№
п/п
|
Название модулей
|
Разделы и темы лекционных занятий
|
Содержание
| |
|
1
|
I
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТЕОРИИ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
|
Бинарные отношения и группы
|
Отношения эквивалентности и частичного порядка. Множество всех отношений эквивалентности, определенных на заданном множестве, как пример частично
упорядоченного множества. Группы преобразований. Бинарные отношения, порождаемые группой преобразований. Транзитивность и примитивность групп преобразований. Подгруппы и фактор-группы.
|
|
2
|
Геометрия в области пространства.
|
Системы координат. Замена координат. Евклидово пространство. Кривые. Квадратичные формы. Контравариантные векторы и ковариантные векторы.
Простейшие группы преобразований области.
|
|
3
|
|
Гладкие многообразия
|
Определение гладкого многообразия. Примеры многообразий (элементарные многообразия, поверхности в евклидовом пространстве, группы преобразований как многообразия). Отображения многообразий. Субмерсии и иммерсии. Регулярные отношения эквивалентности. Касательные и кокасательные пространства. Дифференциал отображения.
Примеры вычисления касательных и кокасательных пространств.
|
|
4
|
|
Элементы тензорного анализа.
|
Общее определение тензора. Примеры тензоров (контравариантный вектор и ковариантный вектор). Алгебраические операции над тензорами.
|
|
5
|
|
Векторные поля и распределения
|
Семейства векторных полей, полные семейства, алгебры Ли векторных полей. Интегралы векторных полей. Теорема Томаса-Веблена об интегралах полного семейства. Распределения, порождаемые семействами векторных полей. Инволютивные распределения. Инвариантные и интегральные многообразия распределения. Теорема Фробениуса.
|
|
6
|
|
Группы диффеоморфизмов
|
Однопараметрические группы диффеоморфизмов. Связь с векторными полями и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Производная Ли. Группы диффеоморфизмов, порождаемые семействами векторных полей. Элементы теории групп Ли. Транзитивность и примитивность групп диффеоморфизмов. Теорема Чжоу-Рашевского.
|
|
7
|
II
ПРИЛОЖЕНИЯ К ФИЗИКЕ, МЕХАНИКЕ И ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
|
Метрика в физике и механике
|
Римановы и псевдоримановы пространства. Изометрии. Простейшие понятия специальной теории относительности. Преобразования Лоренца как изометрии метрики Минковского.
|
|
8
|
Групповой анализ дифференциальных уравнений матема-тической физики
|
Группы симметрий дифференциальных уравнений. Операция продолжения. Определяющие уравнения и вычисление групп симметрий. Решения, инвариантные относительно группы симметрий. Примеры инвариантных решений для уравнения Кортевега-де Фриза, уравнения теплопроводности и уравнений Эйлера течения жидкости. Симметрии в уравнениях Гамильтона и Лагранжа. Законы сохранения.
Теорема Нётер. Примеры законов сохранения в теории относительности.
|
|
9
|
Обыкновенные дифференциальные уравнения с управлениями (управляемые динамические системы).
|
Понятие управляемой динамической системы как модели управляемого объекта. Типичные задачи управления. Геометрические и алгебраические объекты, ассоциируемые с управляемыми
динамическими системами. Интерпретация управляемой системы как группы диффеоморфизмов. Управляемость. Связь с понятием транзитивности групп. Наблюдаемость. Связь с понятием импримитивности групп. Декомпозиция. Связь с понятием группы симметрий. Приложения к задачам управления (минимальная реализация, инвариантность по возмущениям, терминальное управление).
|
|