предполагают использование "пробного тела";

5)                      5) математическими образами измеримых величин являются значения этих измеримых величин;

6)                      6) связь состояний в математическом слое фиксируется соответствующим уравнением движения.

7)                      в центре внимания изменения харктеристик внутри системы, которые определяют пространственные потоки величин (теплопроводности, диффузии, вязкого течения, электропроводности), т.е. потоках характеристик внутри объекта (физической системы в виде сплошной среды. Специфика динамики сплошных сред по отношению к динамике частиц, состоит в том, что имея ту же структуру ЯРН и ПИО, в центре внимания оказывается не движение системы, а движение внутри нее.

 

Говоря о сплошной среде, часто оговаривают, что масштаб описания велик по сравнению с величиной молекул. Но предположение о молекулярной структуре является излишним при введении понятии сплошной среды (они отсутствуют и в споре картезианцев и ньютонианцев). Поэтому в нашем определении отсутствует ссылка на молекулы и вещественность. В результате этого под определение сплошной среды подпадает, как нетрудно убедиться, и "невещественное" силовое поле (электромагнитное или гравитационное), описание которого вполне вписывается в пп. 1-7. Так электромагнитное поле определяется тогда как особая («невещественная») сплошная среда, состояния которой задаются значениями напряженностей электрического и магнитного полей, их изменение – уравнениями Максвелла, а их измерение использует пробные заряды и витки с током. Такое определение соответствует и истории формирования этого понятия, поскольку и Фарадей и Максвелл рассматривали поле как сплошную среду (эфир), вводя принцип «близкодействия», в противовес ньютонианской модели «дальнодействия», из которой исходили их конкуренты Нейман и др. в Германии.

Теперь посмотрим как этот архетип воплощается в других разделах физики. Начнем с наиболее общего рассмотрения, представленного в упомянутой «Неравновесной термодинамике» С. Де Гроота и П. Мазура (где, кстати, наряду с гидродинамикой фигурирует и электродинамика).

«Неравновесная термодинамика должна строиться с самого начала как континуальная теория, где параметры состояния рассматриваются как полевые переменные, т.е. непрерывные функции пространственных координат и времени. Кроме того, желательно формулировать основные  уравнения теории таким образом, чтобы они содержали только величины, относящиеся к одной точке пространства в один момент времени, т.е. в форме локальных уравнений. Именно в этой форме формулируются уравнения динамики жидкости и теория Максвелла» (здесь и далее выделено – А.Л.)[с. 10][4].

Т.е. состояние физической системы задается значениями соответствующих измеримых величин во всем пространстве, занимаемой системой (п.2). В состав этих величин входят переменные идеальной жидкости – скорости v и давления p, а также термодинамические переменные: температура T, внутренняя энергия U, энтропия S, концентрация {ck} (для многокомпонентных систем) и соответствующие внешние воздействия (нагревание dQ, граничные температура, давление, скорость). Наряду с величинами, характеризующими состояние системы, есть величины, которые характеризуют саму систему. К ним, наряду с плотностью и составом (для многокомпонентных систем), относятся так называемые "кинетические коэффициенты" или "коэффициенты переноса" (коэффициентами теплопроводности, диффузии, вязкости, электропроводности).

 

Авторы рассматривают весьма общий случай «системы, состоящей из n компонентов, между которыми возможны r химических реакций» [с. 19]. Состояния этой системы задает «n + 4 независимых переменных: плотности r, n – 1 концентраций ck , трех декартовых компонент vx, vy, vz скорости v и температуры T» [с. 47].

В основе уравнений движения лежат (кладут) законы сохранения массы, количества движения и энергии (т.е. «первый закон термодинамики»), уравнение баланса энтропии (т.е. «второй закон термодинамики») «в их локальной… форме», уравнения состояния и набор феноменологических уравнений, связывающих входящие в выражение для интенсивности источника энтропии[5] необратимые потоки (поток диффузии, поток тепла и тензор давлений, которые характеризуют соответственно поток массы, энергии и импульса) и «термодинамические силы» (связанные с неоднородностью системы (например, градиент температуры) или с отклонением некоторой внутренней переменной состояния от ее равновесного значения (например, химическое сродство)). В первом приближении потоки являются линейными формами термодинамических сил[6] [с. 11]

По сравнению с идеальной жидкостью в термодинамике (неравновесной и равновесной) появляются: новая измеримая величина температура T, задающая состояние, количество тепла в качестве формы внешнего воздействия, и две новые величины – внутренняя энергия и энтропия, вводимые в первом и втором законах 9началах) термодинамики.

Энергия в физике (сначала в механике), как и другие интегралы движения, есть функция состояния, т.е. она не задает состояние, а задается состоянием, она является функцией измеримых величин, задающих состояние системы и определяется и измеряется, как правило, косвенно. Это характеристика процесса-движения, а не состояния физической системы (это состояние, но движения, а не объекта)[7].

Внутренняя энергия U (и ее плотность) u вводится в результате распространения закона сохранения энергии на тепловые процессы. Это и есть первый закон термодинамики: dU= d Q – pdV. Он вводит эту новую величину (и понятие) (ср с.25), подобно тому, как второй закон Ньютона вводит величину (и понятие) силы.

Второй закон термодинамики вводит другую новую величину – энтропию. «В термодинамике понятие энтропии было введено нем. Физиком Р.Клаузиусом (1865), который показал, что процесс превращения теплоты в работу подчиняется определенной физической закономерности – второму началу термодинамики, которое можно сформулировать строго математически, если ввести особую функцию состояния – энтропию. Так для термодинамической системы, совершающей квазистатически (бесконечно медленно) циклический процесс, в котором система последовательно получает малые количества тепла d Q при соответствующих значениях абсолютной температуры T , интеграл от «приведенного» количества теплоты d Q/ T по всему циклу равен нулю (… т.н. равенство Клаузиуса). Это равенство эквивалентно второму началу термодинамики для равновесных процессов… Математически равенство Клаузиуса необходимо и достаточно для того, чтобы выражение dS = d Q/ T представляло собой полный дифференциал функции состояния, названный «энтропией»… приращение энтропии DS = SB - SA не зависит от пути интегрирования. Т.о., из второго начала термодинамики следует, что существует однозначная функция состояния S, которая при квазистатических адиабатических процессах (d Q=0) остается постоянной… С учетом первого начала термодинамики дифференциальное определение энтропии принимает вид:

dS=(1/T)(dU + pdV).

… Энтропия адиабатически изолированной системы при необратимых процессах может только возрастать» [Зубарев Д.Н. // ФизЭС, с. 904]

 

«Центральную роль в неравновесной термодинамике играет так называемое уравнение баланса энтропии… В этом состоит локальная формулировка второго закона термодинамики …

«Согласно основным понятиям термодинамики, для всякой макроскопической системы можно ввести некоторую функцию состояния S – энтропию системы, которая обладает следующими свойствами…

dS = deS + diS,  (3.1)

где deS – энтропия, поступающая в систему от окружающей среды, а diS – энтропия, возникающая в самой системе. Второй закон термодинамики утверждает, что величина diS должна быть равной нулю для обратимых (или равновесных) превращений и положительной для необратимых превращений системы: diS ³0.  (3.2)

Поступающая энтропия deS , напротив, может быть положительной, равной нулю или отрицательной в зависимоти от рода взаимодействия системы с окружающей средой… Для адиабатической изолированной системы deS = 0, так что… dS ³0. (3.3)  Это – известная форма записи второго закона термодинамики. Для так называемых замкнутых систем, которые могут обмениваться с окружающей средой только тепловой энергией, мы имеем согласно теореме Карно – Клаузиуса, deS = dQ/T (3.4). »/27-28/. Можно ввести энтропию на единицу объема s так, что S = ∫rs dV. (3.6)

К этому добавляется гипотеза (постулат) о «локальном» равновесии, утверждающая, что хотя полная система и не находится в равновесном состоянии, тем не менее в ней существуют малые элементы массы, которые находятся в состоянии «локального» равновесия и для которых локальная энтропия s является вполне определенной функцией параметров, необходимых для полного описания макроскопического состояния системы, т.е. s = s(u, v, ck) и к ней применима формула Гиббса, ведущая к выражению

T ds/dt = du + p dv – Sk=1 n mk dck (3.16)

» (с. 27-30).

 

«Для однокомпонентной изотропной жидкости эти уравнения (вытекающие из законов сохранения массы, импульса и энергии – А.Л.) в частных производных (в отсутствие внешних сил) таковы:

 

¶r/¶t = div rv,                                                                            (4.62)

rdv/dt = - grad p + hDv +(1/3h + hv)grad div v,                       (4.63)

rdu/dt = lDT – p div v +2h(Grad v)s : (Grad v)s + hv (div v)2  (4.64)

(u- плотность внутренней энергии в среде – А.Л.)

… Коэффициенты h и hv… называются соответственно коэффициентами сдвиговой (первой) и объемной (второй) вязкости. Здесь принимается, что коэффициенты вязкости постоянны… l… называется коэффициентом теплопроводности и также считается постоянным. Символ D обозначает оператор Лапласа. К этим уравнениям необходимо добавить уравнения состояния

p = p(r, T),                                                                                    (4.65)

u = u(r,T).                                                                                    (4.66)

 

Уравнения (4.62) – (4.66) полностью описывают изменение во времени состояния однокомпонентной изотропной жидкости при заданных начальных и граничных условиях. Часто область применимости гидродинамического рассмотрения ограничивают только уравнениями (4.62), (4.63) и (4.65), принимая, что имеют место либо изотермические, либо изоэнтропические условия. В обоих случаях давление является функцией только плотности, так что гидродинамическое поведение системы полностью описывается уравнениями (4.62) и (4.63). В более общем случае для описания системы необходим полный набор уравнений (4.62) - (4.66)… В этих уравнениях содержится и теория теплопроводности. Уравнение (4.63) представляет собой известное уравнение Навье-Стокса. Последние два члена в (4.64) дают диссипативную функцию Рэлея. Для среды, в которой скорость v равна нулю, уравнение (4.64) переходит в дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье

rcv¶T/¶t = lDT, где cv = (du/dT) – теплоемкость при пост объеме на единицу массы.

Для более общих случаев, например для многокомпонентной системы при наличии диффузии, система дифференциальных уравнений становится более сложной»[8] /с. 47-48/.

 

 

Т.о., гидро- и газо-динамика являются подразделами так вводимой неравновесной термодинамики. В теории упругости, в соотнесении ее с гидродинамикой, место скорости занимает деформация[9] (или тензор деформации?), а место двух вязкостей - модули всестороннего сжатия и сдвига.

Для того, чтобы перейти к электродинамике сплошных сред, нужно ввести в систему заряды и электромагнитное поле и учет уравнения непрерывности для электоромагнитной энергии и импульса, которые следуют из уравнений Максвелла (гл. XIII).

Т.о., все перечисленное множество разделов физики опирается на архетипическую модель сплошной (непрерывной, континуальной) среды, описанной пп. 1-7. Сплощные среды описываются общей для всех разделов схемой (1), соответственно главными понятиями здесь тоже являются понятия физической системы (сплошной среды) и ее состояний. Отличие сплошных сред друг от друга определяется набором измеримых величин, характеризующих их состояние, рядом параметров, которые характеризуют саму среду и уравнениями движения, задающих поведение этих сред.

Возникает вопрос о связи модели сплошной среды и локальной частицы. Как мы видели, ЯРФ разделов сплошной среды не используют какие-либо ссылки на механику Ньютона. Но у них есть ряд общих понятий. Во-первых, это вводимое в классической механике понятие массы, которое присутствует здесь в виде плотности. Во-вторых, законы сохранения. Естественно, что здесь соблюдается и принцип соответствия. Разделы МСС являются самостоятельными разделами физики, со своими понятиями, вводимыми независимо от механики Ньютона. Но через понятие плотности устанавливается принцип соответствия между гидро- и газо- динамикой, с одной стороны, и механикой Ньютона – с другой. Последняя использовалась Эйлером при создании гидродинамики идеальной жидкости, но это не обязательно, в современном изложении, как и в гидродинамике Бернулли, механика Ньютона непосредственно не задействуется.

 

Итак, все разновидности сплошной среды и силового поля в различных разделах физики можно рассматривать как различные реализации архетипа сплошной среды и описывать основания соответствующих разделов физики по единой схеме. Это облегчает работу по освоению этих разделов, поскольку указывает на те 6 вопросов, на которые надо иметь ответы, чтобы понять основания. Последнее позволяет чувствовать себя более свободно при работе в данных весьма сложных разделах и свободнее строить соответствующие модели (ВИО).


[1] В позитивистской традиции 1930-х гг. в центре внимания были математические выражения (уравнения движения), фиксирующие соответствующие законы. Эта позиция популярна и сегодня, как среди философов науки, так и ученых. Многие физики в своих мировоззренческих (идеологических) высказываниях следуют идущим из позитивизма второй четверти XX в. представлениям, в которых нет модельного слоя, а есть только уравнения, содержащие величины, которые имеют физический смысл и измеряются. Но это плохо сочетается с существованием в физической теории таких теоретических объектов как электрон, атом, и другие.

[2] В статье “Что такое “понимание” в теоретической физике?" [Гейзенберг 1971], В.Гейзенберг, ссылаясь на пример теории Птолемея с ее высокой “предсказательной ценностью” подчеркивал, что несмотря на это “большинство физиков согласятся, что лишь после Ньютона удалось добиться “реального понимания” динамики движения планет. Приводимые им примеры теории турбулентного движения в жидкости, сверхпроводимости показывают, что ощущение “понятности” возникает у физиков после построения соответствующих моделей. Более развернуто эта тема обсуждается в [Липкин 2001 а; 2007 а].

[3] Физика на рубеже XVII – XVIII вв. Наука, 1974

Ньют и картез идеи в тв-ве Эйлера

Любинская А.Д. К вопросу о влиянии Ньютона на французскую науку (спор ньютонианцев с картезианцами) // Сборник статей к 300-летию со дня рождения И.Ньютона. М.-Л., 1943, с. 362-391

 

[4] То же найдем в статье Д.Н. Зубарева «Термодинамика неравновесных процессов» (в БСЭ): "Систему представляют состоящей из элементарных объемов… термодинамическое состояние каждого выделенного элементарного объема характеризуется температурой, давлением и др. параметрами, применяемыми в термодинамике равновесных процессов, но зависящими от координат и времени".

[5] «Оказывается, что выражение для источника энтропии имеет очень простой вид: оно представляет собой сумму членов, каждый из которых является произведением двух множителей – потока, характеризующего необратимый процесс, и величины, носящей название термодинамической силы» [с. 11].

[6] Закон диффузии Фика, закон теплопроводности Фурье, закон электропроводности Ома принадлежат к классу линейных феноменологических законов. Эти линейные законы должны… отражать и возможные перекрестные эффекты… Примером перекрестного эффекта является эффект Соре (возникновение диффузии при наличии градиента температур). Существуют… термоэлектрические явления, ряд термомагитых и гальваномагнитных явлений, а также электрокинетические явления… Вне области линейных законов известно очень мало… Ряд соотношений между этими коэффициентами дает прежде всего теорема взаимности Онсагера – Казимира» [с. 12].

[7] Она (вместе с др. интегралами движения) характеризует состояние атома, но лишь постольку, поскольку атом как ВИО задается (определяется) как совокупность движений электронов.

[8] «Можно сказать, что задача неравновесная термодинамики состоит в исследовании различных необратимых процессов – теплопроводности, диффузии и вязкости с единой точки зрения.»

[9] Измеримые величины?

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика