Уравнения математической физики - вопросы к экзамену для потока Жука В.И.

Формула Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения. Корректность постановки задачи Коши для одномерного волнового равнения. Пример Адамара некорректной задачи Коши. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Смешанная задача на отрезке для волнового уравнения. Интеграл энергии, единственность решения. Метод Фурье и его обоснование. Условия согласования. Существование классического решения. Смешанная задача на отрезке для параболического уравнения. Единственность решения. Метод Фурье и его обоснование. Условия согласования. Существование классического решения. Пространства основных и обобщенных функций (D, D') . Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Лемма дю Буа - Реймонда (без доказательства). Простой и двойной слои. Дифференцирование обобщенных функций. Прямое произведение и свертка обобщенных функций. Коммутативность прямого произведения. Дифференцирование свертки (без доказательства). Обобщенные решения. Фундаментальное решение дифференциального оператора. Уравнения с правой частью. Основные фундаментальные решения. Пространства основных и обобщенных функций (S, S'). Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста, его свойства. Преобразование Фурье простого слоя. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Обобщенная задача Коши. Тепловые потенциалы. Формула Пуассона, существование классического решения. Единственность решения задачи Коши в классе функций, ограниченных в каждой полосе, непрерывная зависимость от правой части и начальной функции. Задача Коши для волнового уравнения. Обобщенная задача Коши. Запаздывающие потенциалы. Формулы Кирхгофа и Пуассона, существование классического решения. Принцип Гюйгенса в R³ Единственность и непрерывная зависимость решения от правой части и начальных данных. Постановка задачи Дирихле на плоскости. Единственность и непрерывная зависимость решения внутренней задачи Дирихле. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Построение решения методом Фурье. Существование классического решения задачи Дирихле для круга в случае непрерывной граничной функции. Интеграл Пуассона. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма. Теорема о разрешимости интегрального уравнения с малым непрерывным ядром. Повторные ядра. Резольвента. Лемма об эквивалентности интегрального уравнения с непрерывным ядром интегральному уравнению с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма. Свойства собственных значений и собственных функций интегрального уравнения с эрмитовым непрерывным ядром. Вариационный принцип (без доказательства). Необходимое и достаточное условие вырожденности эрмитова непрерывного ядра. Теорема Гильберта -Шмидта. Задача Штурма - Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма - Лиувилля. Ее свойства. Сведение задачи Штурма - Лиувилля к интегральному уравнению. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля. Теорема Стеклова. Полнота системы собственных функций задачи Штурма - Лиувилля. Уравнение Бесселя. Представление функций Бесселя в виде степенного ряда. Свойство ортогональности и свойства нулей функций Бесселя. Интегральное представление и асимптотическое поведение функций Бесселя (без доказательства). Построение формального решения смешанной задачи о свободных колебаниях круглой мембраны, закрепленной по краю. Гармонические функции в R³ . Основная интегральная формула. Теорема о среднем. Принцип максимума. Функция Грина задачи Дирихле. Решение внутренней задачи Дирихле с помощью функции Грина. Решение задачи Дирихле для шара, формула Пуассона. Постановка внутренней задачи Неймана. Необходимое условие разрешимости. Неединственность решения. Сферические функции. Полиномы Лежандра. Производящая функция. Присоединенные функции Лежандра. Решение задачи Дирихле для шара. Теорема о стирании особенностей гармонической функции. Поведение гармонической функции на бесконечности. Преобразование Кельвина. Постановка внешней задачи Неймана в R³ и единственность его решения. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Приведение к каноническому виду. Характеристические поверхности.