Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Функциональный анализ и его приложения

ПРОГРАММА КУРСА

Функциональный анализ и его приложения

I.      Метрические пространства.

Метрические и топологические пространства. Примеры: l p , C p [a,b] (  ), Cn [a,b]. Неравенства Гельдера и Минковского.

II.    Полные метрические пространства.

Теорема о вложенных шарах (2.1). Теорема Бэра (2.2). Принцип сжимающих отображений (2.3).

III.      Компактные метрические пространства.

Компактность и центрированные системы замкнутых множеств (3.1). Критерий компактности (3.2). Теорема Арцела-Асколи (3.3).

IV.    Линейные нормированные пространства.

Теорема Рисса (некомпактность сферы в E, ) (4.1). Характеристическое свойство евклидовых пространств (4.2). Банаховы и гильбертовы пространства. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. Понятие линейного топологического пространства, примеры. Теорема Рисса о проекции (4.3). Сеперабельные гильбертовы пространства (4.4, 4.5).

V.      Линейные ограниченные операторы в банаховом пространстве.

Связь непрерывности и ограниченности линейного оператора (5.1). Топологии в пространстве операторов L(E 1,E 2). Норма оператора. Полнота нормированного пространства L(E 1,E 2) (5.2). Задача о продолжении непрерывного отображения. Продолжение линейного ограниченного оператора на замыкание области определения (5.3). Теорема Банаха-Штейнгауза (5.4). Полнота пространства L(E 1,E 2) относительно поточечной сходимости (5.5, 5.6).

VI.      Обратный оператор. Обратимость.

Обратимость линейного, ограниченного снизу () оператора (6.1). Обратимость возмущённого оператора (6.2, 6.3). Формулировка теоремы Банаха об обратном операторе (6.4). Резольвентное множество оператора, спектр и его компоненты (6.5).

VII.      Аналитические свойства резольвенты.

Операторнозначные функции комплексного переменного. Аналитичность резольвенты. Спектральный радиус (7.1).

VIII.      Сопряжённое пространство. Теорема Рисса-Фреше. Теорема Хана-Банаха.

Функционалы в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фреше (8.1). Теорема Хана-Банаха (8.2), её следствия.

IX.      Слабая сходимость в банаховом пространстве.

Изометричность вложения E в E**. Критерий слабой сходимости последовательности (9.1). Слабая сходимость и ограниченные операторы (9.2). Формулировка теоремы Банаха-Тихонова о слабой секвенциальной компактности единичного шара.

X.      Мера и интеграл Лебега (основные конструкции).

Схема распространения меры с алгебры на s-алгебру измеримых множеств (без доказательства). Измеримые функции (без доказательства).  Интеграл Лебега (определение и основные свойства). Теоремы Лебега, Фату, Беппо Леви, Фубини (формулировки). Примеры применения этих теорем в курсе уравнений математической физики. Пространства L p (X) , их сепарабельность, полнота (10.1, док-во для ).

XI.      Сопряжённый оператор.

 Норма сопряжённого оператора (11.1). Теорема об обратимости сопряжённого оператора ((11.3), формулировка). Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Равенство  (11.2).

XII.      Самосопряжённые операторы.

 Свойства квадратичной формы (Ax,x) и собственных значений самосопряжённого оператора A (12.1). Разложение гильбертова пространства , где A — самосопряжённый оператор (12.2). Критерий принадлежности числа спектру (12.3). Вещественность спектра самосопряжённого оператора (12.4). Теорема о спектре самосопряжёного оператора (12.5): , .

XIII.      Компактные операторы.

Свойства компактных операторов (13.1). Свойства собственных значений компактного оператора (13.2, 13.3). Теорема Фредгольма для компактных самосопряжённых операторов (13.4). Спектр компактного самосопряжённого оператора. Теорема Гильберта-Шмидта (13.5).

XIV.    Элементы нелинейного функционального анализа.

Производная Фреше, производная Гато. Формула конечных приращений (14.1). Теорема Шаудера (14.2).

Литература

1.     А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.

2.     В.Хатсон, Дж.Пим. Приложения функционального анализа и теории операторов.

 

Вопросы к экзамену по функциональному анализу

1.     Теорема о вложенных шарах (2.1). Теорема Бэра (2.2).

2.     Принцип сжимающих отображений (2.3).

3.     Критерий компактности (3.2).

4.     Теорема Арцела-Асколи (3.3).

5.     Теорема Рисса (4.1).

6.     Гильбертово пространство. Теорема Рисса о проекции (4.3).

7.     Топологии в пространстве операторов L(E 1,E 2) и сходимости. Норма оператора. Полнота пространства L(E 1,E 2) (5.2).

8.     Теорема Банаха-Штейнгауза (5.4).

9.     Обратимость возмущённого оператора (6.2 и 6.3).

10.  Аналитические свойства резольвенты. Спектральный радиус (7.1).

11.  Функционалы в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фреше (8.1).

12.  Теорема Хана-Банаха и её следствия (8.2).

13.  Изометричность вложения E в E**. Критерий слабой сходимости последовательности (9.1). Слабая сходимость и ограниченные операторы (9.2).

14.  Интеграл Лебега и его свойства. Теоремы Лебега, Фату, Беппо-Леви, Фубини (формулировки). Примеры их применения в курсе уравнений математической физики.

15.  Пространства L p , их сепарабельность и полнота (10.1).

16.  Сопряжённый оператор. Равенство  (11.2).

17.  Разложение гильбертова пространства , где A — самосопряжённый оператор (12.2).

18.  Критерий принадлежности числа спектру (12.3). Вещественность спектра самосопряжённого оператора (12.4).

19.  Теорема о спектре самосопряжённого оператора (12.5): .

20.  Свойства собственных значений компактного оператора (13.2, 13.3).

21.  Теорема Фредгольма (13.4) для компактного самосопряжённого оператора.

22.  Теорема Гильберта-Шмидта (13.5).

23.  Производные Фреше и Гато. Формула конечных приращений (14.1).

24.  Теорема Шаудера (14.2).

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика