Адрес e-mail:

О чём алгебраическая геометрия?

 

Алгебраическая геометрия занимается изучением геометрических объектов, которые можно задать методами алгебры. Среди таких объектов центральными являются алгебраические многообразия, а в более общем контексте, схемы.

 

В геометрии различают глобальные и локальные свойства объектов. «Локальные схемы» - это то, что научно называется аффинными схемами, которые полностью определяются своими алгебрами функций. Такие алгебры – это алгебры многочленов от нескольких переменных, причём некоторые многочлены приравнивают к нулю. Так как эти алгебры коммутативны, то локальные вопросы геометрии переформулируются в терминах коммутативной алгебры.

 

Другие многообразия и схемы – это глобальные объекты, поэтому их склеивают из «локальных» аффинных схем. Геометрические объекты на многообразиях – это те, которые можно определить локально. А локально можно определить пучки. Векторные расслоения на многообразиях и подсхемы задаются подходящими когерентными пучками. Большинство результатов классической алгебраической геометрии в стиле итальянской школы конца 19-го – начала 20-го века можно формулировать в терминах когерентных пучков.

 

Многообразия имеют массу важных глобальных инвариантов как геометрического происхождения, так и топологического, гомологического, алгебраического, и физического. Построение таких инвариантов, их изучение, классификация многообразий с фиксированными инвариантами, и приложение знаний о структуре многообразий к другим разделам математики и физики – это и есть поле деятельности алгебраической геометрии.

 

О чём гомологическая алгебра?

 

Все вместе когерентные пучки на многообразии образуют абелеву категорию, которая определяет геометрию этого многообразия. В 20-м веке было обнаружено, что самые глубокие свойства любой абелевой категории улавливаются её производной категорией – формальной алгебраической конструкцией категории комплексов с обращением квазиизоморфизмов. Производные категории постепенно стали центральным объектом изучения гомологической алгебры, которая изначально исследовала гомологии и расширения объектов абелевых категорий различного происхождения.

 

Какова структура производных категорий, какие разложения они допускают, какие канонические функторы, какие инварианты определяют такие категории – вот фундаментальные вопросы гомологической алгебры, которые и по сей день остаются terra incognita, и требуют усилий и энтузиазма новых поколений исследователей.

 

В приложении к алгебраической геометрии гомологические методы – это, как правило, глобальные методы. К примеру, вопрос о расширениях одного расслоения с помощью другого не имеет локального смысла, так как локально любое такое расширение расщепляется. Переход от локального к глобальному и обратно – это то, что стоит за геометрическим видением гомологической алгебры и что используется для приложения гомологической алгебры к алгебраической геометрии.

 

Чем занимается наша лаборатория?


Современная алгебраическая геометрия имеет долгую историю, выдающиеся математики планеты занимались ею на протяжении веков. Гомологическая алгебра расцвела в 20-м веке, но за это время также достигла впечатляющих результатов, поражающих своей глубиной. Перед тем, кто решил заняться этой тематикой откроется целый мир фундаментальных научных идей, в которых надо не потеряться.

 

Сотрудники нашей лаборатории готовы помочь студентам и аспирантам, решившимся на такое интеллектуальное путешествие. В независимости от этого, каждый должен быть готов предъявлять требования к самому себе. Потому что только сочетание самостоятельной работы и научного руководства может дать положительный результат.

 

Деятельность наших сотрудников охватывает широкий спектр как фундаментальных вопросов алгебраической геометрии и гомологической алгебры, так и изучения конкретных классов многообразий, их бирациональной структуры, топологических свойств, самых разнообразных инвариантов и приложения алгебраической геометрии к различным вопросам математики и физики.

 

Чем занимается конкретный сотрудник можно узнать из его работ или пройдя по ссылке в рубрике Сотрудники .

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2020 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Противодействие коррупции | Сведения о доходах

Политика обработки персональных данных МФТИ

Техподдержка сайта | API

Использование новостных материалов сайта возможно только при наличии активной ссылки на https://mipt.ru

МФТИ в социальных сетях