Дифференциально-геометрические методы и приложения

№

п/п

Название модулей

Разделы и темы лекционных занятий

Содержание

1

I

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТЕОРИИ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ

Бинарные отношения и группы

Отношения эквивалентности и частичного порядка. Множество всех отношений    эквивалентности, определенных на заданном множестве, как пример частично

упорядоченного множества. Группы преобразований. Бинарные отношения, порождаемые группой преобразований. Транзитивность и примитивность групп преобразований.  Подгруппы и фактор-группы.

2

Геометрия в области пространства.

Системы координат. Замена координат. Евклидово пространство. Кривые. Квадратичные формы. Контравариантные векторы и ковариантные векторы.

Простейшие группы преобразований области.

3

Гладкие многообразия

Определение гладкого многообразия.  Примеры многообразий (элементарные  многообразия,  поверхности в евклидовом пространстве, группы преобразований как многообразия). Отображения многообразий. Субмерсии и иммерсии. Регулярные отношения  эквивалентности. Касательные и кокасательные пространства. Дифференциал отображения.

Примеры вычисления касательных и кокасательных пространств.

4

Элементы тензорного анализа.

Общее определение тензора. Примеры тензоров (контравариантный вектор и  ковариантный вектор). Алгебраические операции над тензорами.

5

Векторные поля и распределения

Семейства векторных полей, полные семейства, алгебры Ли векторных полей. Интегралы векторных полей. Теорема Томаса-Веблена об интегралах полного семейства. Распределения, порождаемые семействами векторных полей. Инволютивные распределения. Инвариантные и интегральные многообразия распределения. Теорема  Фробениуса.

6

Группы  диффеоморфизмов

Однопараметрические группы диффеоморфизмов. Связь с векторными полями и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Производная               Ли. Группы диффеоморфизмов, порождаемые семействами векторных полей.                   Элементы теории групп Ли. Транзитивность и примитивность групп диффеоморфизмов. Теорема  Чжоу-Рашевского.

7

II

ПРИЛОЖЕНИЯ К ФИЗИКЕ, МЕХАНИКЕ И ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Метрика в физике и механике

Римановы и псевдоримановы пространства. Изометрии. Простейшие понятия специальной теории относительности. Преобразования Лоренца как изометрии метрики Минковского.

8

Групповой анализ дифференциальных уравнений матема-тической физики

Группы симметрий дифференциальных уравнений. Операция продолжения. Определяющие уравнения и вычисление групп симметрий. Решения, инвариантные относительно группы симметрий. Примеры                     инвариантных решений для уравнения Кортевега-де Фриза, уравнения  теплопроводности и уравнений Эйлера течения жидкости.   Симметрии в уравнениях Гамильтона и Лагранжа. Законы сохранения.  

Теорема Нётер. Примеры законов сохранения в теории относительности.                       

9

Обыкновенные дифференциальные уравнения с управлениями (управляемые  динамические системы).

Понятие управляемой динамической системы как модели управляемого объекта. Типичные задачи управления. Геометрические и алгебраические объекты, ассоциируемые с управляемыми 

динамическими системами. Интерпретация управляемой системы как группы                     диффеоморфизмов. Управляемость. Связь с понятием транзитивности групп. Наблюдаемость. Связь с понятием импримитивности групп. Декомпозиция. Связь с понятием группы симметрий. Приложения к задачам управления (минимальная реализация,                     инвариантность  по возмущениям, терминальное управление).