Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Программа курса

По курсу: МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

для специальности: 010300 ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА

Факультет: АЭРОФИЗИКИ И КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Кафедра: ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

Специализация: МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Курс: третий

Семестры: 5, 6

Лекции: 99 часов

Семинарские занятия: 66 часов

Экзамен: 6 семестр

ВСЕГО ЧАСОВ: 165                                                                

Программу составил: д.ф.-м.н., с.н.с. Е.И. Рыжак

Программа обсуждена на заседании кафедры  прикладной механики  " 20 " июня  2008 г.

 

Заведующий кафедрой, кандидат технических наук С.С.Негодяев

 

1. Тензорное исчисление в бескоординатном изложении. Система обозначений Гиббса.

            Тензоры второго ранга (ТР(2)) как операторы Диады. Диадное представление ТР(2). Размерность линейного пространства ТР(2), диадные и другие базисы. Двойное скалярное произведение в пространстве ТР(2). Билейная форма ТР(2), изоморфизм между ТР(2) и билейными формами. Транспонирование ТР(2), умножение на вектор слева. След ТР(2). Взаимно ортогональные подпространства симметричных и антисимметричных ТР(2), девиаторов и шаровых ТР(2). Детерминант как отношение объемов. Вырожденные и невырожденные ТР(2), обратный ТР(2), его диадное представление. Собственные векторы и собственные числа ТР(2), характеристический полином и характеристическое уравнение, корни характеристического уравнения и их связь с собственными числами. Симметричные ТР(2), спектральная теорема, теорема Гамильтона-Кэли, канонический вид квадратичной формы. Теорема Коши о полярном разложении. Действие ортогональных преобразований на ТР(2). Структура антисимметричных и ортогональных ТР(2) в трехмерном случае.

Тензоры третьего ранга (ТР(3)) как операторы, отображающие векторы в ТР(2). Специальные ТР(3): вектор ТР(2), ТР(2) вектор, триада. Представление ТР(3) в виде суммы произведений ТР(2) вектор и суммы триад. Размерность и базисы в пространстве ТР(3). Тройное скалярное произведение – скалярное произведение в пространстве ТР(3). Трилинейная форма ТР(3), изоморфизм между ТР(3) и трилинейными формами. Изомеры ТР(3). Операции над векторами, ТР(2) и ТР(3), порождаемые скалярным произведением векторов. Трехмерный случай: операции, порождаемые векторным произведением, альтернирующий тензор, его структура и свойства.

Тензоры четвертого ранга: (ТР(4))  как операторы, отображающие векторы в ТР(3). Специальные ТР(4): вектор ТР(3), ТР(2) ТР(2), ТР(3) вектор, тетрада. Представление ТР(4) в виде суммы произведений ТР(3) вектор и суммы тетрад. Размерность и базисы в пространстве ТР(4). Четырелинейная форма ТР(4) и изоморфизм между ТР(4) и четырелинейными формами. Изомеры ТР(4). ТР(4) как линейные операторы, отображающие ТР(2) в ТР(2), изоморфизм. Изомер (3412) – транспонирование ТР(4) как оператора в пространстве ТР(2). Симметричные ТР(4), спектральная теорема, канонический вид квадратичной формы над пространством ТР(2). Единичный ТР(4) и некоторые ортогональные проекторы в пространстве ТР(2), употребительные в МСС.

Тензоры произвольного ранга k как операторы, отображающие векторы в ТР(k-1). Основные свойства, обозначения, операции. Изоморфизм между ТР  и линейными операторами, отображающими ТР  в ТР  – основной критерий «тензорности». Действие ортогональных преобразований на ТР .

Градиент тензорного поля. Определение. Выражение производной по направлению через градиент и градиента через производные по направлениям векторов базиса. Формулы дифференцирования, тензорная специфика. Дивергенция и ротор тензорного поля. Теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса. Градиент, дивергенция и ротор тензорного поля, заданного с помощью криволинейных координат.

Второй градиент тензорного поля, его симметрия.  Алгебраическое выражение различных дифференциальных операций второго порядка через второй градиент. Лапласиан. Лапласиан в криволинейных координатах. Необходимое и достаточное условие потенциальности тензорного поля.

Тензорные функции тензорного аргумента. Понятие производной по тензорному аргументу, формулы дифференцирования. Вторая производная по тензорному аргументу, ее симметрия. Необходимое и достаточное условие потенциальности тензорной функции.

2. Кинематика сплошной среды.

Понятие материального континуума, сходство и различие с дискретными материальными системами. Масса, постулат постоянства массы. Конфигурации, движения, плотность массы в различных конфигурациях. Отсчетная конфигурация и отсчетное описание движения сплошной среды. Градиент деформации F – основная деформационная характеристика. Пространственное описание, связь производных по времени и градиентов в пространственном и отсчетном описаниях, формула Эйлера. Закон сохранения массы в дифференциальной форме. Изохорическое движение. Формула переноса Рейнольдса, аналогичные формулы для линейных и поверхностных интегралов. Материальные и пространственные линии и поверхности. Условия прилипания и проскальзывания вдоль поверхностей, изменяющихся заданным образом. Проскальзывание вдоль изменяющихся заданным образом линий. Условия совместности для тензора F. Замена отсчетной конфигурации. Полярное разложение для тензора градиента деформации чистая деформация и поворот. Левый  и правый тензоры чистой деформации, их оси и собственные значения. Левый и правый тензоры Коши-Грина. Относительно удлинение и угол сдвига при конечных деформациях. Некоторые примеры деформаций тел. Актуальная конфигурация в качестве отсчетной (относительное описание), относительный градиент деформации, его производная по времени. Скорости дисторсий, деформаций и поворотов, угловая скорость. Соответствующие инкрементальные величины. Уравнения совместности для скоростных и инкрементальных деформационных величин. Движение среды как жесткого целого при повсеместном отсутствии скоростей деформаций, то же для конечных деформаций. Теорема и формула Чезаро. Парадокс кинематики конечных деформаций.

3. Напряжения в сплошных средах.

Интегральные уравнения импульса и момента импульса. Массовые и контактные силы, принцип разрезания Эйлера-Коши. Постулат Коши. Фундаментальные лемма и теорема Коши, существование тензора напряжений. Локальное уравнение импульса. Безмоментность среды (отсутствие контактных моментов) и локальное уравнение момента импульса: симметрия тензора напряжений Коши. Интегральное и локальное уравнения механической энергии. Уравнение энергии с учетом притока тепла. Аналог фундаментальной теоремы Коши – существование вектора теплового потока. Локальное уравнение энергии с учетом притока тепла. Контактные силы и тепловой поток в отсчетном описании, тензор напряжений Пиолы и вектор теплового потока Пиолы. Уравнения импульса, момента импульса и энергии в отсчетном описании. Спектральное разложение для тензора напряжений Коши, экстремальность главных напряжений. Выражение для напряжений на произвольной площадке через главные. Площадки наибольших касательных напряжений. Разрывы тензора напряжений, непрерывность вектора напряжений. Некоторые примеры равновесных полей напряжений. Сила Архимеда в гидростатическом поле напряжений. Теорема и формула Бельтрами – общее представление равновесных полей напряжений Коши через тензор функций напряжений. Плоский случай – функция напряжений Эйри.

4. Общая теория определяющих соотношений материалов.

Понятие предыстории временной зависимости. Динамические процессы и понятие определяющих соотношений. Общие принципы – аксиомы Нолла. Простые материалы. Пример: упругие материалы. Приведенное определяющее соотношение для произвольных простых материалов. Материалы с внутренними связями, принцип материальной объективности для внутренних связей. Модифицированный принцип детерминизма для материалов с внутренними связями и характер неопределенности в зависимости напряжений от предысторий допустимых деформаций. Естественная конфигурация, ее свойство. Принципиальная зависимость функционала отклика от отсчетной конфигурации. Материальный изоморфизм, единообразные и однородные тела. Преобразование функционала отклика при переходе к другой отсчетной конфигурации. Равноправные конфигурации, группа равноправности. Дополнительный постулат: унимодулярность элементов группы равноправности. Преобразование группы равноправности при переходе к другой отсчетной конфигурации. Некоторые элементы классификации материалов с помощью группы равноправности. Изотропные материалы. Твердые материалы. Жидкости. Изотропия жидкостей и шаровой вид тензора напряжений в них для постоянных предысторий тензора F.

5 . Линейно-вязкие жидкости.

Линейно-вязкие материалы, следствия принципа материальной объективности. Группа равноправности и зависимость тензора вязкости от F. Сжимаемая и несжимаемая линейно-вязкая («ньютонова») жидкость, определяющее соотношение. Квазистатические течения Куэтта и Пуазейля.

6. Упругие тела при конечных деформациях. Корректная линеаризация соотношений. Волны малой амплитуды.

            Определение упругих материалов. Примеры твердых и жидких упругих материалов, а также ни тех, ни других («жидких кристаллов»). Дополнительный постулат о наличии упругого потенциала и его следствия. Симметрия тензора упругих модулей отсчетного описания. Яуманновы (коротационные) производная и приращение тензора напряжений Коши. Инкретентальные определяющие соотношения для тензоров напряжений Коши и Пиолы, связь между тензорами упругих модулей. Случай нулевых или шаровых начальных напряжений. Закон Гука как частный случай изотропного линеаризованного упругого соотношения при  нулевых или шаровых начальных напряжениях. Уравнение движения однородного упругого тела в отсутствие массовых сил. Постановка задач о движении упругих тел. Начальные условия и различные типы граничных условий. Малые градиенты смещений относительно однородно напряженной конфигурации, линеаризованное уравнение движения. Случай закона Гука – уравнение Ламе. Плоские волны малой амплитуды в однородном анизотропном теле. Акустический тензор, его симметрия, скорости и поляризация волн для различных направлений распространения. Неравенство Адамара как условие наличия трех волн для любого направления распространения. Скорости и поляризации волн, неравенство Адамара для гукова материала.

7. Устойчивость равновесных состояний упругих тел.

Определение устойчивости и неустойчивости равновесного состояния по Д. Друккеру. Эквивалентный математический критерий. Устойчивость и неустойчивость сжатого стержня с защемленными концами, оценка сверху для критической силы. Основная теорема Адамара об устойчивости: неравенство Адамара – необходимое условие устойчивости при любых граничных условиях. Условие Адамара как достаточное условие устойчивости в некоторых специальных случаях (теорема Ван Хофа и ее модификации). Принципиальная возможность реализации состояний разупрочнения материалов.

Литература

А.А. Вакуленко. Полилинейная алгебра и тензорный анализ в механике. Изд. ЛГУ, 1972. А.И. Лурье Нелинейная теория упругости. Наука, 1980. К. Трусделл. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. Мир, 1975.

 

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика