- Формула Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения. Корректность постановки задачи Коши для одномерного волнового равнения. Пример Адамара некорректной задачи Коши.
- Принцип максимума для уравнения теплопроводности.
- Смешанная задача на отрезке для волнового уравнения. Интеграл энергии, единственность решения. Метод Фурье и его обоснование. Условия согласования. Существование классического решения.
- Смешанная задача на отрезке для параболического уравнения. Единственность решения. Метод Фурье и его обоснование. Условия согласования. Существование классического решения.
- Пространства основных и обобщенных функций (D, D') . Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Лемма дю Буа - Реймонда (без доказательства). Простой и двойной слои. Дифференцирование обобщенных функций.
- Прямое произведение и свертка обобщенных функций. Коммутативность прямого произведения. Дифференцирование свертки (без доказательства).
- Обобщенные решения. Фундаментальное решение дифференциального оператора. Уравнения с правой частью. Основные фундаментальные решения.
- Пространства основных и обобщенных функций (S, S'). Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста, его свойства. Преобразование Фурье простого слоя.
- Задача Коши для уравнения теплопроводности. Обобщенная задача Коши. Тепловые потенциалы. Формула Пуассона, существование классического решения. Единственность решения задачи Коши в классе функций, ограниченных в каждой полосе, непрерывная зависимость от правой части и начальной функции.
- Задача Коши для волнового уравнения. Обобщенная задача Коши. Запаздывающие потенциалы. Формулы Кирхгофа и Пуассона, существование классического решения. Принцип Гюйгенса в R3 Единственность и непрерывная зависимость решения от правой части и начальных данных.
- Постановка задачи Дирихле на плоскости. Единственность и непрерывная зависимость решения внутренней задачи Дирихле. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Построение решения методом Фурье. Существование классического решения задачи Дирихле для круга в случае непрерывной граничной функции. Интеграл Пуассона.
- Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.
- Теорема о разрешимости интегрального уравнения с малым непрерывным ядром. Повторные ядра. Резольвента.
- Лемма об эквивалентности интегрального уравнения с непрерывным ядром интегральному уравнению с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.
- Свойства собственных значений и собственных функций интегрального уравнения с эрмитовым непрерывным ядром. Вариационный принцип (без доказательства). Необходимое и достаточное условие вырожденности эрмитова непрерывного ядра. Теорема Гильберта -Шмидта.
- Задача Штурма - Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма - Лиувилля. Ее свойства. Сведение задачи Штурма - Лиувилля к интегральному уравнению.
- Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля. Теорема Стеклова. Полнота системы собственных функций задачи Штурма - Лиувилля.
- Уравнение Бесселя. Представление функций Бесселя в виде степенного ряда. Свойство ортогональности и свойства нулей функций Бесселя. Интегральное представление и асимптотическое поведение функций Бесселя (без доказательства).
- Построение формального решения смешанной задачи о свободных колебаниях круглой мембраны, закрепленной по краю.
- Гармонические функции в R3 . Основная интегральная формула. Теорема о среднем. Принцип максимума.
- Функция Грина задачи Дирихле. Решение внутренней задачи Дирихле с помощью функции Грина. Решение задачи Дирихле для шара, формула Пуассона.
- Постановка внутренней задачи Неймана. Необходимое условие разрешимости. Неединственность решения.
- Сферические функции. Полиномы Лежандра. Производящая функция. Присоединенные функции Лежандра. Решение задачи Дирихле для шара.
- Теорема о стирании особенностей гармонической функции.
- Поведение гармонической функции на бесконечности. Преобразование Кельвина. Постановка внешней задачи Неймана в R3 и единственность его решения.
- Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Приведение к каноническому виду. Характеристические поверхности.
