Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Дифференциальные уравнения

 

ПРОГРАММА

  • по курсу: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  • по направлению: 010600 «Прикладные математика и физика»
  • факультет: для всех факультетов (кроме ФАЛТ, ФПФЭ)
  • кафедра: высшей математики
  • курс: II
  • семестр: 3,4
  • зачет: 3 семестр
  • лекции: 66 часов
  • экзамен: 4 семестр
  • семинарские занятия: 66 часов
  • самостоятельная работа:  2 часа в неделю
  • всего часов: 132

Скачать версию с программой и заданиями (PDF, 163 Кб)

 

ПРОГРАММА (базовый уровень)

I.  Основные понятия, простейшие типы дифференциальных уравнений.

Основные понятия. Простейшие типы уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Метод введения параметра.
Методы понижения порядка дифференциальных уравнений.

II.  Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Формула общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка. Отыскание решения линейного неоднородного в случае, когда правая часть уравнения является квазимногочленом. Уравнение Эйлера.
Формула общего решения линейной однородной системы уравнений в случае простых собственных значений матрицы коэффициентов системы. Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к жордановой форме (без доказательства). Формула общего решения линейной однородной системы в случае кратных собственных значений матрицы коэффициентов системы. Отыскание решения линейной неоднородной системы в случае, когда свободные члены уравнений являются квазимногочленами.
Матричная экспонента и ее использование для получения формулы общего решения и решения задачи Коши для линейных однородных и неоднородных систем.

III.  Элементы вариационного исчисления

Основные понятия. простейшая задача вариационного исчисления. Задача  со  свободными  концами. Задача для функционалов, зависящих от нескольких неизвестных функций, и задача для функционалов, содержащих производные высших порядков. Изопериметрическая задача(без доказательства). Задача Лагранжа(без доказательства).

IV.  Задача Коши

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений (без доказательства). Теорема о продолжении решений нормальных систем(без доказательства). Характер зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных данных: непрерывность, дифференцируемость(доказательство для случая одного уравнения). Задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Особые решения.

V.  Автономные системы дифференциальных уравнений

Основные понятия и свойства фазовых траекторий. Классификация положений равновесия линейных автономных систем уравнений второго порядка. Характер поведения фазовых траекторий в окрестности положения равновесия автономных нелинейных систем уравнений второго порядка.

VI.  Первые интегралы и линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка

Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Связь первого интеграла с решением линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Теорема о числе независимых первых интегралов(без доказательства).   Применение первых интегралов для понижения порядка системы уравнений.
Формула общего решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. Постановка задачи Коши для таких уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без доказательства) .

VII. Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных линейных систем уравнений.
Фундаментальная система и фундаментальная матрица решений линейной однородной системы уравнений. Структура общего решения линейной однородной и неоднородной системы уравнений. Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского(без доказательства). Метод вариации постоянных для линейной неоднородной системы уравнений. Следствия для линейных уравнений n-го порядка. Теорема Штурма.

ПРОГРАММА (повышенный уровень)

I. Основные понятия, простейшие типы дифференциальных уравнений

Основные понятия. Простейшие типы уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Метод введения параметра.
Методы понижения порядка дифференциальных уравнений.

II.  Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Формула общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка. Отыскание решения линейного неоднородного в случае, когда правая часть уравнения является квазимногочленом. Уравнение Эйлера. Исследование краевых задач для линейного уравнения второго порядка, в частности, при наличии малого параметра при старшей производной.
Формула общего решения линейной однородной системы уравнений в случае простых собственных значений матрицы коэффициентов системы. Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к жордановой форме (без доказательства). Формула общего решения линейной однородной системы в случае кратных собственных значений матрицы коэффициентов системы. Отыскание решения линейной неоднородной системы в случае, когда свободные члены уравнений являются квазимногочленами.
Матричная экспонента и ее использование для получения формулы общего решения и решения задачи Коши для линейных однородных и неоднородных систем.
Преобразование Лапласа и его применение для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

III.  Элементы вариационного исчисления

Основные понятия. простейшая задача вариационного исчисления. Задача со свободными концами. задача для функционалов, зависящих от нескольких неизвестных функций, и задача для функционалов, содержащих производные высших порядков. Изопериметрическая задача. Задача Лагранжа.IV.  Задача Коши
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Теорема о продолжении решений нормальных систем. Характер зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных данных: непрерывность, дифференцируемо сть. Задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Особые решения.

V.  Автономные системы дифференциальных уравнений

Основные понятия и свойства фазовых траекторий. Классификация положений равновесия линейных автономных систем уравнений второго порядка. Характер поведения фазовых траекторий в окрестности положения равновесия автономных нелинейных систем уравнений второго порядка. Устойчивость и асимптотическая устойчивость положения равновесия автономной системы. Достаточные условия асимптотической устойчивости.

VI.  Первые интегралы и линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка.

Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Связь первого интеграла с решением линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Теорема о числе независимых первых интегралов. Применение первых интегралов для понижения порядка системы уравнений.
Формула общего решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. Постановка задачи Коши для таких уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

VII. Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных линейных систем уравнений.
Фундаментальная система и фундаментальная матрица решений линейной однородной системы уравнений. Структура общего решения линейной однородной и неоднородной системы уравнений. Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского. Метод вариации постоянных для линейной неоднородной системы уравнений. Следствия для линейных уравнений n-го порядка. Теорема Штурма.
Применение групп Ли к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Функция Грина краевой задачи и ее применение для решения краевой задачи для неоднородного линейного уравнения. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Общее решение и решение задачи Коши.

Литература

1.  Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1984.
2.  Понтрягин  Л. С. Обыкновенные   дифференциальные уравнения. - 5-е изд. - М.: Наука, 1985.
3.  Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. -7-е изд. - М.: ГИФМЛ, 1958.
4.  Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - 2-е изд. - М.: Наука, 1985.
5.  Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. -М.: Физматгиз, 1961.
6.  Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Физматгиз, 1985.
7.  Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. - М.:  Лаборатория базовых знаний, 2000.
8.  Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2003.
9.  Купцов Л.П., Николаев В.С. Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений:   учебное пособие. -М.: МФТИ, 2003.



Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика