Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

01.01.03 - Математическая физика

ПРОГРАММА-МИНИМУМ
кандидатского экзамена по специальности
01.01.03 "Математическая физика"
по физико-математическим наукам

Введение

В основу настоящей программы положены следующие математические и физические дисциплины: математика - математический и функциональный анализ, комплексный анализ, дифференциальные уравнения, алгебра и топология, геометрия, теория вероятностей; физика - механика, теория поля, механика и электродинамика сплошных сред, теория твердого тела, квантовая механика, статистическая физика.

Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии Математического института им. В.А. Стеклова и Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

1. Математические разделы

1.1. Математический и функциональный анализ

Мера и измеримые функции. Интеграл Лебега и его сравнение с интегралом Римана. Теорема Егорова. Теорема Фубини. Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе под знаком интеграла. Пространства Lp . Разложения по ортогональным системам функций в L 2. Ряды и преобразования Фурье. Теорема Планшереля. Метрические и топологические пространства. Компактность. Непрерывные функции на компакте. Теорема Стоуна-Вейерштрасса. Связность. Линейные топологические и банаховы пространства. Теорема Хана-Банаха. Компактные операторы. Гильбертовы пространства. Теорема Рисса-Фишера о представлении линейных функционалов. Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Ограниченные операторы. Понятие о спектре оператора. Спектр компактного самосопряженного оператора. Спектральное представление линейного оператора. Линейные операторы и их матрицы в конечномерном вещественном и комплексном пространстве. Нормальная форма матрицы линейного оператора. Канонический вид матрицы симметрического, унитарного и кососимметрического оператора. Обобщенные функции и операции над ними. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста. Соболевские пространства Hs. Теорема вложения Соболева.

1.2. Комплексный анализ

Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Лемма Шварца и принцип максимума модуля. Разложение голоморфных функций в ряды Тейлора и Лорана. Характеристика изолированных особых точек в терминах ряда Лорана. Нули голоморфных функций. Теорема единственности. Принцип аргумента и теорема Руше. Теорема Коши о вычетах. Целые функции. Теорема Лиувилля. Принцип сохранения области и теорема Гурвица. Принцип соответствия границ. Теорема Римана. Аналитическое продолжение. Теорема о монодромии. Точки ветвления аналитических функций. Римановы поверхности. Принцип симметрии. Теорема Пикара.

1.3. Дифференциальные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальные системы решений. Метод вариации постоянных. Дифференциальные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Квазиполиномы. Общие и частные решения. Функция Грина. Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова. Асимптотическая устойчивость. Элементы вариационного исчисления. Лагранжиан и уравнения Эйлера-Лагранжа. Гамильтониан и уравнения Гамильтона. Принцип максимума Понтрягина. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений. Теорема Гильберта-Шмидта. Характеристики уравнений в частных производных. Задача Коши и теорема Коши-Ковалевской. Классификация уравнений в частных производных. Метод разделения переменных. Уравнение Лапласа и эллиптические уравнения. Гармонические функции. Принцип максимума. Фундаментальное решение. Задачи на собственные значения и разложения по собственным функциям. Уравнение теплопроводности и параболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши. Принцип максимума и теорема единственности. Волновое уравнение и гиперболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши.

1.4. Алгебра и топология

Группы, алгебры и кольца. Свободные группы и соотношения. Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе. Поля и их алгебраические расширения. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа. Группы и алгебры Ли. Основные типы алгебр Ли. Линейные представления групп и их характеры. Лемма Шура. Индуцированные представления. Закон взаимности Фробениуса. Фундаментальная группа. Односвязность. Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Универсальное накрытие. Гомологии и когомологии симплициальных комплексов. Их гомотопическая инвариантность. Группы гомологий и фундаментальная группа компактных двумерных поверхностей, их классификация. Локально тривиальные и векторные расслоения. Пространства путей и петель. Точная гомотопическая последовательность расслоения. Расслоение Хопфа и классификация отображений трехмерной сферы в двухмерную. Степень отображения и индекс особой точки векторного поля. Индекс пересечения и коэффициент зацепления. Эйлерова характеристика.

1.5. Геометрия

Гладкие многообразия и их отображения. Дифференциал гладкого отображения и его якобиан. Теорема Сарда. Касательные векторы и касательное расслоение. Примеры гладких многообразий: проективные пространства, матричные группы Ли, многообразия Грассмана и Штифеля. Тензоры и тензорные поля. Дифференциальные формы и внешнее дифференцирование. Когомологии де Рама. Тензоры и дифференциальные формы на комплексных многообразиях. Интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса. Ее связь с формулами Грина и Гаусса-Остроградского. Двойственность Пуанкаре. Римановы многообразия и метрики. Геодезические. Связности, их тензоры кривизны и кручения. Параллельный перенос. Гладкие кривые, их кривизна и кручение. Формулы Френе. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Теорема Менье и формула Эйлера. Главные направления и кривизны. Формула Гаусса-Бонне. Симплектические многообразия. Теорема Дарбу. Комплексная и контактная структуры.

1.6. Теория вероятностей

Вероятностные пространства. Случайные величины и их математические ожидания. Дисперсия. Независимые случайные величины. Условные вероятности и математические ожидания. Нормальное распределение и распределение Пуассона. Характеристические функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Центральная предельная теорема. Законы больших чисел. Корреляционные функции. Цепи Маркова и марковские случайные процессы. Гауссовские процессы и процесс Пуассона. Броуновское движение. Стохастический дифференциал и формула Ито. Стохастические дифференциальные уравнения. Элементы математической статистики. Точечное и интервальное оценивание. Задача проверки статистических гипотез.

2. Физические разделы

2.1. Механика

Уравнения движения. Принцип наименьшего действия. Функция Лагранжа. Теорема Нетер и законы сохранения. Одномерное движение. Движение в центральном поле. Свободные и вынужденные колебания. Колебания при наличии трения. Движение твердого тела. Угловая скорость, моменты инерции и количества движения. Уравнения Эйлера. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Теорема Лиувилля. Уравнение Гамильтона-Якоби.

2.2. Теория поля

Принцип относительности. Преобразования Лоренца. Интервал. Релятивистская механика. Принцип наименьшего действия. Энергия и импульс. Заряд в электромагнитном поле. Четырехмерный потенциал. Калибровочные преобразования. Уравнения движения заряда. Тензор электромагнитного поля. Уравнения электромагнитного поля. Действие электромагнитного поля. Тензор энергии-импульса. Постоянное электромагнитное поле. Закон Кулона. Электростатическая энергия заряда. Диполь. Магнитный момент. Теорема Лармора. Система зарядов в электромагнитном поле. Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Плоские и монохроматические волны. Спектральное разложение. Распространение электромагнитных волн. Отражение и преломление. Принцип взаимности. Поле движущегося заряда. Запаздывающие потенциалы и потенциалы Льенара-Вихерта. Излучение электромагнитных волн. Поле системы зарядов на далеких расстояниях.

2.3. Механика и электродинамика сплошных сред

Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения непрерывности, уравнение Эйлера). Уравнения движения вязкой жидкости. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости. Система уравнений Навье-Стокса. Звук и звуковые волны. Электростатика проводников. Электростатика диэлектриков. Диэлектрическая проницаемость. Постоянный ток. Плотность тока и проводимость. Постоянное магнитное поле. Магнитное поле постоянного тока. Сверхпроводники. Эффект Мейснера. Сверхпроводящий ток. Критическое поле. Куперовские пары. Уравнения Гинзбурга-Ландау.

2.4. Теория твердого тела

Типы и симметрии кристаллов. Свойства обратной решетки. Зона Бриллюэна. Теорема Блоха. Колебания решетки. Фононы. Фактор Дебая-Уоллера. Ангармонизм и тепловое расширение. Зонная структура. Квазичастицы. Электронная теплоемкость. Кинетическое уравнение. Решеточное сопротивление. Увлечение фононов. Эффект Холла. Поверхность Ферми. Диамагнитный и циклотронный резонанс. Открытые орбиты. Квантование орбит. Эффект де Гаазаван Альфена.

2.5. Квантовая механика.

Основные положения квантовой механики. Принцип неопределенности и принцип суперпозиции. Квантово-механическое описание системы. Квантование. Представление Фока. Координатное и импульсное представления. Операторы энергии и импульса. Гамильтониан. Уравнение Гейзенберга. Соотношение неопределенности. Уравнение Шредингера. Одномерное движение и одномерный осциллятор. Потенциальная яма. Прохождение через барьер. Движение в центральном поле. Атом водорода. Разложение плоской волны. Уравнение Дирака. Спин Тождественность частиц и принцип неразличимости. Связь спина со статистикой. Бозоны и фермионы. Атом. Состояния электронов и уровни энергии. Тонкая структура атомных уровней. Периодическая система Менделеева. Квазиклассическое приближение. Модель Томаса-Ферми. Движение в магнитном поле. Уравнение Шредингера в электрическом и магнитном полях. Плотность потока. Квантовая теория рассеяния. Матрица рассеяния. Формула Бора. Резонансное рассеяние. Упругое рассеяние. Формула Брейта-Вигнера.

2.6. Статистическая физика

Основные принципы статистики. Статистическое распределение и статистическая независимость. Теория Лиувилля. Энтропия. Закон возрастания энтропии. Термодинамические величины: температура, давление. Адиабатический процесс. Работа и количество теплоты, термодинамический потенциал. Принцип ле Шателье, теорема Нернста. Распределение Гиббса. Свободная энергия. Термодинамические соотношения. Термодинамика идеальных газов. Распределение Больцмана. Неравновесный идеальный газ. Свободная энергия и уравнение состояния. Закон равнораспределения. Одноатомный идеальный газ. Распределения Бозе и Ферми. Равновесие фаз. Формула Клапейрона-Клаузиуса. Критическая точка. Флуктуации. Распределение Гиббса. Формула Пуассона. Фазовые переходы второго рода.

Литература к разделу 1

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1961. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехиздат, 1951. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1980. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969.

Литература к разделу 2

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. М.: Наука, 1973-1986. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. М.: УРСС, 1999. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979. Березин Ф.А., Шубин М.А. Лекции по квантовой механике. М.: Изд-во МГУ, 1972. Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976. Хуанг К. Статистическая механика. М.: Мир, 1966 Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. М.: Мир, 1971.
Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика