Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Механика обобщенно-пластических сред

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Основные положения механики сплошных сред

§ 1. Напряженное состояние
Тензор напряжения
Круги Мора
Девиатор напряжения
Геометрическая интерпретация
§ 2. Дифференциальные уравнения равновесия.
Граничные условия
Дифференциальные уравнения равновесия
Граничные условия
§ 3. Теория деформации
Физический смысл компонентов тензора
деформаций
Геометрическая интерпретация
Условия совместности деформаций
Компоненты деформации в цилиндрических и сферических координатах
§ 4. Скорость деформации
Инварианты тензора скорости деформации
Условия совместности скоростей деформации
Случай несжимаемой среды

Глава 2. Модели сплошной среды

§ 5. Упругое тело и вязкая жидкость
Работа внешних сил
Упругое тело Гука
Частные случаи упругой симметрии
Вязкие жидкости
§ 6. Условия текучести. Поверхность и кривая текучести
Условие постоянства интенсивности девиатора напряжения и его обобщение
Условие постоянства максимального касательного напряжения и его обобщение
§ 7. Уравнения пластического состояния
Деформационная теория пластичности
Теория пластических течений
Принцип максимума Мизеса. Ассоциированный закон течения

Глава 3. Сыпучие среды

§ 8. Предельное равновесие сыпучей среды
Геометрическая интерпретация
§ 9. Предельное равновесие сыпучей среды   при плоском деформированном состоянии
§ 10. Уравнения в напряжениях и скоростях
§ 11. Линии разрыва полей скоростей и напряжений
§ 12. Основные краевые задачи. Численное интегрирование уравнений
Первая краевая задача
Вторая краевая задача
Третья краевая задача

Глава 4   Упругопластическое деформирование и предельное равновесие обобщенно-пластических сред

§ 13. Условие интегрируемости уравнений теории течения
§ 14. Разрешающая система уравнений. Плоское деформированное состояние
§ 15. Нагружение цилиндрической трубы внутренним давлением
§ 16. Упругопластическое деформирование кругового пласта
§ 17. Упругопластическое деформирование склона
§ 18. Численные итерационные методы решения

Глава 5   Предельное равновесие анизотропной обобщенно-пластической среды

§ 19. Идеально пластические среды
§ 20. Основные уравнения анизотропной обобщенно-пластической среды
Основные уравнения
§ 21. Сыпучая среда Кулона
Предельное равновесие весомого слоя

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Согласно сложившейся терминологии [1] под механи­кой обобщенно-пластических сред понимается наука о зако­нах деформирования грунтов, горных пород, гранулирован­ных, сыпучих сред и других материалов, поведение которых объединяется тем, что условия перехода к состоянию пласти­ческого течения (критерии текучести) зависят от гидростати­ческого давления. Соответствующие критерии называются условиями пластичности общего вида.


Основоположник теории предельного равновесия грун­тов К.Кулон (1773) сформулировал основные положения предельного равновесия и применил их к определению дав­ления массива грунта (засыпки), ограниченного горизонталь­ной плоскостью, на подпорную стенку с вертикальной абсо­лютно гладкой задней гранью, исходя из допущения о суще­ствовании плоской поверхности сползания. Те же положения были использованы впоследствии при нахождении давлений засыпки, ограниченной произвольной поверхностью, на под­порные стенки с наклонными и ломаными шероховатыми задними гранями. Далее В.Ренкин (1857) рассмотрел пре­дельное равновесие бесконечного массива, ограниченного наклонной плоскостью, ввел понятие о поверхностях сколь­жения и нашел условие предельного состояния идеальной сыпучей среды.


Дальнейшие исследования по теории предельного рав­новесия составили два направления. Первое направление ста­вит своей целью создание упрощенной теории предельного равновесия, дающей возможность разбирать различные зада­чи простейшими средствами. При этом принималось допу­щение о существовании поверхностей сползания некоторых простейших форм — плоских, призматических или круглоцилиндрических. Указанное допущение, сводящее рассмотре­ние каждой задачи к выяснению самого невыгодного поло­жения поверхности сползания выбранной формы, хотя и не имеет достаточного обоснования, нередко все же дает прием­лемые результаты. Поэтому упрощенная теория, впоследст­вии снабженная удобными графиками и таблицами, до сих пор имеет довольно широкое распространение.
Второе направление исследований, продолжающее идеи В.Ренкина, ставит своей задачей построение строгой теории предельного равновесия, позволяющей рассматривать различные задачи и находить соответствующие сетки линий скольжения. Оно ведет свое начало от Ф.Кеттера (1903), ко­торый, взяв дифференциальные уравнения равновесия и ус­ловие предельного состояния в каждой точке, составил сис­тему уравнений предельного равновесия сыпучей среды, а затем успешно занялся ее исследованием. 

 
Большое влияние на дальнейшее развитие этой теории оказал Л.Прандтль (1920), который поставил и рассмотрел ряд задач о пластическом равновесии, причем впервые ис­пользовал решение с особой точкой и пучком прямых линий скольжения, проходящих через нее. Эти результаты затем были применены Г.Рейснером (1925) к некоторым частным задачам об устойчивости оснований, но лишь для невесомой сыпучей среды, когда линии скольжения хотя бы одного се­мейства являются прямыми и решения имеют замкнутую форму.


Подробно изучавшие систему уравнений предельного равновесия идеально сыпучей среды Т.Карман (1927) и А.Како (1934) рассмотрели некоторые частные задачи о дав­лении на подпорные стенки весомой засыпки, когда простые решения отсутствуют.


Работы В.В.Соколовского [2] в той же области имели своей целью: с одной стороны, построение общего метода, дающего возможность рассматривать задачи о предельном равновесии также и для связной среды, с другой стороны, получение метода, позволяющего достаточно просто разбирать различные задачи о напряженном состоянии идеально сыпучего материала.


Результатом всех этих исследований явилось значи­тельное развитие теории предельного равновесия как в от­ношении расширения круга затрагиваемых вопросов, так и повышения эффективности применяемых методов, что по­зволило ей стать научной основой инженерных расчетов в статике грунтов и горных пород.

 
Следует отметить, что, начиная с основополагающих работ К.Кулона и до начала 1960-х годов, механика грунтов и горных пород развивалась в основном как наука о статике. Это в значительной степени объясняется тем, что уравнения, описывающие напряженное состояние среды при плоском деформированном состоянии [2], так же, как и уравнения теории идеальной пластичности [3], являются статически оп­ределимыми, т.е. в случае статически определимых краевых условий могут быть решены без привлечения кинематиче­ских соотношений. При этом уравнения, описывающие на­пряженное состояние, принадлежат к гиперболическому типу и имеют два семейства характеристик, являющихся линиями скольжения и пересекающихся под углами, зависящими от угла внутреннего трения сыпучей среды. 

     
Попытки исследования деформированного состояния гранулированной среды в областях, находящихся в предель­ном равновесии, основывались, как правило, на предположе­ниях о жесткопластическом поведении материала и его не­сжимаемости. Последнее предположение приводило к тому, что уравнения для определения полей скоростей также имели два семейства характеристик, которые оказывались взаимно ортогональными и, следовательно, не совпадающими с ха­рактеристиками уравнений для напряжений. 

 
Это противоречие удалось преодолеть в работе [4], в которой была предложена теория течения, основанная на применении к критерию текучести ассоциированного закона и предположении о жесткопластическом поведении материа­ла. Основным преимуществом этой теории являлось то, что характеристики уравнений, описывающих поля напряжений и скоростей при плоском деформированном состоянии, сов­падали, и области, находящиеся в предельном равновесии, могли быть определены однозначно (см. § 9). На базе этой модели в работах [5-8] было проведено подробное исследо­вание разрешающей системы уравнений и линий разрыва скоростей и напряжений; решен ряд новых задач, в том числе и со смешанными краевыми условиями, разработаны эффек­тивные численные методы. Недостатком предложенной тео­рии, как и вообще теории предельного равновесия, являлось то, что она позволяла определить только предельные нагруз­ки и распределение напряжений и деформаций в пластиче­ских областях. Нахождение напряжений и перемещений вне этих зон с помощью этой теории невозможно.


Исторически сложилось так, что изложенные выше теории, следуя Кулону, не вполне точно называют теориями предельного равновесия. Их основная задача — нахождение предельных нагрузок, трактуемых как нагрузки, при дости­жении которых происходит потеря равновесия (потеря ус­тойчивости) среды. По существу, с современной точки зре­ния, они являются теориями течения идеально жесткопла-стического материала, а предельные нагрузки понимаются как нагрузки, при достижении которых такое течение стано­вится возможным. Именно в этом смысле указанные терми­ны будут применяться в дальнейшем.


Попытка учета упругих свойств материала в рамках подхода [4] приводит к уравнениям типа Прандтля-Рейсса в теории идеальной пластичности. Т.е. к тому, что скорости полных деформаций начинают зависеть не только от напря­жений, но и от их частных производных по времени, что вы­зывает значительные математические трудности как при ана­лизе разрешающей системы уравнений, так и при решении конкретных задач. Одной из последних работ в данной по­становке является исследование [9], в котором проведено численное моделирование динамического процесса обрушения склона на основании модели Дракера-Прагера течения упругопластического тела.


Другой подход к определению напряженно-деформированного состояния (НДС) сыпучей среды состоит в том, что в качестве уравнений связи между компонентами тензоров напряжений и деформаций широко используются, особенно в инженерных приложениях [10, 11], соотношения, подобные соотношениям теории упругости. На начальных этапах нагружения упругие коэффициенты полагаются по­стоянными, т.е. справедлив обычный закон Гука, а по мере роста нагрузок их считают переменными, определяемыми из эксперимента. При обработке экспериментальных диаграмм рекомендуется использовать как касательные, так и секущие модули, т.е. применяемая процедура подобна способу введе­ния переменных коэффициентов упругости в методе упругих решений, разработанному в деформационной теории пла­стичности.

 Обоснование возможности такого подхода и его связи с теорией предельного равновесия, следуя работам [12-13], рассматривается в главе 4.


В работе [14] разработана теория предельного равнове­сия анизотропных грунтов и горных пород (см. главу 5). Она представляет не только теоретический интерес, но и важные прикладные значения, поскольку большинство грунтов и горных пород обладают выраженной анизотропией механи­ческих свойств. Современное изложение фундаментальных вопросов нелинейной континуальной механики, связанных с проблемами симметрии, возможными формами записи ска­лярных, векторных и тензорных функций, инвариантных от­носительно некоторых ортогональных преобразований, мож­но найти в книге [15], где также приводятся обобщения тео­рии течения и деформационной теории пластичности на случай конечных деформаций и изменения температур.


Пособие состоит из введения и пяти глав.


Первая глава имеет вводный характер и содержит ос­новные положения механики сплошных сред. В ней кратко излагается теория напряженного и деформированного со­стояний. При этом выделяются сведения, наиболее важные для построения нелинейных моделей твердого деформируе­мого тела. Введены понятия тензоров и девиаторов напряже­ний, деформации и скорости деформации, а затем сформули­рованы их основные свойства.


Вторая глава посвящена краткому описанию наиболее распространенных моделей сплошной среды. Вводится поня­тие работы внешних сил, рассматривается линейно-упругая среда Гука для изотропного и анизотропного случаев. Ис­следуются некоторые частные случаи упругой симметрии, приводятся основные положения теории вязкой жидкости. Дается определение условия текучести, поверхности текуче­сти и кривой текучести. Приводятся критерии текучести Сен-Венана и Мизеса и обсуждаются их возможные обобщения. Кратко излагаются основные положения деформационной теории пластичности и теории пластического течения. Фор­мулируется принцип максимума Мизеса и следующий из не­го ассоциированный закон течения.


В третьей главе излагается классическая теория плос­кого предельного равновесия сыпучей среды, основанная на использовании критерия текучести Кулона и ассоциирован­ного закона течения. Проведено подробное исследование уравнений, описывающих поля напряжений и скоростей, преобразование их к канонической системе. Получены усло­вия на линиях разрыва напряжений и скоростей. Показано, что система уравнений принадлежит к гиперболическому ти­пу. Для нее сформулированы основные краевые задачи и приведены эффективные методы численного интегрирова­ния.


Наибольший объем занимает четвертая глава. В ней излагается разработанная автором теория деформирования сыпучей среды за пределами упругости, учитывающая как упругие, так и пластические деформации, и позволяющая проследить переход от чисто упругого состояния к состоя­нию предельного равновесия.  Вводится система функций, определяющих компоненты тензоров напряжений и дефор­маций, и получена разрешающая система уравнений упруго-пластического деформирования среды для случая плоского деформированного состояния. Указан предельный переход, с помощью которого из этих уравнений получаются уравнения теории предельного равновесия. Решена упругопластическая задача о нагружении трубы (толстостенного кругового ци­линдра) внутренним давлением. Показано, что нагрузка, со­ответствующая переходу трубы в чисто пластическое состоя­ние по всему сечению, не всегда совпадает с нагрузкой, по­лученной на основании теории предельного равновесия. Определен предельный переход, при котором такое совпаде­ние происходит. В новой постановке решена упругопласти­ческая задача о нагружении кругового слоя, имеющего от­верстие (скважину) в центре. Определены глубины залегания пласта, при которых в окрестности скважины появляется об­ласть пластической деформации. Найдено предельное значе­ние глубины, при которой происходит схлопывание пласта. Определены остаточные напряжения в окрестности скважи­ны при повторном повышении давления в скважине до вели­чины горного давления. Решена в упругопластической по­становке классическая задача о напряженном состоянии плоского склона. Установлено соотношение между механи­ческими характеристиками среды и углом склона, при кото­ром склон по всей глубине всегда остается в упругом состоя­нии. Показано, что при упругопластическом деформировании возможны три различных напряженно-деформированных со­стояния. Прослежен переход к состоянию предельного рав­новесия и установлено, что, в отличие от существующих представлений, пластическое течение склона из жесткопла-стического материала невозможно при углах склона, мень­ших угла внутреннего трения. При углах склона, больших угла внутреннего трения, происходит пластическое течение не всего склона, а только его верхнего слоя определенной толщины.


В пятой главе приводится разработанная автором тео­рия предельного равновесия анизотропной обобщенно-пластической среды при плоском деформированном состоя­нии. Предложенный критерий текучести (условие предельно­го равновесия) получен с помощью объединения критерия текучести Мизеса-Хилла идеально пластического анизо­тропного материала и условия предельного равновесия обобщенной пластической среды Прандтля. Установлено, что уравнения, описывающие напряженное состояние и поля скоростей, принадлежат к гиперболическому типу и имеют два семейства характеристик, которые пересекаются под пе­ременными углами. Показано, что полученные уравнения допускают частные решения, при этом хотя бы одно семей­ство характеристик состоит из прямых линий. Исследованы условия вдоль линий разрыва скоростей и показано, что, как и в изотропном случае, они являются характеристиками ос­новной системы уравнений. В анизотропной постановке ре­шена известная задача Ренкина о предельном состоянии ве­сомого слоя.


Механика грунтов и горных пород является научной основой инженерных методов расчета оснований и фунда­ментов объектов гражданского и промышленного строитель­ства, подземных сооружений и объектов горнодобывающей промышленности (шахты, скважины и др.) и т.д.


Ее важными задачами являются: прогнозирование и предотвращение таких катастрофических явлений, как гор­ные лавины, камнепады, оползни, сели и др.; мониторинг на­пряженного состояния естественных откосов и склонов; ми­нимизация землеотводов под дорожное строительство, отва­лы промышленных отходов, уменьшение объемов вскрышных работ при открытом способе добычи полезных ископаемых; рационализация ресурсопользования и решение современных экологических проблем.


Новые важные проблемы также возникают в связи с увеличением глубин подземных сооружений и объектов гор­нодобывающей промышленности (шахты, скважины и др.).


Все это делает особенно актуальной разработку новых и уточнение существующих теорий деформирования грунтов и горных пород, построение эффективных численных мето­дов решения возникающих краевых задач.


В заключение автор приносит глубокую благодарность своим ученикам, которые являлись соавторами ряда научных результатов, включенных в данную работу, а также всем ли­цам, высказавшим свои замечания и соображения по содер­жанию пособия. Автор выражает также свою признатель­ность А.А.Комаровой за помощь при подготовке рукописи к печати.


Собственные результаты автора, включенные в на­стоящее пособие, получены при поддержке грантов РФФИ 06-08-00206 и Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы 2006–2008гг.» №6827.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика