Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Теория функция комплексного переменного (ТФКП)

 

ПРОГРАММА

  • по курсу: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
  • по направлению: 010600 «Прикладные математика и физика»
  • факультеты: для всех факультетов
  • кафедра: высшей математики
  • курс: III
  • семестр: 5
  • экзамен: 5 семестр
  • лекции: 51 час
  • семинарские занятия: 34 часа
  • самостоятельная работа: 3 часа в неделю
  • всего часов: 85


Скачать версию с программой и заданиями (PDF, 166 Кб)

 

ПРОГРАММА (базовый уровень)

1.  Комплексные числа.  Расширенная комплексная плоскость.   Сфера Римана.   Последовательности и ряды. Понятие функции комплексного переменного.   Непрерывные функции.

2.  Дифференцирование  по  комплексному  переменному. Условия Коши-Римана.   Понятие функции, регулярной в области. Сопряженные гармонические функции двух переменных.

3.  Элементарные   функции   комплексного   переменного: степенная, рациональная, показательная и тригонометрическая, их свойства. Теорема об обратной функции (невырожденный случай).   Понятие о многозначной функции и ее регулярных ветвях. Главные регулярные ветви многозначных функций {(z)1/n} и {Lnz}.

4.  Интегрирование по комплексному переменному. Интегральная теорема Коши для регулярных функций (доказательство для случая кусочно-гладкого контура в односвязной области). Интегральная формула Коши (интеграл Коши). Интеграл типа Коши, его регулярность.

5.  Первообразная.   Достаточное условие существования первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема Морера.

6.  Степенные ряды, первая теорема Абеля, радиус и круг сходимости. Разложение в степенной ряд функции, регулярной в круге. Теоремы Вейерштрасса для равномерно сходящихся рядов из регулярных функций.

7.  Ряд Лорана и его кольцо сходимости. Разложение в ряд Лорана функции, регулярной в кольце, его единственность и неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана. Теорема единственности для регулярных функций.

8.  Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация. Определение характера особой точки по главной части ряда Лорана.

9.  Вычеты. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана.

10.  Приращение аргумента z вдоль гладкого контура, его интегральное представление и свойства. Приращение аргумента функции f(z) вдоль непрерывного контура и его свойства (без доказательства). Общий вид регулярных ветвей многозначных функций {Lnz} и { (z)1/n} в односвязной области, не содержащей нуля.

11.  Целые функции.   Теорема Лиувилля, теорема Сохоцкого—Вейерштрасса и теорема Пикара (последняя без доказательства) для целых функций.

12.  Мероморфные функции.     Разложение  мероморфных функций в конечную сумму элементарных дробей.

13.  Теорема Коши—Адамара о наличии особой точки на границе круга сходимости степенного ряда (без доказательства) .

14.  Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.

15.  Лемма об открытости.     Принцип сохранения области. Однолистность и многолистность в малом. Принцип максимума модуля регулярной функции. Принцип максимума и минимума гармонической функции.

16.  Геометрический смысл модуля и аргумента производной.  Понятие конформного отображения в расширенной комплексной области.

17.  Дробно-линейные функции и их свойства.

18.  Конформные отображения с помощью элементарных функций.   Функция Жуковского и ее свойства.   Теорема Римана о конформной эквивалентности односвяз-ных областей и принцип соответствия границ (без доказательства) .

19. Классическая задача Дирихле для уравнения Лапласа. Единственность решения. Интеграл Пуассона для круга. Существование решения.

ПРОГРАММА (повышенный уровень)

1.  Комплексные числа.  Расширенная комплексная плоскость.   Сфера Римана.   Последовательности и ряды. Понятие функции комплексного переменного.   Непрерывные функции.

2.  Дифференцирование  по  комплексному  переменному. Условия Коши—Римана.   Понятие функции, регулярной в области. Сопряженные гармонические функции двух переменных.

3.  Элементарные   функции   комплексного   переменного: степенная, рациональная, показательная и тригонометрическая, их свойства.   Теорема об обратной функции (невырожденный случай).   Понятие о многозначной функции и ее регулярных ветвях.  Главные регулярные ветви многозначных функций { (z)1/n} и {Lnz}.

4.  Интегрирование по комплексному переменному.   Интегральная теорема Коши для регулярных функций. Интегральная формула Коши (интеграл Коши).   Интеграл типа Коши, его регулярность.

5.  Первообразная.   Достаточное условие существования первообразной.    Формула Ньютона-Лейбница.    Теорема Морера.

6.  Степенные ряды, первая теорема Абеля, радиус и круг сходимости. Разложение в степенной ряд функции, регулярной в круге. Теоремы Вейерштрасса для равномерно сходящихся рядов из регулярных функций.

7.  Ряд Лорана и его кольцо сходимости.   Разложение в ряд Лорана функции регулярной в кольце, его единственность и неравенство Коши для коэффициентовряда Лорана.   Теорема единственности для регулярных функций.

8.  Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация.     Определение характера особой точки по главной части ряда Лорана.

9.  Вычеты. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана.

10.  Приращение аргумента z вдоль гладкого контура, его интегральное представление и свойства. Приращение аргумента функции f(z) вдоль непрерывного контура. Общий вид регулярных ветвей многозначных функций {Lnz} и {(z)1/n} в односвязной области, не содержащей нуля. Условия существования и общий вид регулярных ветвей многозначных функций {Lnf(z)} и {(f(z))1/n}  Вычисление интегралов от регулярных ветвей многозначных функций.

11.  Целые    функции. Теорема Лиувилля, теорема Сохоцкого-Вейерштрасса и теорема Пикара (последняя без доказательства) для целых функций.

12.  Мероморфные функции. Теорема о разложении мероморфной функции в сумму элементарных дробей. Формула для ctgz.

13.  Понятия об  аналитическом  продолжении  элементов друг в друга с помощью конечной цепочки элементов и вдоль контура, эквивалентность этих понятий. Единственность аналитического продолжения. Понятие об аналитической функции и ее римановой поверхности. Теорема о монодромии (без доказательства). Примеры аналитических функций {Lnz} и { (z)1/n}.

14.  Особые точки аналитических функций, точки ветвления. Теорема Коши-Адамара о наличии особой точки на границе круга сходимости степенного ряда.

15.  Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.

16.  Лемма об открытости. Принцип сохранения области. Однолистность и многолистность в малом. Принцип максимума модуля регулярной функции. Принцип максимума и минимума гармонической функции.

17.  Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения в расширенной комплексной области.

18.  Дробно-линейные функции и их свойства.

19.  Конформные отображения с помощью элементарных функций. Функция Жуковского и ее свойства. Теорема Римана о конформной эквивалентности односвяз-ных областей и принцип соответствия границ (без доказательства) .

20.  Теорема о стирании разреза. Принцип симметрии при конформных отображениях.

21.  Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Единственность решения. Интеграл Пуассона для круга. Существование решения. Интеграл Пуассона для полуплоскости.

Литература

Основная
1.  Половинкин Е.С. Лекции по теории функций комплексного переменного. - М.: ФИЗМАТКНИГА, 2003.
2. Шабунин М.И.,   Сидоров Ю.В. Теория функций комплексного переменного. — М.: Бином, 2002.

Дополнительная
3.  Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973, 1987.
4.  Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1982, 1989.
5.  Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1, 2. -М.: Наука, 1985.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика