Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Экзаменационная программа по аналитической геометрии и линейной алгебре

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА по курсу Аналитическая геометрия и линейная алгебра 1курс, 2семестр 2001/2002уч.г.

1. Умножение матриц, его свойства. Обратная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Преобразование матрицу мето­дом Гаусса. Детерминант произведения матриц. Оценка ранга произведения матриц. (Кроме потоков Беклемишева Д. В. и Умнова А.Е.)

2. Условия совместности системы линейных уравнений: теорема Кронекера - Капелли, теорема Фредгольма. Общее решение системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

3. Линейное пространство. Базис и размерность. Координаты вектора, их единственность в заданном базисе. Запись операций над векторами через координаты. Изменение координат вектора при замене базиса. Матрица перехода.

4. Подпространство в линейном пространстве. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств. Прямая сумма подпространств, ее свойства.

5. Линейные отображения. Координатная запись линейного отображения. Матрица линейного отображения и ее изменение при замене базисов. Условия инъективности и сюръективности линейного отображения. Теорема об изоморфизме линейных пространств.

6. Инвариантное подпространство. Задача о собственных векторах. Инвариантность характеристического многочлена. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям. Связь между кратностью корня характеристического многочлена и размерностью его собственного подпространства. Условия существования базиса, в котором матрица линейного преобразования диагональная.

Приведение матрицы преобразования к треугольному виду (для потока Беклемишева Д. В.).

7. Линейные функции на линейном пространстве. Сопряженное (двойственное) пространство. Билинейные функции. Координатная запись билинейной функции. Матрица билинейной функции и ее изменение при замене базиса. Симметричные билинейные

функции.

8. Квадратичные формы. Существование базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (метод Лагранжа). Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Закон инерции квадратичных форм.

9. Евклидово пространство. Выражение скалярного произведения через координаты. Свойства матрицы Грама. Процесс ортогонализации. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Ортогональное дополнение подпространства. Ортогональное проектирование.

10. Преобразование, сопряженное данному. Его существование и единственность. Свойства сопряженного преобразования. Свойства самосопряженных преобразований. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного линейного преобразования. Разложение линейного преобразования евклидова пространства в произведение ортогонального и самосопряженного преобразований. Ортогональные преобразования.

11. Отыскание ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид. Одновременное приведение пары квадратичных форм, одна из которых знакоопределенная, к диагональному виду.

12. Унитарные пространства. Эрмитовы формы. Унитарные и самосопряженные преобразования. (Для потока Растренина В. А. п. 12 необязателен.)

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика