Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Билеты по дифференциальным уравнениям, второй семестр

Московский физико-технический институт (Государственный университет)

Кафедра высшей математики Учебная дисциплина "Обыкновенные дифференциальные уравнения (II семестр)"

Экзаменационный билет № 1

1. Доказательство теоремы существования решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.

2. Формулировка теоремы об общем решении линейного однородного диффе­ренциального уравнения 1-го порядка с постоянными коэффициентами.

Экзаменационный билет № 2

1. Доказательство теоремы единственности решения задачи Коши.

2. Нормальная однородная система обыкновенных линейных дифференци­альных уравнений с переменными коэффициентами. Формулировки принципасуперпозиции; условия линейной зависимости столбцов решений; общегорешения однородной системы.

Экзаменационный билет № 3

1. Доказательство теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Кошиот параметров.

2. Формулировки определения матричной экспоненты и ее свойств.

Экзаменационный билет № 4

1. Постановка задачи Коши и доказательство теоремы существования иединственности решения задачи Коши для уравнений первого порядка, неразрешенных относительно производной.

2. Формулировка формулы Лиувилля для нормальной линейной однородной системы.

Экзаменационный билет № 5

1. Доказательство необходимого условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления.

2. Нормальная неоднородная система обыкновенных линейных дифференци­альных уравнений с переменными коэффициентами. Формулировка общего решения (формула Коши или метод вариации постоянных)

Экзаменационный билет № 6

1. Доказательство необходимого условия экстремума в изопериметрической задаче вариационного исчисления.

2.    Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно старшей производной. Метод сведения такого уравнения кнормальной системе.

Экзаменационный билет № 7

1. Вариационное исчисление. Задача Больца. Доказательство необходимогоусловия экстремума.

2. Формулировка формулы общего решения нормальной однородной системыобыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Экзаменационный билет № 8

1. Вариационное исчисление. Обобщение простейшей задачи на случаинескольких функций и функционалов, содержащих высшие производные. Доказательство необходимых условий экстремума.

2. Формулировка теоремы об частном решении линейного неоднородногодифференциального уравнения «-го порядка с постоянными коэффициентами(правая часть - квазимногочлен, резонансный случай).

Экзаменационный билет № 9

1. Фазовый портрет линейной однородной системы второго порядка спостоянными коэффициентами (невырожденный узел, седло, фокус).

2. Определение устойчивого и асимптотически устойчивого положения равно­весия автономной системы дифференциальных уравнений. Формулировкатеоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.

Экзаменационный билет JN» 10

1. Первые интегралы автономных систем. Теорема об общем виде первого

интеграла.

2. Формулировка теоремы об частном решении линейного неоднородного дифференциального уравнения «-го порядка с постоянными коэффициентами(правая часть - квазимногочлен, нерезонансный случай).

Экзаменационный билет № 11

1. Первые интегралы автономных систем. Теорема о существовании первыхинтегралов.

2. Интегрирующий множитель.Формулировка уравнения для нахождения интегрирующего  множителя  и  теоремы  о  существовании  интегрирующего множителя, зависящего от одной переменной.

Экзаменационный билет № 12

1, Постановка задачи Коши и доказательство теоремы существования и единст­венности решения задачи Коши для линейного однородного уравнения урав­нения в частных производных.

2.  Формулировка методов понижения порядка уравнений.

Экзаменационный билет № 13

1. Линейное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами.Методы решения. Теорема о конечности числа нулей нетривиальногорешения однородного уравнения на отрезке.

2. Линейная теория ОДУ. Формулировка теоремы о ядре произведения двух вза­имно простых элементов кольца. Условие взаимной простоты двух биномов.

Экзаменационный билет № 14

1. Доказательство теоремы Штурма (теоремы сравнения).

2. Линейная теория ОДУ. Формулировка принципа суперпозиции для линейного однородного уравнения и теоремы о частном решении линейного уравнения с"ядренной" правой частью.

Экзаменационный билет № 15

1. Доказательство теоремы об общем решении линейного однородного диффе­ренциального уравнения п-го порядка с переменными коэффициентами.

2. Линейная теория ОДУ. Формулировка теоремы о разложении произвольноговектор-столбца по корневым векторам матрицы.

Экзаменационный билет № 16

1. Вывод метода вариации постоянных для линейного неоднородного диффе­ренциального уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами.

2. Формулировка теорем о мультипликативном свойстве матричной экспонентыи о действии матричной экспоненты на собственный и корневой векторы.

Экзаменационный билет № 17

1. Вывод формулы Лиувилля для линейного однородного дифференциальногоуравнения я-го порядка с переменными коэффициентами.

2. Формулировка теоремы о частном решении неоднородной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэфициентами снеоднородностью в виде квазимногочлена (нерезонансный случай).

Экзаменационный билет № 18

1. Первые интегралы автономных систем. Доказательство необходимого идостаточного условия. Определение независимости первых интегралов.Оценка сверху для числа независимых первых интегралов.

2.    Уравнение, не разрешенное относительно производной. Порядок его сведенияк уравнению в дифференциалах. Особые точки. Дискриминантная кривая.

Составитель д.ф.-м.н., профессор

П. Б. Гусятников

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика