Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Дифференциально-геометрические и теоретико-групповые методы в механике и физике

Программа  курса

Дифференциально-геометрические и теоретико-групповые методы в механике и физике

1. Геометрия в области пространства. [1, часть I, гл. 1,2], [2, лекции 1,2,3]

         1.1. Системы координат. Замена координат.

         1.2. Евклидово пространство. Кривые. Квадратичные формы. Векторы и ковекторы.

         1.3. Простейшие группы преобразований области.

         1.3. Римановы и псевдоримановы пространства.

         1.4. Простейшие понятия специальной теории относительности. Преобразования Лоренца.

         1.5. Поверхности. Координаты на поверхности. Касательная плоскость. Метрика на поверхности.

2. Гладкие многообразия.[1, часть II, гл. 1],  [2, лекции 6, 12], [13, гл. 1], [9, гл. 3], [12, гл. 1], [13, гл. 1]

         2.1. Определение гладкого многообразия.  Примеры многообразий (элементарные многообразия,  поверхности в евклидовом пространстве, группы преобразований как многообразия).

         2.2. Отображения многообразий. Субмерсии и иммерсии. Подмногообразия.

         2.3. Касательные и кокасательные пространства. Дифференциал отображения.Примеры вычисления касательных и кокасательных пространств.

3. Элементы тензорного анализа. [1, гл. 3, 4], [2, лекция 16], [3, гл. 2, 5, 7, 8], [10, гл. 3]

         3.1. Общее определение тензора. Примеры тензоров (вектор, ковектор, риманова метрика). Алгебраические операции над тензорами.

         3.2. Дифференциальные формы.

                 3.2.1. Внешние формы и внешнее умножение.

                 3.2.2. Внешний дифференциал формы.

                 3.2.3. Интегрирование дифференциальных форм. Формула Стокса.

                 3.2.4. Замкнутые формы, циклы, коциклы, гомологии, когомологии, теорема де Рама.

         3.3. Ковариантное дифференцирование (связность).

         3.3. Параллельный перенос векторов. Геодезические.

         3.4. Связности в римановом пространстве.

4. Векторные поля и группы  диффеоморфизмов. [1, гл. 1], [4, гл. 1], [5, гл. 1],  [7, гл.1,2], [8, гл. 1, 2, 4], [9, часть I,  вводная гл.], [11, гл. 1, 2], [12, гл. 1], [13, гл. 1].

          4.1. Однопараметрические группы диффеоморфизмов. Связь с векторными полями и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Производная Ли тензорного поля.

          4.2. Семейства векторных полей. Коммутаторы и алгебры Ли. Интегралы векторных полей. Теорема Томаса-Веблена об интегралах полного семейства векторных полей.

          4.3. Группы диффеоморфизмов, порождаемые семействами векторных полей.Элементы теории групп Ли.

          4.4. Группы симметрий дифференциальных уравнений.

                  4.4.1. Операция продолжения. Определяющие уравнения и вычисление групп симметрий.

                  4.4.2. Интерпретация  специальных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (однородные уравнения, уравнения с разделяющимися переменными, уравнения в полных дифференциалах и т.д.) в терминах существования определенных групп симметрий.

                  4.4.3. Применение групп симметрий к понижению порядка дифференциальных уравнений.

5. Элементы вариационного исчисления. [1, гл. 5], [6, часть II, гл. 3], [10,  гл. 7], [11, гл. 3, 4].

             5.1. Уравнения Эйлера-Лагранжа.

             5.2. Преобразование Лежандра и гамильтонов формализм. Скобки Пуассона. Канонические преобразования.

             5.3. Принципы Мопертюи и Ферма.

             5.4. Группы симметрий в уравнениях Гамильтона и Лагранжа. Законы сохранения. Теорема Нётер.

             5.5. Примеры и применения законов сохранения в общей теории относительности.                 

 Литература.

Б.Ф.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Современная геометрия. М.: Наука. 1979. М.М.Постников. Гладкие многообразия. М.: Наука.1987. П.К.Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука. 1967. В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1975. В.И.Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука.1978. В.И.Арнольд. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974. П.Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир. 1989. Л.В.Овсянников. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. Н.Х.Ибрагимов. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983. К.Годбийон. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир. 1973. Г.Н.Яковенко. Групповые свойства динамических систем. М.: МФТИ. 1994. В.И.Елкин. Редукция нелинейных управляемых систем. Дифференциально-геометрический подход. М.: Наука. 1997. В.И.Елкин. Редукция нелинейных управляемых систем. Декомпозиция и инвариантность по возмущениям. М.: Фазис. 2003.
Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика