ПРОГРАММА КУРСА
Функциональный анализ и его приложения
I. Метрические пространства.
- Метрические и топологические пространства. Примеры: l
p
,
C
p
[a,b] (
), Cn [a,b]. Неравенства Гельдера и Минковского.
II. Полные метрические пространства.
- Теорема о вложенных шарах (2.1).
- Теорема Бэра (2.2).
- Принцип сжимающих отображений (2.3).
III. Компактные метрические пространства.
- Компактность и центрированные системы замкнутых множеств (3.1).
- Критерий компактности (3.2).
- Теорема Арцела-Асколи (3.3).
IV. Линейные нормированные пространства.
- Теорема Рисса (некомпактность сферы в E,
) (4.1). - Характеристическое свойство евклидовых пространств (4.2). Банаховы и гильбертовы пространства.
- Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. Понятие линейного топологического пространства, примеры.
- Теорема Рисса о проекции (4.3).
- Сеперабельные гильбертовы пространства (4.4, 4.5).
V. Линейные ограниченные операторы в банаховом пространстве.
- Связь непрерывности и ограниченности линейного оператора (5.1).
- Топологии в пространстве операторов L(E 1,E 2). Норма оператора. Полнота нормированного пространства L(E 1,E 2) (5.2).
- Задача о продолжении непрерывного отображения. Продолжение линейного ограниченного оператора на замыкание области определения (5.3).
- Теорема Банаха-Штейнгауза (5.4).
- Полнота пространства L(E 1,E 2) относительно поточечной сходимости (5.5, 5.6).
VI. Обратный оператор. Обратимость.
- Обратимость линейного, ограниченного снизу (
) оператора (6.1). - Обратимость возмущённого оператора
(6.2, 6.3). - Формулировка теоремы Банаха об обратном операторе (6.4). Резольвентное множество оператора, спектр и его компоненты (6.5).
VII. Аналитические свойства резольвенты.
- Операторнозначные функции комплексного переменного. Аналитичность резольвенты. Спектральный радиус (7.1).
VIII. Сопряжённое пространство. Теорема Рисса-Фреше. Теорема Хана-Банаха.
- Функционалы в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фреше (8.1).
- Теорема Хана-Банаха (8.2), её следствия.
IX. Слабая сходимость в банаховом пространстве.
- Изометричность вложения E в E**. Критерий слабой сходимости последовательности (9.1).
- Слабая сходимость и ограниченные операторы (9.2). Формулировка теоремы Банаха-Тихонова о слабой секвенциальной компактности единичного шара.
X. Мера и интеграл Лебега (основные конструкции).
- Схема распространения меры с алгебры на s-алгебру измеримых множеств (без доказательства).
- Измеримые функции (без доказательства).
- Интеграл Лебега (определение и основные свойства). Теоремы Лебега, Фату, Беппо Леви, Фубини (формулировки). Примеры применения этих теорем в курсе уравнений математической физики.
- Пространства
L
p
(X) , их сепарабельность, полнота (10.1,
док-во для
).
XI. Сопряжённый оператор.
- Норма сопряжённого оператора (11.1). Теорема об обратимости сопряжённого оператора ((11.3), формулировка).
- Сопряжённые
операторы в гильбертовом пространстве. Равенство
(11.2).
XII. Самосопряжённые операторы.
- Свойства квадратичной формы (Ax,x) и собственных значений самосопряжённого оператора A (12.1).
-
Разложение
гильбертова пространства , где A — самосопряжённый оператор (12.2). - Критерий принадлежности числа спектру (12.3). Вещественность спектра самосопряжённого оператора (12.4).
- Теорема
о спектре самосопряжёного оператора (12.5):
, .
XIII. Компактные операторы.
- Свойства компактных операторов (13.1).
- Свойства собственных значений компактного оператора (13.2, 13.3).
- Теорема Фредгольма для компактных самосопряжённых операторов (13.4).
- Спектр компактного самосопряжённого оператора. Теорема Гильберта-Шмидта (13.5).
XIV. Элементы нелинейного функционального анализа.
- Производная Фреше, производная Гато. Формула конечных приращений (14.1).
- Теорема Шаудера (14.2).
Литература
1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.
2. В.Хатсон, Дж.Пим. Приложения функционального анализа и теории операторов.
Вопросы к экзамену по функциональному анализу
1. Теорема о вложенных шарах (2.1). Теорема Бэра (2.2).
2. Принцип сжимающих отображений (2.3).
3. Критерий компактности (3.2).
4. Теорема Арцела-Асколи (3.3).
5. Теорема Рисса (4.1).
6. Гильбертово пространство. Теорема Рисса о проекции (4.3).
7. Топологии в пространстве операторов L(E 1,E 2) и сходимости. Норма оператора. Полнота пространства L(E 1,E 2) (5.2).
8. Теорема Банаха-Штейнгауза (5.4).
9. Обратимость возмущённого оператора (6.2 и 6.3).
10. Аналитические свойства резольвенты. Спектральный радиус (7.1).
11. Функционалы в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фреше (8.1).
12. Теорема Хана-Банаха и её следствия (8.2).
13. Изометричность вложения E в E**. Критерий слабой сходимости последовательности (9.1). Слабая сходимость и ограниченные операторы (9.2).
14. Интеграл Лебега и его свойства. Теоремы Лебега, Фату, Беппо-Леви, Фубини (формулировки). Примеры их применения в курсе уравнений математической физики.
15. Пространства L p , их сепарабельность и полнота (10.1).
16. Сопряжённый оператор. Равенство
17. Разложение гильбертова пространства
18. Критерий принадлежности числа спектру (12.3). Вещественность спектра самосопряжённого оператора (12.4).
19. Теорема о спектре самосопряжённого оператора (12.5):
20. Свойства собственных значений компактного оператора (13.2, 13.3).
21. Теорема Фредгольма (13.4) для компактного самосопряжённого оператора.
22. Теорема Гильберта-Шмидта (13.5).
23. Производные Фреше и Гато. Формула конечных приращений (14.1).
24. Теорема Шаудера (14.2).
