Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Вычислительная математика

ПРОГРАММА

по курсу: ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА по направлению: 511600 факультет: ФОПФ, ФМБФ, ФПФЭ кафедра: вычислительной математики курс: III семестр: 5 лекции: 34 часа Экзамен: нет практические (семинарские) занятия часов - 0 Диф. зачет: 5 семестр Лабораторные занятия: 34 часа Самостоятельная работа: 2 часа в неделю ВСЕГО ЧАСОВ: 68

Программу и задание составили:

д.ф.-м.н., проф. И.Б. Петров к.ф.-м.н., доц. А.И. Лобанов

Программа обсуждена на заседании кафедры вычислительной математики 17 апреля 2002 года.

Заведующий кафедрой: А.С. Холодов

 

1. Предмет вычислительной математики. Специфика машинных вычислений.

2. Элементарная теория погрешностей.

3. Численное дифференцирование. Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности. Оптимальный шаг численного дифференцирования.

4. Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность решения. Интерполяционный полином в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Оценка погрешности интерполяционных формул, остаточный член интерполяции. Функция Лебега, константа Лебега. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками. Оптимальный выбор узлов интерполяции. Полином Чебышёва. Тригонометрическая интерполяция.

5. Сплайны. Интерполяция сплайнами, понятие о сглаживающих сплайнах. B-сплайны.

6. Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности. Квадратурные формулы Гаусса.

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы: Гаусса, Гаусса с выбором главного элемента. Обусловленность матрицы линейной системы. Оценка погрешности численных методов решения алгебраических систем.

8. Итерационные методы решения линейных систем. Метод простых итераций, метод Зейделя, метод верхней релаксации. Методы решения, основанные на минимизации функционалов. Метод сопряженных градиентов.

9. Проблема поиска собственных значений матрицы. Метод вращений для поиска собственных значений самосопряженной матрицы.

10 Методы приближенного решения нелинейных алгебраических уравнений. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации. Метод Ньютона. Теорема о квадратичной сходимости метода Ньютона. Понятие о дискретных отображениях, их связь с итерационными методами. Бифуркации в логистическом отображении.

11. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Простейшие численные методы. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости.

12. Методы Рунге-Кутты решения систем ОДУ. Устойчивость методов Рунге-Кутты. Экспоненциальная оценка устойчивости, устойчивость при различных типах поведения решения (на устойчивых и «не неустойчивых» траекториях). Барьеры Бутчера. Линейные многошаговые методы (типа Адамса).

Управление длиной шага при численном интегрировании систем ОДУ. Правило Рунге оценки погрешности. Вложенные методы Рунге-Кутты.

13. Численное решение жестких систем ОДУ (ЖС ОДУ). Явление жесткости. Линейные ЖС ОДУ. Методы вычисления матричной экспоненты. Сингулярно-возмущенные системы. Пограничный слой. А-устойчивые методы решения нелинейных ЖС ОДУ, А(α)-устойчивость. Асимптотическая устойчивость численных методов (L-устойчивость).

14. Неявные методы Рунге-Кутты. Одноитерационные методы Розенброка. Формулы дифференцирования назад (ФДН) и многозначные методы Гира. Методы Гира в представлении Нордсика.

15. Численное решение краевых задач для ОДУ. Линейное уравнение второго порядка. Метод стрельбы. Метод прогонки для задачи Штурма-Лиувилля. Метод построения общего решения. Нелинейное уравнение второго порядка. Метод стрельбы. Метод квазилинеаризации (Ньютона в функциональном пространстве). Обобщение на случай краевых задач для систем ОДУ произвольной размерности.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. – М: Наука-Физматлит, 1994. – 335с. 2-е изд. М: Физматлит, 2000. – 296 с. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. – М.: Изл-во МФТИ, 1994. – 528 с. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512с. Лобанов А.И., Петров И.Б. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. Часть 1. – М.: МФТИ, 2000. – 168 с. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. 2 изд. – М.: Изд-во МФТИ, 2000. – 224 с.

Дополнительная литература

Хайрер Э., Нерсетт С., Боннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. – М.: Мир, 1990. – 512с. Хайрер Э., Боннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально алгебраические задачи. – М.: Мир, 1999. – 685 с. Амосов А.А., Дубцнский Ю.А., Копченова Н.П. Вычислительные методы для инженеров. – М.: Высшая школа, 1994. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 1998. – 575 с. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989. – 608с. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. 8-е изд. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. – 624 с.
Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика