Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Дополнительные главы уравнений математической физики

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

 

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по научной работе

_____________Т.В.Кондранин

________________2004 г.

 

ПРОГРАММА

по курсу: «Дополнительные главы уравнений математической физики

факультет  ФУПМ

кафедра ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

курс IV

семестр VII, VIII

лекции             VII семестр                34 (час)                Диф.зачет

                         VШ семестр               32 (час)                Экзамен

Семинарские   VII семестр                17 (час)          

                         VIII семестр              16 (час)

 Всего часов    VII семестр                51 (час)

                          VIII семестр   48 (час)

 

Программу составил

д.ф.-м.н.,профессор   Э.Г.Шифрин

Программа обсуждена на заседании кафедры

вычислительных и информационных технологий

 

Заведующий кафедрой академик              О.М.Белоцерковский

 

Лекции

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Существование и единственность (Пеано, Каратеодори). Непрерывность по параметру. Эволюция фазового объема вдоль траектории (Линделеф, Лиувилль). Аналитичность решения аналитической системы по параметру (Тихонов).

Метод характеристик на примере уравнений сверхзвуковых течений газа.

Альтернирующий метод Шварца. Использование при распараллеливании.

Уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа. Канонические формы. Теорема Келдыша для вырождающихся эллиптических уравнений. Задача Трикоми.

Преобразования Лежандра и Чаплыгина. Редукция некорректных («обратных») задач к корректным на примере задачи профилирования сопла Лаваля.

Краевые задачи аналитических функций. Способы аналитического продолжения. Интеграл типа Коши. Оператор Шварца. Формулы Сохоцкого. Условие того, что произвольная комплексная функция есть краевое значение аналитической функции. Формулы Гильберта для краевых значений аналитической в области функции. Интеграл типа Коши и потенциалы.

Задача Римана для односвязной области. Индекс. Отыскание кусочно-аналитической функции по заданному скачку. Однородная задача. Каноническая функция. Неоднородная задача. Условия разрешимости.

Задача Гильберта. Регуляризующий множитель. Задача Гильберта для односвязной области. Однородная задача. Неоднородная задача. Связь задач Римана и Гильберта.

Сингулярные интегральные уравнения. Решение характеристического уравнения путем редукции к задаче Римана или Гильберта. Регуляризация сингулярного интегрального уравнения. Сравнение с уравнением Фредгольма.

Системы уравнений эллиптического типа. Уравнение Карлемана. Псевдоаналитические функции. Принцип подобия. Существование и единственность решения интегрального уравнения (Берс,.Векуа).

Квазиконформные отображения. Уравнения Бельтрами. Существование квазиконформного гомеоморфизма. Теорема о представлении.

Обобщенные решения в пространствах Соболева. Использование эквивалентных нормировок..

След суммируемой функции и его использование в теории обобщенных решений

Классические и обобщенные решения на примере уравнений Навье-Стокса.

Интеграл энергии. Асимптотическая устойчивость решений начально-краевой задачи. Задачи без начальных условий. Правомерность метода установления по времени.

Слабые решения Хопфа как решения интегральных законов сохранения.

Уравнения с малым параметром при старшей производной. Пограничный слой и сращиваемые асимптотические разложения. Погранслойные поправки. Исчезающая вязкость.

Турбулентность в нелинейных задачах. Проблема адекватности прямого численного моделирования.

Семинары

Теорема Лакса-Рябенького.

Единственность ограниченного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Аналитичность по параметру решений краевых задачи для систем уравнений в частных производных.

Прямая задача обтекания крыла идеальной несжимаемой жидкостью.

Обратная краевая задача аналитических функций.

Профилирование крыла в несжимаемой жидкости по распределению давления (Тумашев-Нужин).

Профилирование докритического крыла по заданному годографу.

Квазиконформность отображения внешности профиля крыла самолета. Граничное условие на бесконечности как асимптотика квазиконформного отображения.

Пример Лебега несуществования решения задачи Дирихле. Емкость.

Отыскание векторного поля по ротору и дивергенции.

Продолжение соленоидального векторного поля с границы области.

Разложение векторного пространства  в прямую сумму соленоидальных и градиентных векторов.

Доказательство разрешимости задачи Стокса в обобщенной постановке с помощью теоремы Рисса.

Различия в постановках начально-краевой задачи для несжимаемой и сжимаемой жидкостей. Условие непрерывности решения по фактору сжимаемости.

Метод Галеркина. Слабые решения Хопфа уравнений Навье-Стокса..

Самопроизвольная вычислительная регуляризация условно корректных задач.

Усреднения по Стеклову и по Соболеву.

Признаки компактности множества суммируемых функций.

Вполне непрерывные операторы.

Обобщенные производные классических функций. Эквивалентные определения.

Пространства Соболева. След суммируемой функции. Теоремы вложения.

Обобщенные функции.

Канторова лестница.

Классификация границ областей. Продолжения функций.

Размерность множества по Лебегу. Расширение понятия размерности. (Фрактальность.)

Сильная и слабая сходимость элементов гильбертова пространства.

Замкнутые операторы в гильбертовом пространстве.

Расширение оператора по Фридрихсу.

Теорема о неявной операторной функции.

Литература

В.И.Смирнов. Курс высшей математики. Том V.

Р.Курант. Уравнения в частных производных

Ф.Д.Гахов. Краевые задачи.

В.П.Михайлов. Дифференциальные уравнения в частных производных.

О.А.Ладыженская. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.

М.М.Смирнов. Уравнения смешанного типа

М.М.Смирнов. Вырождающиеся эллиптические уравнения.

Э.Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Дополнительная литература

А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики.

С.К.Годунов. Уравнения математической физики.

О.А.Ладыженская. Краевые задачи математической физики.

Л.В.Канторович, Г.П.Акилов. Функциональный анализ в нормированных пространствах.

М.А.Лаврентьев, Б.А.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного.

Математическая энциклопедия

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика