Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Теория разностных схем

ПРОГРАММА курса "Теория разностных схем"

Змитренко Н.В.

1. Основные понятия теории разностных схем.

Сетки и сеточные функции. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Погрешность аппроксимации на сетке. Постановка разностной задачи. Повышение порядка аппроксимации разностной схемы. Аппроксимация краевых и начальных условий. Разностные уравнения второго порядка. Краевая задача. Метод прогонки, устойчивость прогонки. Принцип максимума для разностного уравнения второго порядка. Формулы "разностного дифференцирования" произведения и суммирования по частям. Разностные формулы Грина. Пространства сеточных функций, разностные операторы. Условие самосопряженности разностного оператора второго порядка. Отыскание собственных функций и собственных значений разностного оператора второго порядка на равномерной сетке. Разностные аналоги теорем вложения. Метод энергетических неравенств. Понятие устойчивости разностной схемы. Понятие корректности, сходимости и точности разностных схем, Разностные схемы как операторные уравнения. Устойчивость, аппроксимация и сходимость. Априорные оценки. Негативные нормы.

2. Однородные разностные схемы.

Понятие об однородных разностных схемах. Трехточечные схемы. Условие второго порядка аппроксимации. Консервативные разностные схемы. Пример схемы, расходящейся в классе разрывных коэффициентов. Интегро-интерполяционный метод. Однородные консервативные разностные схемы. Сходимость и точность консервативных однородных схем. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках. Порядок точности на неравномерных сетках. Монотонные схемы. Схемы для стационарного уравнения теплопроводности в цилиндрических и сферических координатах. Методы построения разностных схем. Интегро-интерполяционный метод для задачи со сосредоточенным источником тепла. Методы Ритца и Галеркина. Метод сумматорных тождеств. Метод аппроксимации квадратичного функционала.

3. Разностные схемы для эллиптических уравнений.

Разностная аппроксимация оператора Лапласа на регулярном и нерегулярном шаблоне "крест". Разностная задача Дирихле в прямоугольнике и в области сложной формы. Каноническая форма разностного уравнения. Принцип максимума. Теоремы сравнения. Мажоранта. Оценка решения неоднородного уравнения. Сходимость и точность разностной задачи Дирихле. Повышение порядка точности, схемы для уравнения Пуассона.

4. Разностные схемы для нестационарных уравнений.

Схемы для одномерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Постановка задачи. Семейство шеститочечных схем. Устойчивость по начальным данным и правой части. Сходимость и точность. Уравнение переноса. Явные схемы для задачи Коши. Повышение порядка аппроксимации. Разностные схемы для уравнения колебаний струны. Постановка задачи, аппроксимация, устойчивость. Метод энергетических неравенств.

5. Общая теория устойчивости разностных схем.

Операторы о-разностные схемы. Каноническая форма записи двухслойных и трехслойных схем. Достаточные условия устойчивости двухслойных схем. Классы устойчивых двухслойных схем. Исходное семейство схем. Энергетическое тождество. Устойчивость по начальным данным в на и Ив. Оценка нормы оператора перехода. Метод разделения переменных. Устойчивость по правой части, р-устойчивость. Случай переменного оператора А, кососимметричного оператора А. Устойчивость по начальным данным трехслойной разностной схемы.

6. Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Устойчивость и сходимость схем с весами.

7. Экономичные разностные схемы.

Экономичные факторизованные схемы: основные понятия и методы построения схем. Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности (продольно-поперечная схема). Метод суммарной аппроксимации. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности в произвольной области.

8. Методы решения сеточных уравнений.

Общие понятия; прямые и итерационные методы. Обусловленность систем уравнений, особенности сеточных систем уравнений. Прямые методы. Метод декомпозиции. Итерационные методы. Двухслойные итерационные схемы. Итерационные методы Зейделя и верхней релаксации. Условие сходимости стационарных итерационных методов. Сходимость метода Зейделя, верхней релаксации, простой итерации. Итерационная схема с чебышевским набором параметров (ЧИП). Устойчивость схемы с ЧИП и упорядочивание набора итерационных параметров. Неявный итерационный метод с ЧНП. Попеременно-треугольный метод (ПТМ). Схема ПТМ с ЧНП.

Литература

1. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М., Наука, 1989.

2.  Самарский  А.А.,  Николаев  Е.С.    Методы   решения    сеточных уравнений. - М., Наука, 1978.

3. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. - М., Наука, 1973.

4.   Самарский    А.А.,     Андреев     В.Б.     Разностные     методы    для эллиптических уравнений. - М., Наука, 1976.

5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М., Наука, 1989.

6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической    физики. - М., Наука, 1972.

7. Самарский А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. - Минск, 1996.

8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. - Минск, 1998.

9. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. - М., Наука, 1999.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика